中考数学复习专题 尺规作图.docx

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中考数学复习专题尺规作图

专题25尺规作图

☞解读考点

知　识　点

名师点晴

尺规作图

尺规作图概念

了解什么是尺规作图

五种基本作图

1．画一条线段等于已知线段

会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．

2．画一个角等于已知角

3．画线段的垂直平分线

4．过已知点画已知直线的垂线

5．画角平分线

会利用基本作图画较简单的图形．

1．画三角形

会利用基本作图画三角形较简单的图形．

2．画圆

会利用基本作图画圆．

☞2年中考

【2015年题组】

1．（2015深圳）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D．

考点：

作图—复杂作图．

2．（2015三明）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BDB．BD=CDC．∠A=∠BEDD．∠ECD=∠EDC

【答案】D．

【解析】

试题分析：

∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．

考点：

1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．直角三角形斜边上的中线．

3．（2015福州）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（　　）

A．80°B．90°C．100°D．105°

【答案】B．

【解析】

试题分析：

如图，

AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90°，所以∠AMB=90°，所以测量∠AMB的度数，结果为90°．故选B．

考点：

1．等腰三角形的性质；2．作图—基本作图．

4．（2015潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以大于

AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；

第三步，连接DE、DF．

若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（　　）

A．2B．4C．6D．8

【答案】D．

考点：

1．平行线分线段成比例；2．菱形的判定与性质；3．作图—基本作图．

5．（2015嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：

“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A．

考点：

作图—基本作图．

6．（2015衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理B．直径所对的圆心角是直角

C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径

【答案】B．

【解析】

试题分析：

由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为半径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：

直径所对的圆心角是直角．故选B．

考点：

1．作图—复杂作图；2．勾股定理的逆定理；3．圆周_角定理．

7．（2015自贡）如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP=

，并保留作图痕迹．（备注：

本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）

【答案】作图见试题解析．

考点：

作图—应用与设计作图．

8．（2015北京市）阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：

“小芸的作法正确．”

请回答：

小芸的作图依据是．

【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．

考点：

1．作图—基本作图；2．作图题．

9．（2015百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．

（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；

（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．

①求证：

OD⊥BC；

②求EF的长．

【答案】

（1）作图见试题解析；

（2）①证明见试题解析；②

．

【解析】

试题分析：

（1）按照作角平分线的方法作出即可；

（2）①由AD是∠BAC的平分线，得到

，再由垂径定理推论可得到结论；

②由勾股定理求得CF的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得

，即可求得

，继而求得EF的长．

考点：

1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题．

10．（2015南京）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：

只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）

【答案】答案见试题解析．

【解析】

试题分析：

①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；③以A为端点在AB上截取

试题解析：

满足条件的所有图形如图所示：

考点：

1．作图—应用与设计作图；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理；4．正方形的性质；5．综合题；6．压轴题．

11．（2015镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．

（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在

（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．

【答案】

（1）作图见试题解析；

（2）

．

【解析】

试题分析：

（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；

（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD的度数，得到

的长，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．

试题解析：

（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；

（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=

×3=135°，∵OA=5，∴

的长=

=

，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=

，∴R=

，即这个圆锥底面圆的半径为

．故答案为：

．

考点：

1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．

12．（2015广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：

不同的分法，面积可以相等）

【答案】答案见试题解析．

（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；

（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；

（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

试题解析：

根据分析，可得：

．

考点：

1．作图—应用与设计作图；2．操作型．

13．（2015孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（

）．

（1）用直尺和圆规作出

所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）

（2）若

的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求

所在圆的半径．

【答案】

（1）作图见试题解析；

（2）50m．

试题解析：

（1）如图1，点O为所求；

（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为

的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=

AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵

，∴

，解得r=50，即

所在圆的半径是50m．

考点：

1．作图—复杂作图；2．勾股定理；3．垂径定理的应用；4．作图题．

14．（2015宜昌）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：

以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于

GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

（1）求证：

AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

【答案】

（1）证明见试题解析；

（2）40°．

考点：

1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．

15．（2015随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明PC是⊙O的切线；

（2）在

（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求

的长．

【答案】

（1）作图见试题解析，证明见试题解析；

（2）

．

【解析】

试题分析：

（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线；

（2）先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可．

试题解析：

（1）作图如右图，连接OA，过O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切线；

（2）∵PA、PC是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等边三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=

，∴OA=

，∴

=

．

考点：

1．切线的判定与性质；2．弧长的计算；3．作图—基本作图．

16．（2015广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°．

（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在

（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．

【答案】

（1）作图见试题解析；

（2）

．

试题解析：

（1）如图所示；

考点：

1．作图—复杂作图；2．圆周角定理．

17．（2015吉林省）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：