版高中数学 第一章 立体几何初步 122 空间两条直线的位置关系学案 苏教版必修2.docx

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版高中数学第一章立体几何初步122空间两条直线的位置关系学案苏教版必修2

1.2.2　空间两条直线的位置关系

学习目标

　1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线.3.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所成的角的概念.

知识点一　空间两条直线的位置关系

思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

梳理

位置关系

共面情况

公共点个数

相交直线

在____平面内

有且只有__个

平行直线

在____平面内

没有

异面直线

不同在________平面内

没有

知识点二　异面直线的判断

思考　分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

梳理　判断异面直线的方法

方法

内容

定义法

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线

定理法

过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线

反证法

判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线

知识点三　平行公理（公理4）

思考　在平面内有直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c，该结论在空间中是否成立？

梳理　平行公理

（1）文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

（2）符号表示：

⇒a∥c.

知识点四　等角定理及异面直线所成的角

思考1　观察图象，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，

这两组角的大小关系如何？

思考2　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

梳理　

（1）等角定理

如果一个角的两边和另一个角的两边分别________并且方向________，那么这两个角________.

（2）异面直线所成的角

定义

前提

两条异面直线a，b

作法

经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b

结论

我们把a′和b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角

范围

记异面直线a与b所成的角为θ，则________

特殊情况

当θ＝________时，异面直线a，b互相垂直，记作________

类型一　公理4与等角定理的应用

例1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

反思与感悟　

（1）空间两条直线平行的证明

①定义法：

即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.

②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.

（2）等角定理的结论是相等，在实际应用时，一般是借助于图形判断两角的两边方向是否相同.

跟踪训练1　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证：

（1）四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）∠BMC＝∠B1M1C1.

类型二　异面直线的判断

例2　

（1）在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对.

（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？

分别是哪几对？

反思与感悟　判定异面直线的方法

（1）定义法：

利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在同一个平面内.

（2）利用异面直线的判定定理.

（3）反证法：

假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.

跟踪训练2　如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的不同两点，G，H是棱BC上异于B，C的不同两点，给出下列说法：

①AB与CD互为异面直线；

②FH分别与DC，DB互为异面直线；

③EG与FH互为异面直线；

④EG与AB互为异面直线.

其中说法正确的是________.（填序号）

1.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________.

2.下列四个结论中错误命题的个数是________.（填序号）

①垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.

3.在三棱锥的所有棱中，互为异面直线的有________对.

4.如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足________时，四边形EFGH是正方形.

5.如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：

E，F，G，H四点共面；

（2）若AC⊥BD，求证：

四边形EFGH是矩形.

1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.对于异面直线的判断，常用判定定理和反证法.

2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°，90°]，在解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.

答案精析

问题导学

知识点一

思考　平行与相交．

教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.

梳理　同一　一　同一　任何一个

知识点二

思考　不一定，可能平行、相交或异面．

知识点三

思考　成立．

知识点四

思考1　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

思考2　相等．

梳理　

（1）平行　相同　相等

（2）锐角（或直角）　0°<θ≤90°　90°

a⊥b

题型探究

例1　证明　

（1）如图，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，MN＝AC.

由正方体的性质，得

AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，

即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知，MN∥A1C1.

又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

跟踪训练1　证明　

（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴A1A綊M1M.

又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，

∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

例2　

（1）8

（2）解　三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.

还原的正方体如图所示．

跟踪训练2　①②③④

解析　因为直线DC⊂平面BCD，直线AB⊄平面BCD，点B∉直线DC，所以由异面直线的判定定理可知，①正确；同理，②③④正确．

当堂训练

1．相交、平行或异面　2.2　3.3

4．AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD

5．证明　

（1）如图所示，连结EF，FG，GH，HE，

在△ABD中，

∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴EH∥BD，

EH＝BD.

同理FG∥BD，

FG＝BD，

∴EH綊FG，∴E，F，G，H四点共面．

（2）由

（1）知EH綊FG，

∴四边形EFGH为平行四边形．

∵HG是△ADC的中位线，∴HG∥AC.

又EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥HG，

∴四边形EFGH为矩形．

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