Ø作差f(x1)-f(x2);
Ø变形(通常是因式分解和配方);
Ø定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
Ø下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
取值→作差→变形→定号→下结论
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=-f(x),则这个函数叫做奇函数。
设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数。
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心图形;反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数。
如果一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图像关于y轴对称,则这个函数是偶函数。
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;
2、偶次方根的被开方数大于等于零;
3、对数的真数大于零;
4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;
5、三角函数正切函数中;余切函数中;
6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法
三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法
四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法
五、函数单调性的常用结论:
1、若均为某区间上的增(减)函数,则在这个区间上也为增(减)函数
2、若为增(减)函数,则为减(增)函数
3、若与的单调性相同,则是增函数;若与的单调性不同,则是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在处有定义,则,如果一个函数既是奇函数又是偶函数,则(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数的定义域关于原点对称,则可以表示为
,该式的特点是:
右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
函数y=kx+b(k0)叫做一次函数,它的定义域为R,值域为R。
一次函数y=kx+b(k0)的图象是直线,以后简写为直线y=kx+b,其中k叫做该直线的斜率,b叫做该直线在y轴上的截距。
一次函数又叫做线性函数。
函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数,它的定义域是R。
函数的应用
基本初等函数
整数指数:
an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数。
并规定a1=a。
n必须是正整数,所以这样的幂叫做正整指数幂。
正整指数幂的运算满足如下法则:
分数指数:
正数的分数指数幂的意义
规定:
负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同,同样可以定义为:
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
指出:
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
有理数指数幂:
运算性质
(1)·;
(2);
(3)
根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.
式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).
当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).
由此可得:
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作.
表1
指数函数
对数数函数
定义域
值域
图象
性质
过定点
过定点
减函数
增函数
减函数
增函数
底数越小越接近坐标轴
底数越大越接近坐标轴
底数越小越接近坐标轴
底数越大越接近坐标轴
表2
幂函数
奇函数
偶函数
第一象限性质
减函数
增函数
过定点
以10为底的对数叫做常用对数。
换底公式:
自然对数:
以e为底的对数叫做自然对数。
积、商、幂的对数运算法则:
(1)loga(MN)=logaM+logaN
loga(N1N2N3…Nk)=logaN1+logaN2+logaN3+…+logaNk
即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和。
(2)loga()=logaM-logaN
即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。
(3)loga=logaM
即正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数。
幂函数定义:
一般地,函数y=xa叫做幂函数,x是自变量,a是常数。
幂函数的性质:
1、所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都过点(1,1)(原因:
1x=1);
2、在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴。
3、幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,值域是否出现在第二、第三象限内,要看函数的奇偶性,幂函数的图象最多只能同事出现在两个象限内,如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点。
4、幂函数的定义域的求法可分五种情况,即:
(1)为0;
(2)为正整数;(3)为负整数;(4)为正分数;(5)为负分数。
5、作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,只要作出幂函数在第一象限的图象,然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象。
6、幂函数的图象主要分为以下几类:
(1)当=0时,图象是过(1,1)点平行于x轴但抠去(0,1)点的一条“断”直线;
(2)当为正偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限及原点。
(3)当为正奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第三象限及原点。
(4)当为负偶数时,幂函数为偶函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。
(5)当为负奇数时,幂函数为奇函数,图象过第一、第二象限,但不过原点。
7、当>0时,幂函数图象一些性质:
(1)图象都通过点(1,1),(0,0);
(2)在第一象限内,函数值随x的增大而增大;
(3)在第一象限内,>1时,图象是向下凸的;0<<1时,图象是向上凸的。
8、当<0时,幂函数图象一些性质:
(1)图象都通过点(1,1);
(2)在第一象限内,函数值随x的增大而减小,图象是向下凸的。
反函数:
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。
我们称这两个函数互为反函数。
高中数学必修2知识点
数轴上的基本公式
如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B,则说点在轴上作了一次位移,点不动则说点作了零位移。
位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称向量。
数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。
平面直角坐标系中的基本公式
1、两点间距离公式:
设是平面直角坐标系中的两个点,
则
。
2、中点公式:
设,M(x,y)是线段AB的中点,
直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时,;
当时,;
当时,不存在。
②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:
(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程的几种形式
①点斜式:
直线斜率k,且过点
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
()直线两点,
④截矩式:
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式:
(A,B不全为0)
注意:
各式的适用范围
特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
(b为常数);
平行于y轴的直线:
(a为常数);
(5)直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:
(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:
,直线过定点;
(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数),其中直线不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
当,时,
两直线平行的充要条件:
;
两直线垂直的充要条件:
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
点到直线距离公式:
一点到直线的距离
两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;
方程组有无数解与重合
圆的方程
1、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
特别的,如果圆心在坐标原点,这时a=0,b=0,圆的标准方程就是。
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;
当时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有
;
;
(2)设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有
;
;
注:
如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;
当时,为同心圆。
空间直角坐标系
(1)定义:
如图,是单位正方体.以A为原点,
分别以OD,OA1,OB的方向为正方向,建立三条数轴x轴、y轴、z轴。
这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
1)O叫做坐标原点
2)x轴,y轴,z轴叫做坐标轴.
3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。
(2)右手表示法:
令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。
大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。
(3)任意点坐标表示:
空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示,有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)
空间两点的距离公式:
空间两点
的距离公式为
特别地,点到原点O的距离公式为
立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:
用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:
用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:
用各顶点字母,如五棱台
几何特征:
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5