八年级 因式分解一 北师大版.docx
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八年级因式分解一北师大版
因式分解
（1）
第1节分解因式
预习检测
1.分解因式的概念
把一个多项式化成几个整式的_____的形式，这种变形叫做把多项式分解因式.
2.请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式.
（1）x2－2=（x+1）（x－1）－1
（2）（x－3）（x+2）=x2－x+6
（3）3m2n－6mn=3mn（m－2）
（4）ma+mb+mc=m（a+b）+mc
（5）a2－4ab+4b2=（a－2b）2
3.下列等式属于因式分解的是（）
A、x2+3x-4=x（x+3）-4B、（x+4）（x-1）=x2+3x-4
C、x2+3x=x（x+3）D、x2+3x-4=x（x+3-
）
典型例题
例1.
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;④m（a+b+c）=__________;⑤a（a+1）（a－1）=__________．
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（）（）;②m2－16=（）（）;③ma+mb+mc=（）（）;
④y2－6y+9=（）2．⑤a3－a=（）（）．
例2：
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
二、好好想一想
（1）计算：
－84×125+125×67+5×25
（2）计算：
（3）计算：
（4）计算：
（－2）1999+21998
（5）9993－999能被998整除吗？
能被998和1000整除吗？
为什么？
（6）求代数式ma+mb+mc的值，其中m=－25.6,a=53.2,b=66.4,c=－19.6．
随堂训练
1．下列从左到右的变形，是分解因式的为_________．[]
A．x2－x=x（x－1）B．a（a－b）=a2－ab
C．（a+3）（a－3）=a2－9D．x2－2x+1=x（x－2）+1
2．计算下列各式：
（1）（a+b）（a－b）=________．
（2）（a+b）2=________．
（3）8y（y+1）=________．（4）a（x+y+1）=________．
根据上面的算式填空：
（5）ax+ay+a=（）（）（6）a2－b2=（）（）
（7）a2+2ab+b2=（）（）（8）8y2+8y=（）（）
3．连一连：
a2－1（a+1）（a－1）
a2+6a+9（3a+1）（3a－1）
a2－4a+4a（a－b）
9a2－1（a+3）2
a2－ab（a－2）2
4．32002－32001－32000能被5整除吗？
为什么？
5．对于任意自然数n，2n+4－2n能被15整除吗？
为什么？
6．计算：
7.6×2008+4.3×2008－1.9×2008
7．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的值．
【课后作业】
1．下列变形中,属于因式分解的是________．
[]
A．（a+b）（a－b）=a2－b2B．x2－y2+4y－4=（x+y）（x－y）+4（y－1）
C．a3－b3=（a－b）（a+ab+b）D．a2－10a+10=a（a－10）+10
2．计算（－2）11+（－2）10的结果是________．
[]
A．（－2）21B．210C．－210D．－2
3．a2x+ay－a3xy在分解因式时，应提取的公因式是________．
[]
A．a2B．aC．axD．ay
4．多项式－5xy+5x分解因式的结果是________．
[]
A．－5x（y+1）B．－5x（y－1）C．5x（y+1）D．5x（y－1）
5．49x3yz3+14x2y2z2－21xy2z2在分解因式时应提取的公因式是________．
[]
A．7x3yz3B．7x2y2z2C．7xy2z2D．7xyz2
第2节提公因式法
预习检测
1．下列各恒等变形中,是因式分解的是（）.
A．a2－2ab+b2=（a－b）2B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2b+ab2+c=ab（a+b）+cD．a2－2ab+b2－c=（a－b）2－c
2．多项式36a2bc－48ab2c+24abc2的最高公因式是（）.
A．12abcB．6a2bcC．12a2b2c2D．36a2b2c2
3．多项式－3x2n－9xn分解因式的结果是（）．
A．3（－x2n+3xn）B．－3（x2n－3xn）C．－3xn（xn+3）D．－3xn（x2+3）
4.分解因式:
－4m3+16m2－6m=_____________．
典型例题
例1.将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72
（2）a2b－5ab（3）4m3－6m2
（4）a2b－5ab+9b（5）－a2+ab－ac（6）－2x3+4x2－2x
【随堂训练】
1．多项式
+
提取公因式
后的另一个因式是（）．
（A）
（B）
（C）
+1（D）
+1
2．下列各式分解正确切是（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
3.把多项式－4a3+4a2－16a分解因式（）．
A．－a（4a2－4a+16）B．a（－4a2+4a－16）
C．－4（a3－a2+4a）D．－4a（a2－a+4）
4.如果多项式－
abc+
ab2－a2bc的一个因式是－
ab,那么另一个因式是（）．
A．c－b+5acB．c+b－5acC．c－b+
acD．c+b－
ac
5.用提取公因式法分解因式正确的是（）．
A．12abc－9a2b2=3abc（4－3ab）
B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y）
C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c）
D．x2y+5xy－y=y（x2+5x）
6.单项式－12x12y3与8x10y6的公因式是________．
二、把下列各式分解因式：
1．2a－4b;2．ax2+ax－4a;3．3ab2－3a2b;
4．2x3+2x2－6x;5．7x2+7x+14;6．－12a2b+24ab2;
7．xy－x2y2－x3y3;8．27x3+9x2y．
三、简算下题：
【课后作业】
把下列各式分解因式：
1．a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;
2．x2y－3xy2+y3;
3．2（x－y）2+3（y－x）;
4．5（m－n）2+2（n－m）3．
因式分解
（2）
第1课时【预习检测】
1．下列各恒等变形中,是因式分解的是（）.
