八年级数学图形题附答案.docx
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八年级数学图形题附答案
初中数学组卷-图形题
评卷人
得分
一.解答题(共21小题)
1.如图,△ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,点D在线段AB上(与A,B不重合),连接BE.
(1)证明:
△ACD≌△BCE.
(2)若BD=2,BE=5,求AB的长.
2.如图,在△BC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB、AC为直角边作两个等腰直角三角形△ABD和△ACE使∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:
BD=CE.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是一条角平分线.求证:
AB=AC+CD.
4.如图.已知∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAB+∠DAE的度数;
(3)请问线段CE、BF、DE之间有什么数量关系?
请说明理由.
5.如图,已知△ABC是等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,AF=BD,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
AE=CF;
(2)求∠BEF的度数.
6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ADC=7,DE=2,AB=4,求AC的长.
7.如图,AC∥EF,AC=EF,点A、D、B、F在同一条直线上,AD=FB,试说明:
△ABC≌△FDE.
8.如图,线段AD,CE相交于点B,BC=BD,AB=EB,求证:
△ACD≌△EDC.
9.如图,△ACF≌△DBE,其中点A、B、C、D在一条直线上
(1)若BE⊥AD,∠F=62°,求∠A的大小;
(2)若AD=9cm,BC=5cm,求AB的长.
10.已知在△ABC与△ABD中,AC=BD,∠C=∠D=90°,AD与BC交于点E.
(1)求证:
AE=BE;
(2)若AC=3,BC=4,求△ACE的周长.
11.如图所示,BC=DE,BE=DC,试说明.
(1)BC∥DE;
(2)∠A=∠ADE.
12.如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠ABD=90°,点E为AD边上的一点,且AC=AE,连接CE交AB于点G,过点A作AF⊥AD交CE于点F.
(1)求证:
△AGE≌△AFC;
(2)若AB=AC,求证:
AD=AF+BD.
13.如图,E、F分别为△ABC的边BC、AC的中点,BC=4,延长EF至点D,使得DF=EF,连接DA、DC、AE.若AC⊥DE时,求四边形AECD的周长.
14.如图,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,过点D作AC的平行线交A的于点E,交AC于点,且∠BDC=130°,∠AFE比∠ABC大20°,求∠EDB的度数.
15.如图,点D,E分别在等边△ABC的边AC,BC上,BD与AE交于点P,∠ABD=∠CAE,BF⊥AE,AE=10,DP=2,求PF的长度.
16.如图,△ABC是等边三角形,AC上有点D,分别以BD为边作等边△BDE和等腰△BDF,边BC、DE交于点H,点F在BA延长线上且DB=DF,连接CE.求证
(1)△ABD≌△CBE;
(2)BC=AF+CE.
17.如图,△ABC与△AFD为等腰直角三角形,∠FAD=∠BAC=90°,点D在BC上,则:
(1)求证:
BF=DC.
(2)若BD=AC,则求∠BFD的度数.
18.如图,已知AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D.
(1)求∠DBC的度数;
(2)若△DBC的周长为14cm,BC=5cm,求AB的长.
19.等边三角形ABC中,D、E分别是AB、BC上的点,且AD=BE,AE、CD相交于点P,CF⊥AE.
(1)求∠CPE的度数;
(2)求证:
PF=
PC.
20.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥AB,AD=2,AB+CD=4,点E为BC的中点.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)若AE⊥BC,求CD的长.
21.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,过点B作BD⊥AC于点D,BE平分∠ABD交AC于点E.
(1)求证:
CB=CE;
(2)若∠CEB=80°,求∠DBC的大小.
初中数学组卷-图形题
参考答案与试题解析
一.解答题(共21小题)
1.如图,△ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,点D在线段AB上(与A,B不重合),连接BE.
(1)证明:
△ACD≌△BCE.
(2)若BD=2,BE=5,求AB的长.
