实验1无穷级数基础实验.docx
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实验1无穷级数基础实验
项目四无穷级数与微分方程
实验1无穷级数（基础实验）
实验目的
观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的
逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和,求幂级数的收敛域,展开函数为幂级数以及展
开周期函数为傅里叶级数的方法.
基本命令
1.求无穷和的命令Sum
该命令可用来求无穷和.例如,输入
Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]
则输出无穷级数的和为
命令Sum与数学中的求和号相当.
2.将函数展开为幂级数的命令Series
该命令的基本格式为
Series[f[x],{x,x0,n}]
它将
展开成关于
的幂级数.幂级数的最高次幂为
余项用
表
示.例如,输入
Series[y[x],{x,0,5}]
则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数
3.去掉余项的命令Normal
在将
展开成幂级数后,有时为了近似计算或作图,需要把余项去掉.只要使用
Normal命令.例如,输入
Series[Exp[x],{x,0,6}]
Normal[%]
则输出
4.强制求值的命令Evaluate
如果函数是用Normal命令定义的,则当对它进行作图或数值计算时,可能会出现问题.
例如,输入
fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]
Plot[fx,{x,-3,3}]
则只能输出去掉余项后的展开式
而得不到函数的图形.这时要使用强制求值命令Evaluate,改成输入
Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]
则输出上述函数的图形.
5.作散点图的命令ListPlot
ListPlot[]为平面内作散点图的命令,其对象是数集,例如,输入
ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]
则输出坐标为
的散点图（图1.1）.
图1.1
6.符号“/；”用于定义某种规则,“/；”后面是条件.例如,输入
Clear[g,gf];
g[x_]:
=x/;0<=x<1
g[x_]:
=-x/;-1<=x<0
g[x_]:
=g[x–2]/;x>=1
则得到分段的周期函数
再输入
gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]
则输出函数
的图形1.2.
图1.2
注:
用Which命令也可以定义分段函数,从这个例子中看到用“…（表达式）/;…（条件）”来
定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形,但用Mathematica命
令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用Which定义的分段函数可以求导但不能积
分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数.如:
Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x].
其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分.因此在求分
段函数的傅里叶系数时,对分段函数的积分往往要分区来积.在被积函数可以用单位阶跃函
数UnitStep的四则运算和复合运算表达时,计算傅里叶系数就比较方便了.
实验举例
数项级数
例1.1（教材例1.1）
（1）观察级数
的部分和序列的变化趋势.
（2）观察级数
的部分和序列的变化趋势.
输入
s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];
ListPlot[data];
N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]
N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]
则输出
（1）中级数部分和的变化趋势图1.3.
图1.3
级数的近似值为1.64493.
输入
s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];
ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];
则输出
（2）中级数部分和的的变化趋势图1.4.
图1.4
例1.2（教材例1.2）画出级数
的部分和分布图.
输入命令
Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;
While[1/n>10^-m,sn=sn+（-1）^（n-1）/n;
g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],
Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];
Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];
则输出所给级数部分和的图形（图1.5）,从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.
图1.5
例1.3求
的值.
输入
Sum[x^（3k）,{k,1,Infinity}]
得到和函数
例1.4（教材例1.3）设
求
.
输入
Clear[a];
a[n_]=10^n/（n!
）;
vals=Table[a[n],{n,1,25}];
ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]
则输出的散点图（1.6）,从图中可观察的变化趋势.输入
Sum[a[n],{n,l,Infinity}]
则输出所求级数的和.
图1.6
求幂级数的收敛域
例1.5（教材例1.4）求
的收敛域与和函数.
输入
Clear[a];
a[n_]=4^（2n）*（x-3）^n/（n+1）;
stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify
则输出
再输入
steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]
则输出
这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值.因此上式的绝对值小于1时,幂级数收敛;大于1
时发散.为了求出收敛区间的端点,输入
ydd=Solve[steptwo==1,x]
zdd=Solve[steptwo==-1,x]
则输出
由此可知,当
时,级数收敛,当
或
时,级数发散.
