牛吃草问题.docx
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牛吃草问题
“牛吃草”问题
牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。
这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃多少天？
这个问题，因由英国著名的物理学家牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做“牛吃草”问题。
它的特点：
牛每天吃草，草每天在不断均匀生长，原有草量和新草生长速度是不变的。
解题环节主要有四步：
1、求出每天新长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、最后已知牛头数求出可吃的天数或已知天数求出牛的头数。
牛顿问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。
解答这类题目的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的草量。
显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，我们也能找到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
基本思路：
假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
牛吃草问题又称为消长问题，常用到四个基本公式：
（1）每天新长草=（长的天数×对应牛的头数－短的天数×对应牛的头数）÷（长的天数－短的天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数－每天新长草×吃的天数；
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－每天新长草）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+每天新长草。
这四个公式是解决牛吃草问题的基础。
一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
例1、一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。
如果有牛21头，几天能把草吃尽？
摘录条件：
27头6天原有草+6天生长草
23头9天原有草+9天生长草
21头？
天原有草+？
天生长草
设1头牛1天吃的草为"1"份，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。
为什么会多出这45呢？
这第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15。
现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。
由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上原有多少青草呢？
原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72，21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
例2、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。
5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
摘录条件：
5台20天原有水+20天入库量
6台15天原有水+15天入库量
？
台6天原有水+6天入库量
设1台1天抽水量为"1"份，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90每天入库量（100-90）÷（20-15）=2，20天入库2×20=40，原有水100-40=60，60+2×6=72，72÷6=12（台）
练习：
牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？
例3、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果
10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
例4、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
提示：
等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”。
例5、两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走3级台阶，女孩每秒可走2级台阶，结果从滚梯一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒，该滚梯共有多少级？
男生走了：
3×100=300（级）
女生走了：
2×300=600（级）
每秒新增的台阶：
（600-300）÷（300-100）=1.5（级）
即（自动滚梯的速度）
原有的量（自动滚梯原有的级数）：
300-1.5×100=150（级）
例6、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？
提示：
不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量．
每天减少的量：
（20×5-15×6）÷（6-5）=10
原有的量：
20×5+5×10=150
可供头数：
（150-10×10）÷10=5（头）
例7、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0.6分钟到达楼上．问：
该扶梯共有多少级？
每分钟减少的量：
（80×0.5-60×0.6）÷（0.6-0.5）=40（级/分）
即（自动扶梯的速度）
原有的量：
80×0.5+40×0.5=60（级）
作业：
1.一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长这片牧场可供10头牛吃20
天，可供15头牛吃10天.问：
可供25头牛吃多少天？
2.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：
原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？
3.一条船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏水时，船已经进了一些水。
如果用12个人来淘水，3小时可以淘光，如果用5个人来淘水，10小时才能淘光。
现在要2小时淘光，需要安排多少人淘水？
4.公路客运站早上5点开始售票，但早就有人排队等候买票了，每分钟来的旅客一样多，从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票口需30分钟，如果同时开6个售票口需20分钟。
如果让队伍10分钟消失，那么要同时开几个售票口？
5.假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照这样计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或可供90亿人生活210年。
为了使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？
6.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。
男孩20秒走了27级，女孩走了24级，按此速度男孩子2分钟到达另一端，而女孩需3分钟才能到达。
问该自动扶梯共有多少级?
7.由于天气逐渐变冷，牧场上草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，则11头牛可以吃多少天？