【分析】
(1)由∠ACB=∠DCE,得出∠ACD=∠BCE,由SAS证得△ACD≌△BCE;
(2)由
(1)知:
△ACD≌△BCE,得出AD=BE=5,则AB=AD+BD=7.
【解答】
(1)证明:
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)解:
由
(1)知:
△ACD≌△BCE,
∴AD=BE=5,
∴AB=AD+BD=5+2=7.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
2.如图,在△BC中,AB=AC,∠BAC=40°,分别以AB、AC为直角边作两个等腰直角三角形△ABD和△ACE使∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,
(1)求∠DBC的度数;
(2)求证:
BD=CE.
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数;
(2)证明△ABD≌△ACE即可得到结论.
【解答】
(1)解:
∵△ABD为等腰直角三角形,
∴∠DBA=45°.
∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=70°.
∴∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+70°=115°;
(2)证明:
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形,
∴∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,
∵AB=AC,
∴AB=AD=AC=AE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是一条角平分线.求证:
AB=AC+CD.
【分析】过D作DE⊥AB于E,根据角平分线性质求出DE=DC,由AAS证得△ADE≌△ADC得出AE=AC,求出∠B=45°,求出∠EDB=∠B=45°,推出DE=BE=DC,代入即可得出结论.
【解答】证明:
过D作DE⊥AB于E,如图所示:
∵∠C=90°,
∴DC⊥AC,
∵AD是∠A的平分线,
∴DE=DC,
在△ADE和△ADC中,
,
∴△ADE≌△ADC(AAS),
∴AE=AC,
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠B=∠CAB=45°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∴∠EDB=45°=∠B,
∴BE=DE=DC,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定,角平分线性质等知识,作辅助线求出DE=BE=DC和AE=AC是解题的关键.
4.如图.已知∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAB+∠DAE的度数;
(3)请问线段CE、BF、DE之间有什么数量关系?
请说明理由.
【分析】
(1)易证∠BAC=∠DAE,由SAS证得△BAC≌△DAE;
(2)由等腰直角三角形得出∠E=45°,由△BAC≌△DAE,得出∠CAB=∠DAE,∠BCA=∠E=45°,则∠FAB+∠DAE=∠FAB+∠CAB=∠FAC,证出∠FAC=45°,即可得出结果;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,连接AG,易证∠ABF=∠G,由△BAC≌△DAE,得出AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,则AG=AD,∠ABF=∠CDA,推出∠G=∠CDA,由AAS证得△CGA≌△CDA得出CG=CD,通过等量代换即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)解:
∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由
(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠CAB=∠DAE,∠BCA=∠E=45°,
∠FAB+∠DAE=∠FAB+∠CAB=∠FAC,
∵∠AFC=90°,∠BCA=45°,
∴∠FAC=45°,
∴∠FAB+∠DAE=45°;
(3)解:
CE=2BF+2DE;理由如下:
延长BF到G,使得FG=FB,连接AG,如图所示:
∵AF⊥BG,
∴AB=AG,
∴∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
∵∠GCA=∠DCA=45°,
在△CGA和△CDA中,
,
∴△CGA≌△CDA(AAS),
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE,
∴CE=2BF+2DE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键.
5.如图,已知△ABC是等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,AF=BD,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
AE=CF;
(2)求∠BEF的度数.
【分析】
(1)由SAS易证△ABD≌△ACF得出CF=AD,由△ADE是等边三角形得出AE=AD,即可得出结论;
(2)由等边三角形的性质得出AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,则∠BAE=∠CAD,由SAS证得△ABE≌△ACD得出BE=CD,∠ABE=∠ACD,证得BE=BF,由∠EBF=∠ACD=60°,则△BEF是等边三角形,即可得出结果.
