中考专题三角函数.docx

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中考专题三角函数

1.（2013.郑州一测）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC=12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．

2.（2013.郑州二测）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1：

，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

3.（2013河南实验中学最后一模）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：

sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）

4.（2013.郑州外国语三测）已知：

如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．

求：

（1）坡顶A到地面PQ的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．

（参考数据：

sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

5.（2013.新乡二调）如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．

（参考数据：

sin67.4°≈

，cos67.4°≈

，tan67.4°≈

）

6.（2013.焦作二测）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：

sin22°≈

，cos22°≈

，tan22°≈

）

7.（2013.开封二模）某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：

小明：

我站在此处看树顶仰角为45°．

小华：

我站在此处看树顶仰角为30°．

小明：

我们的身高都是1.6m．

小华：

我们相距20m．

请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度．

（参考数据：

≈1.414，

≈1.732，结果精确到0.1m）

8.（13年安阳一模）图1是安装在房间墙壁上的壁挂式空调，图2是安装该空调的侧面示意图，空调风叶AF是绕点A由上往下旋转扫风的，安装时要求：

当风叶恰好吹到床的外边沿，此时风叶与竖直线的夹角α为48°，空调底部BC垂直于墙面CD，AB=0.02米，BC=0.1米，床铺长DE=2米，求安装的空调底部位置距离床的高度CD是多少米？

）（结果精确到0.1米）

9.（2013.洛阳中招模拟）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了1000米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A、B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.73，

≈1.41）

10.（2012.洛阳二模）如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．

（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）

（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：

（

≈1.414，

≈1.73）

11.（2012•洛阳一模）某输气管道途径A、B、C地．如图，其中C地在A地北偏东45°方向，C在B地北偏西60°方向，B地在A地北偏东75°方向．A、C两地相距2000米．

（1）问输气管道从A地沿A→B→C到C地的路程大约是多少？

（2）若输气管道改造为从A地沿A→C→B到B地，可节约路程多少米？

（最后结果保留整数，参考数据：

≈1.732，

≈1.414）

12.（2012.安阳模拟）人民公园有一座人工假山．在社会实践活动中，数学老师要求同学们利用所学的知识测量假山的宽度AB．小红将假山前左侧找到的一棵树根部定为点C，又在假山前确定一点P，经目测PC∥AB，并测量出∠CPA=45°，∠CPB=150°，PA=100米，请你帮小红计算出假山的宽度AB约为多少米．（结果精确到O.1米：

参考数据：

（

=1.414，

≈1.732，

≈2.449）

13.（2011.安阳模拟）如图，流经某市的一条河流的两岸互相平行，河岸l1上有一排观赏灯，已知相邻两灯之间的距离AB=60米，某人在河岸l2的C处测得∠ACE=60°，然后沿河岸向右走了140米到达D处，测得∠BDE=30°．求河流

的宽度AE（结果保留三个有效数字，参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

14.（2012.开封一模）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（

取1.73，结果保留整数）．

15.（2012.开封二模）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？

（参考数据：

sin21.3°≈

，，tan21.3°≈

，，sin63.5°≈

，tan63.5°≈2）

16.（2012.周口二模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：

tan31°≈

，sin31°≈

）

17.（2012.漯河堰城实验中学一模）要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：

应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01m，

≈1.732）

18.（2012.漯河郾城实验中学三模）张华和李明是一对爱动脑筋的好朋友，星期天两人相约去公园玩，被一座古色古香的亭子吸引了注意力．高兴之余他们想用如下方法测量亭子的高度：

张华蹲在地上，李明站在张华和亭子之间，两人适当调整自己的位置，当亭子的顶部M，李明的头顶B及张华的眼睛A．恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，与楼之间的距离DN=15m（C、D、N在一条直线上），李明的身高1.8m，张华蹲在地上观测时，眼睛到地面的距离AC=0.9m，试

问能根据以上数据求出亭子的高度吗？

试求之（保留到0.1米）

19.（2013.鹤壁二模）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：

2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：

（1）坡顶A到地面PO的距离；

（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．

（参考数据：

sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01

20.（2011.鹤壁一模）小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°，亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道l向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离

．

21.（2013.洛阳二模）如图是某地地质科考队在海拔高度CE为5000米的雪山进行科学研究，已知科考队的营地B在海拔1000米处，峰顶为C点，坡面BC的坡角∠CBF=45°，坡面AB的坡角∠BAE=30°，一名队员在B处测得从C处开始有雪崩发生，雪崩在坡面BC上平均速度为每秒80米．

