数值实验报告.docx
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数值实验报告
本科实验报告
课程名称：
计算机数值方法
实验项目：
方程求根、线性方程组的直接求解、线性方程组的迭代求解、最小二乘法拟合和代数插值
实验地点：
专业班级：
学号：
学生姓名：
指导教师：
2014年5月日
学生姓名
实验成绩
实验名称
实验一方程求根
实验目的和要求（必填）
（1）了解非线性方程求根的常见方法，如二分法、牛顿法、割线法。
（2）加深对方程求根方法的认识，掌握算法。
（3）会进行误差分析，并能对不同方法进行比较
实验内容和原理（必填）
方程求根：
熟悉使用二分法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。
选择上述方法中的两种方法求方程：
f（x）=x3+4x2-10=0在[1,2]内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|<0.5×10-5
二分法原理：
f（x）在区间（x，y）上连续 先找到a、b属于区间（x，y），使f（a），f（b）异号，说明在区间（a,b）内一定有零点，然后求f[（a+b）/2],
现在假设f（a）<0,f（b）>0,a1如果f[（a+b）/2]=0，该点就是零点， 如果f[（a+b）/2]<0,则在区间（（a+b）/2，b）内有零点，（a+b）/2=>a，从①开始继续使用
割线法原理：
主要仪器设备
惠普ProBook6470b
实验记录（写出实验内容中的程序代码和运行结果）（可分栏或加页）
二分法：
#include"iostream"
usingnamespacestd;
#include"stdio.h"
#include"math.h"
inti;
doublea[20],b[20];
doublex[20];
doubleA,y;
intmain（）
{
a[0]=1.0,b[0]=2.0;
for（i=0;i<11;i++）
{
printf（"a[i]b[i]x[i]y\n"）;
x[i]=（b[i]+a[i]）/2;
y=x[i]*x[i]*x[i]+4*x[i]*x[i]-10;
A=a[i]*a[i]*a[i]+4*a[i]*a[i]-10;
if（（y*A）<0）
a[i+1]=a[i],b[i+1]=x[i];
else
a[i+1]=x[i],b[i+1]=b[i];
printf（"%f,%f,%f,%f\n",a[i],b[i],x[i],y）;
}
}
割线法
#include"stdio.h"
#include"math.h"
#include"iostream"
usingnamespacestd;
floatmain（）
{
floatc,a=1.0,b=2.0;
while
（1）
{
c=b-（b*b*b+4*b*b-10）*（b-a）/（b*b*b+4*b*b-（a*a*a+4*a*a））;
if（fabs（b-c）<0.5*0.000001）break;
b=c;
}
cout<}
实验结果和分析
心得体会（遇到的问题和解决方法）
使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，不同的方法速度不同，求得的结果也稍有区别，当然和要求精度也有关系。
刚开始的时候用数组对二分法进行求解，发现 循环到第二次 就无法实现值的传递，于是换了另外一种方法代替了数组。
实验名称
实验二线性方程组的直接求解
实验目的和要求
（1）了解线性方程组常见的直接解法，如Guass消元法、LU分解法、追赶法。
（2）加深对线性方程组求解方法的认识，掌握算法。
（3）会进行误差分析，并能对不同方法进行比较。
实验内容
合理选择利用Gauss消元法、LU分解法、追赶法求解下列方程
高斯分解法：
⑴将原方程组化为三角形方阵的方程组：
lik=aik/akk
aij= aij- lik* akj k=1,2,…,n-1
i=k+1,k+2, …,n j=k+1,k+2, …,n+1
⑵由回代过程求得原方程组的解：
xn= ann+1/ ann
xk=（ akn+1-∑akj xj）/ akk （k=n-1,n-2, …,2,1）
LU分解法：
将系数矩阵A转化为A=L*U, L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b,u*x=y,来求解x.
追赶法:
用来求对角方程组：
将系数矩阵A转化为A=L*U, L为普通下n-1对角矩阵，U为单位上n-1对角矩阵，然后通过解方程组l*y=b,u*x=y,来求解x.