【解答】
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,∠CAB=∠ABC=60°,
在△ABD和△ACF中,
,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=AD,
∵△ADE是等边三角形,
∴AE=AD,
∴AE=CF;
(2)解:
∵△ABC和∠AED都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴BE=CD,∠ABE=∠ACD,
∵AB=BC,AF=BD,
∴BF=CD,
∴BE=BF,
∵∠EBF=∠ACD=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴∠BEF=60°.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
6.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若S△ADC=7,DE=2,AB=4,求AC的长.
【分析】根据角平分线的性质可知DF=DE=2,再依据S△ABC=S△ABD+S△ACD,可求AC值.
【解答】解:
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F,
∴DF=DE=2.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,AB=4,
∴7=
×4×2+
×AC×2,
∴AC=3.
【点评】本题主要考查了角平分线的性质,角平分线的性质主要体现在垂线段相等,一般可作为某三角形的高处理三角形的面积问题.
7.如图,AC∥EF,AC=EF,点A、D、B、F在同一条直线上,AD=FB,试说明:
△ABC≌△FDE.
【分析】先利用平行线的性质得到∠A=∠F,再由AD=FB得到AB=FD,然后根据“SAS”可判断△ABC≌△FDE.
【解答】证明:
∵AC∥EF,
∴∠A=∠F,
∵AD=FB,
∴AD+BD=BD+FB,
即AB=FD,
在△ABC和△FDE中
,
∴△ABC≌△FDE(SAS).
【点评】本题考查了全等三角形的判定:
灵活应用全等三角形的判定方法.
8.如图,线段AD,CE相交于点B,BC=BD,AB=EB,求证:
△ACD≌△EDC.
【分析】由BC=BD,可得∠ADC=∠ECD,再证明CE=DA.而CD边公共,根据SAS即可证明△ACD≌△EDC.
【解答】证明:
∵BC=BD,
∴∠ADC=∠ECD,
又AB=EB,
∴BC+EB=BD+AB,
即CE=DA.
在△ACD与△EDC中
,
∴△ACD≌△EDC(SAS).
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
9.如图,△ACF≌△DBE,其中点A、B、C、D在一条直线上
(1)若BE⊥AD,∠F=62°,求∠A的大小;
(2)若AD=9cm,BC=5cm,求AB的长.
【分析】
(1)根据全等三角形的性质得到∠FCA=∠EBD=90°,根据直角三角形的性质计算即可;
(2)根据全等三角形的性质得到CA=BD,结合图形得到AB=CD,计算即可.
【解答】解:
(1)∵BE⊥AD,
∴∠EBD=90°,
∵△ACF≌△DBE,
∴∠FCA=∠EBD=90°,
∴∠A=90°﹣∠F=28°;
(2)∵△ACF≌△DBE,
∴CA=BD,
∴CA﹣CB=BD﹣BC,即AB=CD,
∵AD=9cm,BC=5cm,
∴AB+CD=9﹣5=4cm,
∴AB=2cm.
【点评】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.
10.已知在△ABC与△ABD中,AC=BD,∠C=∠D=90°,AD与BC交于点E.
(1)求证:
AE=BE;
(2)若AC=3,BC=4,求△ACE的周长.
【分析】
(1)由AAS证得△ACE≌△BDE(AAS),即可得出结论;
(2)由
(1)得:
AE=BE,则△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=3+4=7.
【解答】
(1)证明:
在△ACE和△BDE中,
,
∴△ACE≌△BDE(AAS),
∴AE=BE;
(2)解:
∵AC=3,BC=4,
由
(1)得:
AE=BE,
∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=3+4=7.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形周长的计算等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
11.如图所示,BC=DE,BE=DC,试说明.
(1)BC∥DE;
(2)∠A=∠ADE.
【分析】
(1)由SSS证得△BCD≌△DEB得出∠CBD=∠EDB,即可得出结论;
(2)由AC∥DE,即可得出结论.
