平行线及其性质和判定.docx

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平行线及其性质和判定

平行线及其性质和判定

核心纲要

1．平行线

（1）定义：

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，

记作a∥b．

（2）平行公理:

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

注：

点必须在直线外，而不是在直线上．

（3）平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．

2．两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:

（1）相交；

（2）平行．

注：

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，两直线平行;

3．两直线平行的判定方法

（1）平行线的定义．

（2）平行公理的推论．（3）同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5）同旁内角互补，两直线平行．

4．平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等．

（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．

本节重点讲解：

一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．

基础演练

1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）

A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交

2．下列说法正确的是（）

A．经过一点有一条直线与已知直线平行

B．经过一点有无数条直线与已知直线平行

C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

3．如图所示,下列推理中错误的是（）

A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CDB．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CD

C．∵∠3=∠4,∴AD∥BCD．∵∠1=∠2,∴AD∥BC

4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）

A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°

C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°

5．

（1）如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若

∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．

（2）如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．

（3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．

图1图2图3

6．解答题．

（1）填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：

∠EDF=∠A．

解：

∵DF∥AB（）

∴∠A＋__________=180°（）

∵DE∥AC（已知）

∴∠AFD＋__________=180°（）

∴∠EDF=∠A（）

（2）推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：

解：

∵EF∥AD（）

∴∠2=__________（）

又∵∠1=∠2（）

∴∠1=∠3（）

∴AB∥__________（）

∴∠BAC＋__________=180°（）

又∵∠BAC=70°（）

∴∠AGD=__________

7．已知：

如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:

AD平分∠BAC．

能力提升

8．若

和

是同位角，且a=30°，则

的度数是（）

A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定

9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是（）

A．30°和150°B．42°和138°

C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°

10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．

从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（）

①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；

③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．

A．①②B．②③C．③④D．①④

11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：

①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（）个数

A．1B．2C．3D．4

12．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，

∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．

13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．

14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：

AD∥BE．

15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：

AB∥DC．

16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,

求证：

DA⊥EF

17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．

18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：

EF平分∠BED．

19．阅读材料：

材料1:

如图（a）所示，科学实验证明：

平面镜反射光线的规律是：

射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．

材料2：

如图（b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．

又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．

根据上述结论，解决下列问题：

（1）如图（c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;

（2）在

（1）中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；

（3）由

（1）

（2）请你猜想：

当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．

20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分

∠NAD

（1）如图（a）所示，若DE⊥AC于E，求证：

∠1=∠2．

（2）若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=

∠MAB=

∠BDF=

，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合），问当

、

、

之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图（b）所示）?

试写出

、

、

之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．

21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度数．

（2）若平行移动AB,那么∠OBC：

∠OFC的值是否随之发生变化？

若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?

若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．

中考连接

22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是（）

A．17°B．34°C．56°D．68°

23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果

∠1=20°,那么∠2的度数是（）

A．30°B．25°C．20°D．15°

巅峰突破

24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:

①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为（）

A．①②B．①③C．③④D．①②④

25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:

∠EDF=∠BDF．

26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．