（1）求雪崩到达营地B的时间．

（2）如果坡面AB上安全点D的海拔高度为700米，科考队迅速撤离到安全点D，若雪崩在坡面AB上平均速度为每秒30米，科考队的速度至少为多少？

（说明：

（1）

（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.414，

＝1.732）

22.（2013.洛阳外国语二模）．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=15，cosA=

（1）求线段CD的长；

（2）求sin∠DBE的值．

23.（2013.洛阳外国语一模）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB多少米？

24,（2013.洛阳外国语一模）如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，

取1.73）

25,（2013.洛阳凌志一模）如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？

（结果精确到0.1海里∕时，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

26，（2013.平顶山二模）图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．（参考数据：

sin67.4°≈

，，cos67.4°≈

，，tan67.4°≈

）

27.（2012.平顶山一模）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．

28.（2011.商丘五模）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2；对角线相交于O点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点C上，使三角板绕点C旋转．

（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想DE与BF的数量关系，并加以证明；

（2）在

（1）问条件下，若BE：

CE=1：

2，∠BEC=135°，求sin∠BFE的值；

（3）当三角板的一边CF与梯形对角线AC重合时，作DH⊥PE于H，如图2，若OF=

时，求PE及DH的长

29．（2011.商丘七模）已知，如图，正方形ABCD，菱形EFGP，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，延长DC，PH⊥DC于H．

（1）求证：

GH=AE；

（2）若菱形EFGP的周长为20cm，cos∠AFE＝

，FD=2，求△PGC的面积．

30.（2011.商丘十模）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

31、（2009.河南.20）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?

（参考数据：

sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.）

32、（2011.河南.19）如图所示，中原福塔（河南广播电视塔）是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°。

请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．（参考数据：

≈1.732，

≈1.414.结果精确到0.1米）

33、（2012.河南.20）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。

如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定。

小明为了测量此条幅的长度，他先测得楼顶A点的仰角为45°，已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°.请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数。

参考数据：

tan31°≈0.60,sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）.

34.（2013.河南.19）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC（结果精确到0.1米.参考数据：

sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，

≈1.73）.

35、（2013.许昌一模）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：

3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？

（参考数据：

，结果保留两位有效数字）

36、（2009•许昌一模）在数学活动课上，九年级

（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的测量方案及数据如下：

（1）在大树前选择一点A，测得点A看大树顶端C的仰角为30°；

（2）在点A和大树之间选择一点B（A、B、D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；

（3）量出A、B间的距离为4米．请你根据以上数据求出大树CD的高度．

（精确到0.1，参考数据：

≈1.41  

≈1.73）

37、（2013•许昌二模）如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）．经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：

计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？

为什么？

38、（2010•许昌一模）某大学计划为新生配备如图

（1）所示的折叠椅．图

（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，

∠DOB=100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？

（结果精确到0.1cm）

39、（2012.郑州一模）如图，在航线

的两侧分别有观测点A和B，点A到航线

的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线

的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：

，

，

，

）

41、（2010.郑州一模）蓝军与红军进行军事演习，如图，红军的潜艇从A海港出发，沿正东方向航行，到正东方向由红军控制的海港B处，A、B两港相距200海里，在海港A的北偏东60°方向、海港B的西北方向有一海岛C被蓝军控制，在海岛C周围90海里的区域是蓝军的侦察范围。

问红军的潜艇会不会进入到蓝军的侦察区域内？

海港B是否处于海岛C上的蓝军侦察范围内？

请说明你的理由。

42、（2011.新乡一模）如图，某军港有一雷达站

，军舰

停泊在雷达站

的南偏东

方向36海里处，另一艘军舰

位于军舰

的正西方向，与雷达站

相距

海里．求：

（1）军舰

在雷达站

的什么方向？

（2）两军舰

的距离．（结果保留根号）

43、（2012.焦作二模）如图，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为

米，试求AD的长度．（结果带根号）

44、（2011.焦作二模）如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°。

（1）求坡高CD；

（2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）。

45、（2011.濮阳一模）如图：

把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝25°,求长方形卡片的周长。

（精确到1mm，参考数据：

sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.

46、（2010.驻马店一模）图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时的示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，α=18°．（sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

（1）求AB的长（精确到0.01米）；

（2）若测得EN=0.8米，试计算小明头顶由M点运动到N点的路径弧MN的长度（结果保留π）

47．（2012.驻马店二模）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．

（参考数据：

sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

48、（2012.南阳市一模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到B处，这时气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，求气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）．

49、（2012.南阳市二模）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：

甲：

我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：

我站在此处看塔顶仰角为30°；

甲：

我们的身高都是1.5m；乙：

我们相距20m．

请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）

50、（2011.南阳市一模）如图，原来从A地到它正东方的B地，需要沿折线A→C→D→B到达．现A、B两地新修了一条笔直公路可直接到达．已知C地在A地的东北方向12km处，D地在C地的正东方向且在B地北偏西53°处，则现在从A地到B地可比原来少走了多少里程？

（精确到0.1km，参考数据

=1.41，sin53°≈

，cos53°≈

，tan53°≈