【解答】证明:
(1)在△BCD和△DEB中,
,
∴△BCD≌△DEB(SSS),
∴∠CBD=∠EDB,
∴BC∥DE;
(2)∵BC∥DE,
∴AC∥DE,
∴∠A=∠ADE.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识,熟练掌握全等三角形的判定与平行线的性质是解题的关键.
12.如图,在△ABC和△ABD中,∠BAC=∠ABD=90°,点E为AD边上的一点,且AC=AE,连接CE交AB于点G,过点A作AF⊥AD交CE于点F.
(1)求证:
△AGE≌△AFC;
(2)若AB=AC,求证:
AD=AF+BD.
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质得到∠C=∠AEG,利用ASA定理证明AGE≌△AFC;
(2)延长AF至点H,使AH=AD,证明△CAH≌△BAD,根据全等三角形的性质得到CH=BD,∠ACH=∠ABD=90°,得到CH∥AB,证明HC=HF,结合图形证明结论.
【解答】证明:
(1)∵∠CAB=∠FAE=90°,
∴∠CAB﹣∠FAG=∠FAE﹣∠FAG,即∠CAF=∠EAG,
∵AC=AE,
∴∠C=∠AEG,
在△AGE和△AFC中,
,
∴△AGE≌△AFC(ASA);
(2)延长AF至点H,使AH=AD,
在△CAH和△BAD中,
,
∴△CAH≌△BAD(SAS)
∴CH=BD,∠ACH=∠ABD=90°,
∴CH∥AB,
∴∠CHA=∠HAG,
∵△AGE≌△AFC,
∴∠AGE=∠AFC,
∴∠AGF=∠AFG,
∴∠CHA=∠CFH,
∴HC=HF,
∴AH=AF+HF=AF+CH,
∴AD=AF+BD.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
13.如图,E、F分别为△ABC的边BC、AC的中点,BC=4,延长EF至点D,使得DF=EF,连接DA、DC、AE.若AC⊥DE时,求四边形AECD的周长.
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CEF,可得AD=CE,∠DAF=∠FCE,可证平行四边形AECD是菱形,由直角三角形的性质可得AE=CE=BE=
BC=2,即可求四边形AECD的周长.
【解答】解:
∵E、F分别为△ABC的边BC,AC的中点,
∴EF∥AB,CE=BE,CF=AF
∵AF=CF,∠DFA=∠EFC,DF=EF,
∴△ADF≌△CEF(SAS)
∴AD=CE,∠DAF=∠FCE
∴AD∥CE,且AD=CE
∴四边形AECD是平行四边形
∵AC⊥DE
∴平行四边形AECD是菱形
∵EF∥AB,AC⊥DE
∴AC⊥AB,且CE=BE
∴AE=CE=BE=
BC=2
∴四边形AECD的周长=4×2=8
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,证明四边形AECD是菱形是本题的关键.
14.如图,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,过点D作AC的平行线交A的于点E,交AC于点,且∠BDC=130°,∠AFE比∠ABC大20°,求∠EDB的度数.
【分析】根据角平分线的定义得到∠EBC=2∠DBC,∠FCB=2∠DCB,根据已知条件求出∠DCB=30°,根据平行线的性质得到∠FDC=∠DCB,最后得出∠EDB=180°﹣∠BDC﹣∠FDC.
【解答】证明:
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB,
∵∠AFE﹣∠ABC=20°,
∴∠ACB﹣∠ABC=20°,
∵BD、CD分别∠ABC和∠ACB,
∴2∠DCB﹣2∠DBC=20°,
∴∠DCB﹣∠DBC=10°,
又∵∠BDC=130°,
∴∠DCB+∠DBC=50°,
∴∠DCB=30°,
∵EF∥BC,
∴∠FDC=∠DCB=30°,
∴∠EDB=180°﹣∠BDC﹣∠FDC=180°﹣130°﹣30°=20°.
【点评】此题主要考查了角平分线的定义,三角形内角和定理和平行线的性质,熟练掌握角平分线的定义,三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键.
