第二章 一阶逻辑.docx

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第二章一阶逻辑

2.1一阶逻辑基本概念

[教学重点]量词的概念、谓词逻辑符号化的规则

[教学目的]1：

使学生理解谓词逻辑的含义。

2：

熟练掌握量词的意义。

3：

理解并学会应用一阶语言的概念及其中的逻辑符号化的规则。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时。

[教学过程]

讲述：

命题逻辑是逻辑理论的基础，是以命题为最小单元来分析研究推理理论的，现在来看如下日常生活中一个常见的推理。

●所有的人都是要死的；

●苏格拉底是人。

●所以，苏格拉底是要死的。

符号化为：

（p∧q）r

显然这是一个推理，但是是不正确的推理。

日常推理却是正确的。

命题逻辑无法准确描述这个推理过程，原因在于命题逻辑本身未对各原子命题之间的内部成分的逻辑关系加以研究。

为了更准确地对命题进行符号化，我们需要把一个逻辑判断的对象和谓语分离并细化，分析出其中的个体词、谓词和量词，研究它们的形式结构和逻辑关系，推理规则和推理形式，这就是本章的基本内容。

本节主要讨论一阶逻辑（谓词逻辑）的基本概念。

板书

2.1谓词逻辑基本概念

讲述

谓词逻辑是以谓词为基础的，类似以命题为基础的命题逻辑首先从命题开始，我们这里也必须先从谓词开始。

在谓词逻辑中，需要将简单命题拆开，作为最为简单的命题的陈述句，至少有主语和谓语组成，谓词就是句子中相当谓语部分的词，而把主语对应的部分称为个体词。

板书：

一、个体词

可以独立存在的具体或抽象的客体。

个体常项（a,b,c…）、个体变项（x,y,z…）

个体域：

个体变项的取值范围。

全总个体域：

将宇宙间的一切事物组成个体域。

二、谓词

表示个体词性质的或个体词之间相互关系的词

谓词常项：

表示具体性质或关系的谓词，用F、G、H…表示

谓词变项：

表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词，也用F、G、H…表示

n元谓词：

含有n个个体的谓词

n=0，0元谓词，不含有任何个体变项的谓词

n=1，1元谓词，以此类推。

。

。

示例1：

H（a），a：

张华，H（x）:

“…是学生”

H（x）是1元谓词，不是命题，H（a）是0谓词，是命题，

示例2：

小魏乘机去深圳；

设a：

小魏，b：

飞机，c：

深圳；P（x,y,z）：

x乘y去z；

P（a,b,c）

提问：

如何分析下列公式：

F（a），F（x），F（x，y），F（a，b），P（x1，x2，。

。

。

。

。

。

xn）

实质上：

n元谓词P（x1，x2，。

。

。

。

。

。

xn）可以看成以个体域为定义域，以{T，F}为值域的n元函数。

当P为谓词常项，a1，a2，。

。

。

。

。

。

an为个体常项时，P（a1，a2，。

。

。

。

。

。

an）才是命题。

示例3：

（1）所有的人都要死的

（2）有的人活百岁以上

讲述：

这两个命题中，除了个体词和谓词外，还有表示数量的词，称为量词

板书：

2量词

A全称量词

对应日常语言中的“一切”、“所有的”、“任意的”等词，以符号表示。

xF（x）表示个体域里的所有个体都有性质F。

B存在量词

对应日常语言中的“存在着”、“有一个”、“至少有一个”等词，用符号表示。

形成的命题公式为xF（x），即“存在x值，使F（x）为真”。

讲述：

符号化之前必须先明确个体域

板书：

第一种情况，个体域D为人类集合。

（1）xF（x），其中F（x）：

x是要死的

（2）xG（x），其中G（x）：

x活百岁以上

第二种情况，个体域为全总个体域

这时必须引入一个特性谓词，M（x）：

x是人

（1）x（M（x）F（x）），其中F（x）：

x是要死的

（2）x（M（x）G（x）），其中G（x）：

x活百岁以上

使用量词时，注意以下几点：

（1）在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样。

（2）如果事先没有给出个体域，以全总个体域为个体域。

（3）引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。

（4）个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化为命题至少需要n个量词。

例如：

xP（x，y，z）是二元谓词，因为若D={a1,a2,…,an}，xP（x，y，z）P（a1，y，z）P（a2，y，z）…P（an，y，z）

（5）当个体域为有限集时，如D={a1,a2,…,an}，对于任意的谓词A（x），有

xA（x）A（a1）A（a2）…A（an）

xA（x）A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）

这就是将谓词逻辑中命题公式转化为命题逻辑中的命题公式问题，叫做

消去量词等价式

（6）多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。

比如：

对于任意的x，存在着y，使得x+y=5。

取个体域为实数集。

命题符号化为：

xyH（x,y），其中，H（x,y）：

x+y=5。

这是真命题

如果将量词颠倒，变为yxH（x,y），意义与原意不符，成了假命题。

板书：

例：

求下列各式的真值

（1）

。

其中个体域

；一元谓词

，

。

（2）

。

其中个体域

；一元谓词

，

。

（3）

。

其中个体域

；零元谓词

；一元谓词

，

；个体常元

。

解根据量词的含义，，我们有：

（1）

（2）

（3）

下面举几个例子说明如何将命题符号化

板书：

例1：

将下列命题符号化

（1）所有的人都长着黑头发。

（2）有的人登上过月球。

（3）没有人登上过火星。

（4）在美国留学的学生未必都是华人。

解：

本题没有指明个体域，我们这里采用全总个体域。

并设一元谓词

是人。

（1）设

长着黑头发。

命题符号化为

这是个假命题。

（2）设

登上过月球。

命题符号化为

或者

这是个真命题。

（3）设

登上过火星。

命题符号化为

这是个真命题。

（4）设

是在美国留学的学生，

是华人。

命题符号化为

或者

例2：

（1）兔子比乌龟跑的快

（2）有的兔子比所有的乌龟跑的快

（3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快

（4）不存在跑得同样快的两只兔子

例3：

（1）火车比轮船快.