为了判断端点的敛散性,输入
Simplify[a[n]/.x->（49/16）]
则输出右端点处幂级数的一般项为
因此,在端点
处,级数发散.再输入
Simplify[a[n]/.x->（47/16）]
则输出左端点处幂级数的一般项为
因此,在端点
处,级数收敛.
也可以在收敛域内求得这个级数的和函数.输入
Sum[4^（2n）*（x-3）^n/（n+1）,{n,0,Infinity}]
则输出
函数的幂级数展开
例1.6（教材例1.5）求
的6阶麦克劳林展开式.
输入
Series[Cos[x],{x,0,6}]
则输出
注:
这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.
例1.6（教材例1.6）求在
处的6阶泰勒展开式.
输入
Series[Log[x],{x,1,6}]
则输出
例1.7（教材例1.7）求
的5阶泰勒展开式.
输入
serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];
Poly=Normal[serl]
则输出
的近似多项式
通过作图把
和它的近似多项式进行比较.输入
Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},
PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]
则输出所作图形（图1.7）,图中虚线为函数
实线为它的近似多项式.
图1.7
例1.9求
在
处的8阶泰勒展开,并通过作图比较函数和它的近似多项式.
输入
Clear[f];
f[x_]=Exp[-（x-1）^2*（x+1）^2];
poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]
Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->
{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],
GrayLevel[0]}]
则得到近似多项式和它们的图1.8.
图1.8
例1.10求函数
在
处的
阶泰勒展开,通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一步观察.
因为
所以输入
Do[Plot[{Sum[（-1）^j*x^（2j+1）/（2j+1）!
{j,0,k}],
Sin[x]},{x,-40,40},
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]
则输出为
的3阶和91阶泰勒展开的图形.选中其中一幅图形,双击后形成动画.图1.9是最后一幅图.
图1.9
例1.11利用幂级数展开式计算
（精确到
）.
因为
根据
在
处的展开式有
故前
项部分和为
输入命令
s[n_]=3（1-1/（5*3^4）-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/（5^kk!
3^（4k））,{k,2,n-1}]）;
r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!
3^（4n-5）/80;
delta=10^（-10）;n0=100;
Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];
If[r[n]则输出结果为
傅里叶级数
例1.12（教材例1.8）设
是以为周期的周期函数,它在
的表达式是
将
展开成傅里叶级数.
输入
Clear[g];
g[x_]:
=-1/;-Pi<=x<0
g[x_]:
=1/;0<=xg[x_]:
=g[x-2Pi]/;Pi<=x
Plot[g[x],{x,-Pi,5Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];
则输出
的图形（图1.10）.
图1.10
因为
是奇函数,所以它的傅里叶展开式中只含正弦项.输入
b2[n_]:
=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;
fourier2[n_,x_]:
=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];
tu[n_]:
=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]},{x,-Pi,5Pi},
PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];
（*tu[n]是以n为参数的作图命令*）
tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];
（*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*）
toshow=Partition[tu2,2];
（*Partition是对集合tu2作分割,2为分割的参数*）
Show[GraphicsArray[toshow]]
（*GraphicsArray是把图形排列的命令*）
则输出6个排列着的图形（图1.11）,每两个图形排成一行.可以看到越大,
的傅里叶级数的前
项和与
越接近.
图1.11
实验习题
1.求下列级数的和:
（1）
（2）
（3）
（4）
2.求幂级数
的收敛域与和函数.
3.求函数
的6阶麦克劳林多项式.
4.求
的6阶麦克劳林多项式.
5.设
求
的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的
图形作在一个坐标系内.
6.设
在一个周期内的表达式为
将它展开为傅里叶级
数（取6项）,并作图.
7.设
在一个周期内的表达式为
将它展开为傅里叶级数
（取8项）,并作图.
8.求级数
的和的近似值.
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