15.如图,点D,E分别在等边△ABC的边AC,BC上,BD与AE交于点P,∠ABD=∠CAE,BF⊥AE,AE=10,DP=2,求PF的长度.
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件,可以证出△BAD≌△ACE,进而得到BD=AE=10,求出BP的长为8,再证明△BPF是含有30°的直角三角形,利用30°角所对的直角边等于斜边的一半,进而求出答案.
【解答】解:
∵等边△ABC,
∴AB=AC,∠C=∠BAD=∠ABC=60°,
又∵∠ABD=∠CAE,
∴△BAD≌△ACE(ASA)
∴BD=AE=10,
∵PD=2,
∴BP=10﹣2=8,
∵∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠CAE+∠BAP=∠SAC=60°,
又∵BF⊥AE,
∴∠PBF=90°﹣60°=30°,
在Rt△BPF中,PF=
BP=4,
答:
PF的长为4.
【点评】考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识,在等边三角形中构造三角形全等是常见的题目.
16.如图,△ABC是等边三角形,AC上有点D,分别以BD为边作等边△BDE和等腰△BDF,边BC、DE交于点H,点F在BA延长线上且DB=DF,连接CE.求证
(1)△ABD≌△CBE;
(2)BC=AF+CE.
【分析】
(1)由等边三角形的性质可证AB=CB,DB=EB,∠ABC=∠DBE=60°,进一步推出∠ABD=∠CBE,即可证得△ABD≌△CBE;
(2)先证∠CDH=∠HBE,由DF=DB可推出∠F=∠CDE,由△ABD≌△CBE可得到CE=AD,再证△FAD≌△DCE,得到FA=DC,即可推出结论BC=AF+CE.
【解答】证明:
(1)∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴AB=CB,DB=EB,∠ABC=∠DBE=60°,
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC,
即∠ABD=∠CBE,
∴△ABD≌△CBE(SAS);
(2)∵△ABC与△BDE为等边三角形,
∴∠CAB=∠ACB=60°,BC=AC,∠DEB=60°,DE=DB,
在△DCH与△BEH中,
∵∠DCH=∠HEB=60°,∠DHC=∠BHE,
∴∠CDH=∠HBE,
由
(1)知∠ABD=∠CBE,
∴∠CDE=∠ABD,
又∵DB=DF,
∴∠F=∠ABD,DF=ED,
∴∠F=∠CDE,
由
(1)知△ABD≌△CBE,
∴∠ECB=∠DAB=60°,CE=DA,
∴∠DCE=∠ECB+∠DCB=120°,∠FAD=180°﹣∠CAB=120°,
∴△FAD≌△DCE(AAS),
∴FA=CD,
∴AF+CE=CD+AD=AC=BC,
即BC=AF+CE.
【点评】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,等边对等角性质等,解题关键是能够灵活运用全等三角形的判定与性质.
17.如图,△ABC与△AFD为等腰直角三角形,∠FAD=∠BAC=90°,点D在BC上,则:
(1)求证:
BF=DC.
(2)若BD=AC,则求∠BFD的度数.
【分析】
(1)由“SAS”可证△ABF≌△ACD,可得BF=DC;
(2)由全等三角形的性质可得∠ABF=∠ACD=45°,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BFD的度数.
【解答】证明:
(1)∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴AB=AC,AF=AD,∠FAD=∠BAC=90°,
∴∠BAF=∠CAD,且AB=AC,AF=AD
∴△ABF≌△ACD(SAS)
∴BF=DC
(2)∵△ABC与△AFD为等腰直角三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠ADF=45°
∵AB=AC=BD
∴∠BDA=∠BAD=67.5°
∴∠BDF=22.5°
∵△ABF≌△ACD,
∴∠ABF=∠ACD=45°
∴∠BFD=180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BFD=67.5°
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,熟练运用全等三角形