8.商场的自动滚梯以均匀的速度由下往上行驶着,两个孩子嫌滚梯走的太慢，于是在行驶的滚梯上,男孩每秒钟向上走1级台阶，女孩每3秒向上走2级台阶，结果男孩用50秒到达搂上，女孩用了60秒到达搂上。
问商场的自动滚梯共有多少级？
定义新运算
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
我们学过的常用运算有：
＋、－、×、÷等，在这一讲中，我们将定义一些新的运算。
对于这些新的运算符号同学们可能会感到陌生，但是解题时只要抓住新运算的运算法则，问题就迎刃而解了。
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。
它是使用特殊的运算符号，如：
*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、假设a★b=（a+b）÷b。
求8★5。
分析与解：
该题的新运算被定义为:
a★b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8★5=
例2、如果a◎b=a×b-（a+b）。
求6◎（9◎2）。
分析与解：
根据定义，要先算括号里面的。
这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。
6◎（9◎2）
=
=
=
=
[例1]定义一种运算△：
a△b＝3×a－2×b，
（1）求3△2，2△3；
（2）求（17△6）△2，17△（6△2）；
[分析]解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：
用运算符前面数的3倍减去运算符后面数的2倍。
[解]
（1）3△2＝3×3－2×2＝9－4＝5
2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0
（2）
[例2]定义新的运算a
b＝a×b＋a＋b。
（1）求6
2，2
6；
（2）求（1
2）
3，1
（2
3）；
[解]
（1）6
2＝2
6＝
（2）（1
2）
31
（2
3）
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
[例3]对于任意的两个整数a、b，定义两种运算
：
a
b＝a＋b－1，a
b＝a×b－1，计算4
[（6
8）
（3
5）]的值。
[解]4
[（6
8）
（3
5）]
＝
＝
＝
＝
＝
＝
[例4]定义x＊y＝a×x＋2×y，并且已知5＊6＝6＊5，求a是几？
[解]根据题意，
5＊6＝5×a＋2×6＝5a＋12
6＊5＝6×a＋2×5＝6a＋10
且5a＋12＝6a＋10
可以解出a＝2
【能力训练】
1．对于数a、b，定义运算“▽”为a▽b＝（a＋3）×（b－5），求5▽（6▽7）的值。
2．对于数x、y，定义两种运算“＊”及“△”如下：
x＊y＝6×x＋5×y，x△y＝3×x×y，求（2＊3）△4的值。
3．规定：
6＊2＝6＋66＝72，
2＊3＝2＋22＋222＝246，
1＊4＝1＋11＋111＋1111＝1234。
求7＊5。
4．规定“⊙”表示运算：
a⊙b＝3×a＋2×b，计算：
（1）4⊙5
（2）5⊙4（3）4⊙2⊙3（4）4⊙（2⊙3）
5．定义运算“＊”为a＊b＝a×b－（a＋b）。
求
（1）5＊7，7＊5；
（2）12＊（3＊4），（12＊3）＊4；
（3）这个运算“＊”有交换律、结合律吗？
6．定义一种运算“□”，x□y表示把x和y加起来除以4。
（1）求19□17的值。
（2）求2□（3□5）的值。
（3）求a□16＝10中a的值。
*7．规定a△b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），（a、b均为自然数，b>a），如果x△10＝65，求x。
巧求面积
多边形面积作为小学内容中的非常重要的组成部分，既是重点，也是难点，学生要想学好、学懂、学透，方法很重要，很多学生公式记得很牢，但遇到题目却无法使用，就是因为方法不对，下面整理总结了几种方法。
一、“割补法”求面积
割补法求面积是最常用的求面积方法
1）“割”就是分割，把要求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面积都可以直接用公式求出，最后求和
2）“补”就是补上一小块，得到一个更加完整的图形，使要求的
面积包含在这个完整的图形中，并且可以直接用公式求出，最后再减去所“补”上的图形面积。
例1计算右图的面积。
（单位：
cm）
分析右图是一个非规则图形，
直接求面积是求不出的，按
照“割”和“补”两种思想，我们可以得到以下几种割补方法。
例2如图，已知四条线段的长分别是AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积.
习题：
如图，大正方形边长是8厘米，小正方形边长是6厘米，阴
影部分面积是多少？
（尝试分别用“割”“补”的方法求）
二、“等积变形法”求面积
“等积变形”就是通过寻找与所求图形面积相等、可直接求出面积的图形，并将之转化从而求出指定图形面积的方法，使用的前提条件是“面积相等”。
判断等积可以有多种方法，比如，相同的图形、图形的平移、相关联的图形之间的等量关系、等底等高面积相等„„这需要平时的积
累和仔细的识图。
例1右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：
分米）
例2右下图是一块长方形草地，长方形的长时16米，宽是12米，中间有2条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么草地的面积是多少平方米？
分析：
这条平行四边形道路底是2米，高是12米，
因此这个平行四边形可以转换为长2米，宽12米
的长方形，然后把横、竖两条道路都移至边
上（如右图），阴影部分面积和原来一样大。
解答：
（16－2）×（12－2）=140（平方厘米）
习题：
如图，四边形ABCD是长方形，长AD是8厘米，宽AB是5厘米，四边形ABEF是平行四边形。
如果DH长4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
三、“分解法”求面积
“分解法”就是将已知的图形或图形的某一部分分解成若干个简单的图形，并通过这些简单图形之间的联系或这些图形与已知条件之间的联系求出解题的必要条件，达到化繁为简的目的，从而解决问题的作用。
“分解法”与“割补法”中的“隔”有类似的地方，但分解法不是简单的隔，分解时作为一个中间的过程，通过分析，结合已知条件，进行解答。
例1一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么现在的正方形比原来的正方形面积多95平方厘米，原来正方形的面积是多少平方厘米?
分析：
可以根据题意画出如图
所示的示意图，把增加部分的面积
分为A、B、C三部分，其中C部分
为边长是5厘米的正方形，面积是
5×5=25（平方厘米），A和B得宽都是5厘米，长都等于原来正方形的边长，即A和B得面积相等，因此，只要求出A和B得面积就可以求出原来正方形的边长，也就能求出原来正方形的面积。
解答：
A或B得面积=（95－5×5）÷2=35（平方厘米）
原来正方形的边长=35÷5=7（厘米）
原来正方形的面积=7×7=49（平方厘米）
例2如图，大小两个正方形对应边的距离都为1厘米，已知两个正方形的面积相差20平方厘米，求小正方形的面积
分析：
把两个正方形之间的“回”
字型部分分为A、B、C、D、E、
F、G、H八个部分，如右图所示。
A、B、C、D为边长1厘米的正
方形，E、F、G、H的面积相等，
并且宽都是1厘米。
只要求出他们其中一个的面积就可以求出小正方形的边长，也就可以求出小正方形的面积了。
解答：
E（F、G、H）的面积=（20－1×1×4）÷4=4（平方厘米）
A、B、C、D的正方形面积小正方形的边长=4÷1=4（厘米）
小正方形的面积=4×4=16（平方厘米）
总结：
例1中是把增加的面积部分进行分解，因为增加的部分是个不规则的形状，再结合已知条件求出面积。
例2中是把四边的回字形进行分割。
这2个例题都需要我们先画图，然后才能进行分割来解题。
习题：
一个梯形，它的下底是上底的2倍，如果上底延长7厘米，那么就成了一个面积56平方厘米的平行四边形，这个梯形的面积是多少平方厘米？
（先尝试画出这个梯形前后的变化，然后再解题）
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