A．a2－2ab+b2=（a－b）2B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．a2b+ab2+c=ab（a+b）+cD．a2－2ab+b2－c=（a－b）2－c
2．多项式36a2bc－48ab2c+24abc2的最高公因式是（）.
A．12abcB．6a2bcC．12a2b2c2D．36a2b2c2
3．多项式－3x2n－9xn分解因式的结果是（）．
A．3（－x2n+3xn）B．－3（x2n－3xn）C．－3xn（xn+3）D．－3xn（x2+3）
4.分解因式:
－4m3+16m2－6m=_____________．
【高效课堂】
例1：
把a（x－3）+2b（x－3）分解因式．
例2：
把下列各式分解因式：
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2．
例3、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;（6）－s2+t2=__________（s2－t2）．
三、本课小结
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：
ma+mb+mc=m（a+b+c）.
这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生.
【随堂训练】
1．下列分解因式结果正确的是_________．[]
A．6（x－2）+x（2－x）=（x－2）（6+x）
B．x3+2x2+x=x（x2+2x）
C．a（a－b）2+ab（a－b）=a（a－b）
D．3xn+1+6xn=3xn（x+2）
2．分解因式b2（x－2）+b（2－x）正确的结果是_________．[]
A．（x－2）（b2+b）B．b（x－2）（b+1）
C．（x－2）（b2－b）D．b（x－2）（b－1）
3．如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是_________．[]
A．42B．－42C．13D．－13
4.－xy2（x+y）3+x（x+y）2的公因式是________．
5.5（m－n）4－（n－m）5可以写成________与________的乘积．
6.请分解因式
（1）x（x－y）－y（y－x）
（2）（x+y）（x－y）－（x+y）2
（3）8a（x－y）2－4b（y－x）
（4）（x+y）2+mx+my
（5）a（x－a）（x+y）2－b（x－a）2（x+y）
【预习作业】
1.用简便方法计算，并写出运算过程：
（7
）2-2.42＝_____________．
2.分解因式：
（1）x2-y2=;x2-4=;
3.把下列各式分解因式：
（1）25-16x2；
（2）
第2节运用公式法
第2课时【预习检测】
1.在括号内填上适当的数或式
（1）4x2=（）2
（2）36a4=（）2
（3）
=（）2（4）-64x3y6=（）3
2.填空
（1）4a2-（）=（2a+3b）（2a-3b）
（2）a2-b2=（a+）（a-）
（3）4d2-（a+b）2=（2d+）（2d-）
（4）9x2-（）=（3x+2x+2y）（3x-2x-2y）
【高效课堂】
1．平方差公式
（1）式子：
a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）语言：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（3）例子：
把x2-16和9m2-4n2分解因式.
很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式。
而16=42，9m2=（3m）2,4n2=（2n）2,所以有
x2-16=x2-42=（x+4）（x-4）
9m2-4n2=（3m）2-（2n）2=（3m+2n）（3m-2n）
2．应用举例：
例1：
把下列各式分解因式。
（1）1-25b2
（2）x2y2-z2（3）
（4）-9+16a2
式题：
分解因式：
（1）
；
（2）
（3）
；（4）
例2：
把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
变式题：
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2;
（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.
同步练习
一、选择题
1.（a+b）2-100因式分解为[]
A.（a+b-10）（a+b+10）B.（a+b-10）（a-b+10）
C.（a+b-10）2D.（a+b-10）2
2.289-（ax-by）2因式分解为[]
A.（17-ax-by）（17+ax+by）B.（17-ax-by）（17+ax-by）
C.（17-ax+by）（17+ax+by）D.（17-ax+by）（17+ax-by）
3.（x+1）2-y2分解因式应是[]
A.（x+1-y）（x+1+y）B.（x+1+y）（x-1+y）
C.（x+1-y）（x-1-y）D.（x+1+y）（x-1-y）
4.16x16-y4z4因式分解为[]
A.（2x4-yz）（2x4+yz）（4x8+y2z2）B.（2x2-yz）（2x2+yz）（4x8+y2z2）
C.（4x2-yz）（4x2+yz）（4x4+y2z2）D.（4x4-yz）（4x4+yz）（x4+y2z2）
二、填空
1.分解因式:
a2（x-y）+b2（y-x）=________________．
2.分解因式:
x-x5=________________．
3.b2-（a-b+c）2因式分解为_____________________．
4.分解因式:
a2（a-2b）2-9（x+y）2=_______________________．
三、解答
把下列各式分解因式：
（1）49x2－121y2;
（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;
（4）－36x2+
y2;（5）（a－b）2－1;（6）9x2－（2y+z）2;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2;（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.
（9.）因式分解:
3x2-27（10）分解因式:
m2（x-y）+n2（y-x）
【预习作业】
1.把乘法方式
（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2,反过来，就得到a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2
上面这个变化过程是分解因式吗？
说明你的理由。
2.把下列各式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+m）2-6（m+n）+9
（3）3ax2+6axy+3ay2;（4）-x2-4y2+4xy
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