（2）有些汽车比所有火车慢.

解：

1F（x）:

x是火车，G（x）:

x是轮船，H（x,y）:

x比y快。

xy（F（x）G（y）H（x,y））

2F（x）:

x是汽车，G（x）:

x是火车，H（x,y）:

x比y慢。

x（F（x）y（G（y）H（x,y））或者xy（F（x）（G（y）H（x,y））

例3：

形式逻辑中有：

**是***，**不是***两句话，例如，“张三是教授”和“张三不是教授”。

若其中一句是正确的，另一句就肯定不正确。

请你构造出同时为真的两个句子。

如：

有些自然数是偶数，有些自然数不是偶数；符号化为：

xF（x）x﹁F（x）

例4：

当

趋向

时，函数

以

为极限的定义：

“任给

，存在

，当

时，有

”。

以实数集为个体域将该极限定义符号化。

解令二元谓词

大于

，则

表示：

表示：

所以该极限定义表示为

作业：

P53，2.2，2.3

2.2一阶逻辑合式公式及解释

[教学重点]公式解释与赋值的意义，等值演算的规则

[教学目的]1：

使学生理解公式解释和赋值的含义。

2：

熟习掌握等值演算的规则。

3：

理解并学会应用一阶语言及其中的逻辑符号化的规则。

[教学准备]

[教学方法]讲述法

[课时安排]二课时

[教学过程]

讲述：

上节讨论了谓词逻辑的谓词、量词、及符号化问题，按照命题逻辑讲述的顺序，下面需要涉及合式公式基本概念、公式的解释和分类，然后是等值演算，最后就是推理理论。

一、谓词公式

1）字母表：

个体常元：

a,b,c,,ai,bi,ci,（i≥1）；

个体变元：

x,y,z,,xi,yi,zi,（i≥1）；

函数符号：

f,g,h,,fi,gi,hi,（i≥1）；

谓词符号：

F,G,H,,Fi,Gi,Hi,（i≥1）；

量词符号：

；

联结词：

∧,∨,,；

括号和逗号：

（,）,٫。

2）项的递归定义：

a）个体常项和个体变项是项；

b）如果x1,x2,,xn是项，则fi（x1,x2,,xn）是项，其中fi（x1,x2,,xn）是x1,x2,,xn的函数；

c）只有有限次地使用

（1）

（2）生成的符号串才是项。

3）合式公式（谓词公式）：

原子公式：

若P为不能再分解的一元或n元谓词，P（x）或P（x1,x2,,xn）为原子公式。

合式公式的递归定义为：

（1）原子公式为合式公式；

（2）若A为合式公式，则A也是；

（3）若A、B为合式公式，则AB、AB、AB、AB也是；

（4）若A为合式公式，x为任意变元，则xA、xA也是；

（5）只有有限次应用1）-4）构成的符号串，才是合式公式。

例：

说明表达式P（f（a），b）∧（x）（P（f（x），g（x，f（x））Q（x））

二、自由与约束

在合式公式xA和xA中，称x为指导变项，A为相应量词的辖域。

在辖域中，x的所有出现称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现。

约束变元：

约束出现的变元

自由变元：

非约束变元的变元。

示例1：

∀x（P（x）→Q（y））∧R（y）

答：

∀的辖域是P（x）→Q（y），指导变元是x。

整个公式中，x是约束出现，受∀x的约束，y是自由出现

示例2：

（∀xP（x,y）→R（y,z））∨∃yQ（y）

答：

∀的指导变元是x，辖域是P（x,y）

（∀xP（x,y）→R（y,z））中，是x约束出现且受∀x的约束，y，z是自由出现。

∃yQ（y）中，∃的指导变元是y，辖域是Q（y），y是约束出现。

整个公式中，x约束出现，y既有约束出现又有自由出现，z是自由出现。

在一个公式中，某一个体变元既可以自由出现，又可以约束出现。

为了研究方便，而不致引起混淆，我们希望一个个体变元在同一个公式中只以一种身份出现，应用下面两条规则可以做到这一点。

1、约束变元的换名规则

将量词辖域中出现的某个约束变元及相应的指导变元，换成一个在辖域中未曾出现过的个体变元名。

公式的其余部分不变。

例如：

（∀xP（x,y）→R（y,z））∨∃yQ（y）

用ω代替∃yQ（y）中出现的y,变成

（∀xP（x,y）→R（y,z））∨∃ωQ（ω）

2、自由变元的替换规则

对于谓词公式中出现该自由变元的每一处，都使用同一个未在公式中出现过的变元替代。

例如：

（∀xP（x,y）→R（y,z））∨∃yQ（y）

用ω代替（∀xP（x,y）→R（y,z））中的y：

（∀xP（x,ω）→R（ω,z））∨∃yQ（y）

如果合式公式A中无自由变元，则称A是封闭的。

三、闭式

设A为任一公式，若A中无自由出现的个体变项，则称A是封闭的合式公式，简称闭式。

闭式的重要性质：

闭式在任何解释下不是真就是假，不可能给出解释I，使得闭式在I下真值不确定，这是闭式的一个重要特征。

例如：

xyH（x,y），xy（F（x）∧F（y）→┑L（x,y））,x（F（x）→G（x））∧F（a）→G（a）都是闭式。

例：

将下列两个公式中的变项指定为常项使其成为命题：

（1）x