主要仪器设备
惠普ProBook6470b
实验记录（写出实验内容中的程序代码和运行结果）（可分栏或加页）
高斯消元法：
#include"stdio.h"
#include"iostream"
using namespace std;
float main（）
{ float a[3][4]={{1,2,3,14},{0,1,2,8},{2,4,1,13}};
float x[3];
float sum=0;
int k,i,j;
for（k=0;k<2;k++）
for（i=k+1;i<3;i++）
for（j=k+1;j<4;j++）
a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];
for（i=0;i<3;i++）
for（j=0;j<4;j++）
printf（"a[%d][%d]=%f,",i,j,a[i][j]）;
x[2]=a[2][3]/a[2][2];
for（k=1;k>=0;k--）
{ sum=0;
for（j=k+1;j<3;j++）
{
sum+=a[k][j]*x[j];
}
x[k]=（a[k][3]-sum）/a[k][k]; }
for（i=0;i<3;i++）
printf （"x[%d]=%f,",i+1,x[i]）;
}
LU分解法:
#include
#include
#define L 30
double a[L][L], b[L], l[L][L], u[L][L], x[L], y[L];
int main（）{
int n, i, j, k, r;
scanf（ "%d", &n ）;
for （ i=1; i<=n; ++i ） {
for （ j=1; j<=n; ++j ） {
scanf（ "%lf", &a[ i ][ j ] ）;
}
}
for （i=1; i<=n; ++i）{
scanf（"%lf", &b[i]）;
}
for （i=1; i<=n; ++i）
{
for （j=1; j<=n; ++j）
{
l[i][j] =0;
u[i][j] =0.0;
}
}
for （k=1; k<=n; ++k） {
for （j=k; j<=n; ++j）
{
u[k][j] = a[k][j];
for （r=1; r{
u[k][j] -= l[k][r] * u[r][j];
}
}
for （i=k+1; i<=n; ++i） {
l[ i ][ k ] = a[ i ][ k ];
for （r = 1; r < k; ++r）{
l[i][k] -= l[i][r] * u[r][k]; }
l[i][k] /= u[k][k];
}
l[k][k] = 1.0;
}
for （i=1; i<=n; ++i） {
y[i] = b[i];
for （j=1; j y[i] -= l[i][j] * y[j]; }
}
for （i=n; i>0; --i） {
x[i]=y[i];
for （j=i+1; j<=n; ++j） {
x[i] -= u[i][j] * x[j];
}
x[i] /= u[i][i];
}
for （i=1; i<=n; ++i） {
printf（ "%0.2lf\n", x[ i ] ）; }
return0
}
追赶法：
#include"stdio.h"
main（）
{
FILE*f;
doublea[15],b[15],c[15],d[15];
doublet;
inti,n;
/**********************************************/
f=fopen（"zgf.txt","r"）;
fscanf（f,"%d",&n）;
fscanf（f,"%lf%lf%lf",&b[1],&c[1],&d[1]）;
for（i=2;i<=n-1;i++）
{
fscanf（f,"%lf%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&c[i],&d[i]）;
}
fscanf（f,"%lf%lf%lf",&a[n],&b[n],&d[n]）;
fclose（f）;
/*********************************************/
c[1]=c[1]/b[1];
d[1]=d[1]/b[1];
for（i=2;i<=n-1;i++）
{
t=b[i]-c[i-1]*a[i];
c[i]=c[i]/t;
d[i]=（d[i]-d[i-1]*a[i]）/t;
}
d[n]=（d[n]-d[n-1]*a[n]）/（b[n]-c[n-1]*a[n]）;
for（i=n-1;i>=1;i--）d[i]=d[i]-c[i]*d[i+1];
printf（"\n********************************\n"）;
for（i=1;i<=n;i++）
