高考数学二轮复习专题四概率与统计第2讲概率与统计学案文.docx
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高考数学二轮复习专题四概率与统计第2讲概率与统计学案文
第2讲 概率与统计
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件；2.概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度.
真题感悟
1.（2018·全国Ⅱ卷）从2名男同学和3名女同学中任取2人参加社区服务，恰好选中的2人都是女同学的概率是（ ）
A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3
解析 设2名男同学记为x，y，3名女同学记为a，b，c.
从中任取2人有{x，a}，{x，b}，{x，c}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{x，y}共10种不同的结果，其中都是女生的有{a，b}，{a，c}，{b，c}三种不同结果.
故所求事件的概率p＝
＝0.3.
答案 D
2.（2018·全国Ⅰ卷）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A.p1＝p2B.p1＝p3
C.p2＝p3D.p1＝p2＋p3
解析 不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2
，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝
×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝
－S1＝π－2.区域Ⅱ的面积为S2＝π·
－S3＝2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝
，p3＝
，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.
答案 A
3.（2017·全国Ⅱ卷）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析 法一 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数，
1
2
3
4
5
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
总计有25种情况，满足条件的有10种，
所以所求概率为
＝
.
法二 从5张卡片中有放回的随机抽取两次，共有25种结果.其中两次卡片上的数相同有5种.
所以抽得卡片上数字不同的概率p＝1－
＝
，
因此所求事件的概率p′＝
p＝
.
答案 D
4.（2018·天津卷）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.
解
（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.
（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种.
②由
（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种.所以，事件M发生的概率P（M）＝
.
考点整合
1.古典概型的概率
（1）公式P（A）＝
＝
.
（2）古典概型的两个特点：
所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.
2.几何概型的概率
（1）P（A）＝
.
（2）几何概型应满足两个条件：
①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.
3.概率的性质及互斥事件的概率
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率：
P（A）＝1.
（3）不可能事件的概率：
P（A）＝0.
（4）若A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B），特别地P（A）＋P（
）＝1.
热点一 几何概型
【例1】
（1）（2016·全国Ⅰ卷）某公司的班车在7：
30，8：
00，8：
30发车，小明在7：
50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）（2018·湖南师大附中联考）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sin
x的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图所示）.其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.
解析
（1）如图所示，画出时间轴：
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟.
根据几何概型得所求概率p＝
＝
.
（2）依题意，大圆的直径为y＝3sin
x的最小正周期T＝8.所以大圆的面积S＝π
＝16π.又一个小圆的面积S0＝π×12＝π.故所求事件的概率P＝
＝
＝
.
答案
（1）B
（2）
探究提高 1.几何概型适用条件：
当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积时，应考虑使用几何概型求解.
2.求解关键：
寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.
易错警示 在计算几何概型时，对应的是区间、区域还是几何体，一定要区分开来，否则结论不正确.
【训练1】
（1）若函数f（x）＝
在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（ ）
A.
B.1－
C.
D.
（2）（2018·湖南长郡中学调研）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD为正方形，G为线段BC的中点，四边形AEFG与四边形DGHI也是正方形，连接EB，CI，则向多边形AEFGHID中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析
（1）当0≤x<1时，恒有f（x）＝ex当1≤x≤e时，f（x）＝lnx＋e.
由lnx＋e≥e，得1≤x≤e.
∴所求事件的概率p＝
＝1－
.
（2）不妨设AB＝2，则BG＝1，AG＝
，
故多边形AEFGHID的面积S＝2×（
）2＋
×22＝12.
∵sin∠EAB＝cos∠GAB＝
.
∴S阴影＝
AE·AB·sin∠EAB＝
×
×2×
＝2.
故所求事件的概率p＝
＝
＝
.
答案
（1）B
（2）C
热点二 古典概型的概率
【例2】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
解 用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4＝16.
所以基本事件总数n＝16.
（1）记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，
即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），
所以P（A）＝
，即小亮获得玩具的概率为
.
（2）记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个.
即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）.
所以P（B）＝
＝
.
事件C包含的基本事件数共5个，
即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4，1）.
所以P（C）＝
.因为
＞
，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
探究提高 1.求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数.
2.两点注意：
（1）对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏.
（2）当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.
【训练2】（2018·泰安质检）某产品按行业质量标准分成五个等级A，B，C，D，E，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级
A
B
C
D
E
频率
a
b
0.45
c
0.1
（1）若所抽取的20件产品中，等级为A的恰有2件，等级为B的恰有4件，求c的值；
（2）在
（1）的条件下，将等级为A的2件产品记为A1，A2，等级为B的4件产品记为B1，B2，B3，B4，现从A1，A2，B1，B2，B3，B4这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级不相同的概率.
解
（1）由题意得a＝
＝0.1，b＝
＝0.2.
∴c＝1－（0.1＋0.2＋0.45＋0.1）＝0.15.
（2）由题意可得，所有可能的结果为：
（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）共15种情况.
任取两件产品中等级不同的共有8种情况，
所以，任取两件产品等级不同的概率为P＝
.
热点三 概率与统计的综合问题
【例3】（2018·西安二模）手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市随机调查了200名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表.已知从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为
.
（1）根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？
2×2列联表：
青年
中老年
总计
使用手机支付120
不使用手机支付48
总计200
（2）现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照“使用手机
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