printf（"d[%2d]=%lf\n",i,d[i]）;
}
实验结果和分析
高斯消元法结果：
LU分解法结果：
追赶法结果：
心得体会（遇到的问题和解决方法）
从消元过程可以看出，对于n阶线性方程组，只要各步主元素不为零，经过n-1步消元，就可以得到一个等价的系数矩阵为上三角形阵的方程组，然后再利用回代过程可求得原方程组的解. 由于列主元素法相似且优于完全主元素法 所以省略了后者。
消元过程相当于分解 A为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，解方程组Ly=b回代过程就是解方程组Ux=y。
其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵. 在 A 的LU 分解中, L取下三角阵, U 取单位上三角阵,这样求解方程组Ax=d 的方法称为追赶法。
另外是追赶法和其他方法求同一方程结果不一样，我多次修改源程序，也不知道原因。
再就是追赶法有很大的局限性 还待改良
实验名称
实验三线性方程组的迭代求解
实验目的和要求
（1）了解线性方程组的迭代求解方法，雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法等典型方法。
（2）帮助学生全面消化已学的相关课程内容，深刻理解计算数值方法课程的内涵，培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力。
（3）进行基本技能训练和巩固。
使学生得到选择算法、编写程序、分析数值结果、写数值试验报告、课堂讨论等环节的综合训练
实验内容
使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。
实验原理：
把矩阵A分解矩阵N和P，
其中N为非奇异矩阵，于是，Nx=Px+b
即x=Bx+f 据此，可以建立迭代公式x（k+1）=Bx（k）+1; 若序列｛X
（k）
｝收敛, lim x（k ）=x*
显然有 x*=Bx*+f;
即,极限x*便是所求方程组的解。
主要仪器设备
惠普ProBook6470b
实验记录（写出实验内容中的程序代码和运行结果）（可分栏或加页）
#include
#include
main（） {
int i;
double x1[20] ,x2[20],x3[20];
double x10, x20, x30;
printf（"请输入x1,x2,x3的初值：
\n"）;
scanf（"%lf%lf%lf",&x10,&x20, &x30）;
printf（" n x1[n] x2[n] x3[n] \n"）;
for（i=0;i<18;i++） {
x1[0]=x10;
x2[0]=x20;
x3[0]=x30;
x1[i+1]=0.1*x2[i]+0.2*x3[i]+0.72;
x2[i+1]=0.1*x1[i]+0.2*x3[i]+0.83;
x3[i+1]=0.2*x1[i]+0.2*x2[i]+0.84;
printf（"%5d %5lf %5lf %5lf\n",i,x1[i],x2[i],x3[i]）;
}
}
实验结果和分析
心得体会（遇到的问题和解决方法）
使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。
产生误差的原因，舍入误差及数的存储空间是有限的，因此出现误差。
雅可比迭代法显然其速度不如高斯-赛德尔迭代法好。
这是由其算法的设计本身来决定的。
同时高斯-赛德尔算法由于都涉及了两次循环且同时未引入新的变量，因此相比而言高斯赛德尔迭代法较优。
实验名称
实验四代数插值和最小二乘法拟合
实验目的和要求
（1）了解矩阵特征值与特征向量问题解法，掌握幂法。
（2）加深对矩阵特征值与特征向量问题求解方法的认识，掌握算法。
（3）熟练运用已学计算方法求解方程组
（4）加深对计算方法技巧，选择正确的计算方法来求解各种方程组
（5）培养使用电子计算机进行科学计算和解决问题的能力
实验内容
代数插值：
用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：
已知f（x）在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f（0.596）的近似值。
x
0.40
0.55
0.65
0.80
0.90
1.05
f（x）
0.41075
0.57815
0.69675
0.88811
1.02652
1.25386
最小二乘法拟合多项式：
给定数据点（xi,yi），用最小二乘法拟合数据的多项式，并求平方误差。
xi
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
yi
1
1.75
1.96
2.19
2.44
2.71
3.00
原理：
设函数在区间[a,b]上n+1互异节点
x0,x1,…,xn上的函数值分别为
y0,y1,…,yn,求n次插值多项式Pn（x）,满足条件
Pn（xj）=yj, j=0,1,…,n
令
Ln（x）=y0l0（x）+y1l1（x）+…+ynln（x）= ∑yili（x）
其中l0（x）,l1（x）,…, ln（x） 为以x0,x1,…,xn为节点的n次插值基函数，则Ln（x）是一次数不超过n的多项式，且满足
Ln（xj）=yj, L=0,1,…,n
再由插值多项式的唯一性，得
Pn（x）≡Ln（x）
最小二乘法原理：
主要仪器设备
惠普ProBook6470b
实验记录（写出实验内容中的程序代码和运行结果）（可分栏或加页）
#include
#include
main（）
{
int I; char L;
double M[100][100];
double x[100],y[100];
double X=1,xx=0,w=1,N=0,P,R=1;
int n=5;
//cout<<"请输入所求均差阶数：
"; //求所有阶差
//cin>>n;
//for（int i=0;i<=n;i++） //{
/*cout<<"请输入x"<"<>x[i];
cout<<"请输入y"<"<>y[i]; M[i][0]=x[i];
M[i][1]=y[i]; *///
M[0][0]=0.40;
M[0][1]=0.41075;
M[1][0]=0.55;
M[1][1]=0.57815;
M[2][0]=0.65;
M[2][1]=0.69675;
M[3][0]=0.80;
M[3][1]=0.88811;
M[4][0]=0.90;
M[4][1]=1.02652;
M[5][0]=1.05;
M[5][1]=1.25386;
for（ int j=2;j<=n+1;j++）
{
for（int i=1;i<=n;i++）
{
M[i][j]=（M[i][j-1]-M[i-1][j-1]）/（M[i][0]-M[i-j+1][0]）;
}
}
for（int i=1;i<=n;i++） {
cout<<"其"<"<}
cout<<"请输入x的值：
x="; cin>>xx;
for（int i=0;iX*=xx-M[i][0];
N+=M[i+1][i+2]*X;
P=M[0][1]+N; }
cout<<"其函数值：
y="<}
#include
#include
#define N 15
double power（double &a,int n） {
double b=1;
for（int i=0;i b*=a;
return b;
}
void Gauss（）;
double X[N],Y[N],sumX[N],sumY[N],a[N][N],b[N],l[N][N],x[N];
void main（） {
double s;
int i,j,k,n,index;
//cout<<"请输入已知点的个数n="; //cin>>n; n=7; cout< //cout<<"请输入X和Y:
"<X[0]=0.0;Y[0]=1.00;
X[1]=0.5;Y[1]=1.75;
X[2]=0.6;Y[2]=1.96;
X[3]=0.7;Y[3]=2.19;
X[4]=0.8;Y[4]=2.44;
X[5]=0.9;Y[5]=2.71;
X[6]=1.0;Y[6]=3.00; //绑定数据 //可以解绑由下for循环 输入任何数据
for（i=0;isumX[1]+=X[i];
sumY[1]+=Y[i]
}
cout<<"sumX[1]="<>index; cout<sumX[0]=i;
for（i=2;i<=2*index;i++） {
sumX[i]=0;
for（j=0;jsumX[i]+=power（X[j],i）;
cout<<"sumX["<}
for（i=2;i<=index+1;i++） { sumY[i]=0; for（j=0;jsumY[i]+=power（X[j],i-1）*Y[j];
cout<<"sumY["< }
for（i=1;i<=index+1;i++）
{ //建立正规方程组
for（j=1;j<=index+1;j++）
a[i][j]=sumX[i+j-2];
b[i]=sumY[i];
}
k=1; //用高斯消元法解方程组
do{ for（j=k+1;j<=index+1;j++）
l[j][k]=a[j][k]/a[k][k];
for（i=k+1;i<=index+1;i++）{
for（j=k+1;j<=index+1;j++）
a[i][j]=a[i][j]-l[i][k]*a[k][j];
b[i]=b[i]-l[i][k]*b[k];
}
if（k==index+1） break;
k++;
}while
（1）;
x[index+1]=b[index+1]/a[index+1][ind
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