圆的有关概念和性质.docx

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圆的有关概念和性质

专题九圆

第一节圆的有关概念和性质

一【知识梳理】

1.圆的有关概念和性质

（1）圆的有关概念

①圆：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

（2）圆的有关性质：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

②垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

③弧、弦、圆心角的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．

④三角形的内心和外心

ⓐ：

确定圆的条件：

同一直线上的三个点确定一个圆．

ⓑ：

三角形的外心：

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

ⓒ：

三角形的内心：

和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心

2.与圆有关的角

（1）圆心角：

顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

（2）圆周角：

顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

（3）圆心角与圆周角的关系：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

（4）圆内接四边形：

顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．

3.正多边形和圆

（1）通过等分圆画正多边形。

（等分圆心角；懂得正三、六；

正四、八边形的特殊画法）

（2）外接于圆的正多边形的有关概念：

正多边形的中心、

半径、中心角、边心距；

（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等

于正n边形内角的一半，∠BOP=

，BP等于正多边形的边长的一半。

一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。

（“转化”是解决问题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如：

用“换元法”解方程、解方程中的‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等）

方法技巧：

1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。

如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。

圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。

2.圆中常作的辅助线：

作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。

二【课前练习】

1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（）

A．60○B．45○C．30○D．15○

2.如图，MN所在的直线垂直平分弦AB，利用这样的工

具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心．

3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、

E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）

A．180°B．150°C．135°D．120°

4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50○，那么∠ACB等于（）

A．40○B．50○C．65○D．130○

5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：

“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦

AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（）

A．12．5寸B．13寸C．25寸D．26寸

6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）

A．50°B．80°C．100°D．130°

7.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60○，AC＝3，则△ABC的周长是____________.

8⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8，

求AB与CD之间的距离．

9（2007山东临沂）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形

ABCD的周长为10。

（1）求此圆的半径；

（2）求图中阴影部分的面积。

10．（2006年长春市）如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C=25°，求∠A的度数。

11.如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，

，求CD的长。

12.（06连云港）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE与AC交于点F。

（1）求证：

△ABE≌△CDE；

（2）若AE=6，DE=9，求EF的长。

13.填写下表：

边数

内角

中心角

半径

边长

边心距

周长

面积

n

a

an

Rn

an

rn

Pn

Sn

3

4

16

6

2

三：

【课后训练】

1.（2007福建福州）如图2，

中，弦

的长为

cm，圆心

到

的距离为4cm，则

的半径长为（）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

2（2007四川成都）如图，⊙

内切于

，切点分别为

．

已知

，

，连结

，

那么

等于（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3（07淄博）如图1，已知：

△ABC是⊙O的内接三角形，

AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=

，则⊙O的直径等于。

4（2007重庆市）已知，如图2：

AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。

给出以下五个结论：

①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧

是劣弧

的2倍；⑤AE＝BC。

其中正确结论的序号是。

5（2007山东枣庄）如图3，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC＝。

6（2007四川成都）如图4，已知

是

的直径，弦

，

，

，那么

的值是．

7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。

m，圆周角∠ACB=30○，则⊙O的直径等于_________cm．

8.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______

9．（2006年贵阳市）如她4，B是线段AC上的一点，且

，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为；

10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）

11.（2006年苏州市）如图①，△ABC内接于⊙0，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．

（1）求证：

∠ADB=∠E；

（2）求证：

AD2=AC·AE；

（3）当点D运动到什么位置时，

△DBE∽△ADE请你利用图②

进行探索和证明

第二节点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

一【知识梳理】

1.点与圆的位置关系:

2.直线和圆的位置关系：

切线长定理：

过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。

3.圆与圆的位置关系

（1）同一平面内两圆的位置关系：

①相离:

没有公共点；②相切:

只有一个公共点；③相交:

有两个公共点；④同心圆。

（2）圆心距：

两圆圆心的距离叫圆心距．

（3）

（注意：

两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆）

4.切线的性质和判定

（1）切线的定义：

直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线．

（2）切线的性质：

圆的切线垂直于过切点的半径．

（3）切线的判定：

①d=r

直线与圆相切（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法）②经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（当知道直线经过半径的外端点时，只需证明垂直）

二【课前练习】

1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：

⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____；

⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____；

⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.

2.已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为cm．

3.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（）

A．

B．2

C．3D．4

4.（2007山东临沂）如图，在△ABC中，AB＝2，

AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC

交于点D，则AD的长为（）。

A

A、

B、

C、

D、

5.（2007重庆市）已知⊙O1的半径

为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）C

（A）相交（B）内含（C）内切（D）外切

6.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（）．C

A．相离B．相切C．相交D．内含

7.两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）

A．d＞8B．0＜d≤2C．2＜d＜8D．0≤d＜2或d＞8

8.Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：

①以点C为圆心1．3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）

A．0个B．l个C．2个D．3个

9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，

OA=3，则cos∠APO的值为（）

10.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是

⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）

A．70°B．40°C．50°D．20°

11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，

求⊙O的半径．

12.如图,⊙O的半径为1,过点A（2,0）的直线切⊙O于点B,

交y轴于点C

（1）求线段AB的长

（2）求以直线AC为图象的一次函数的解析式

13（2007浙江温州）如图，点P在

的直径BA的延长线上，AB＝2PA，PC切⊙

于

点C，连结BC。

（1）求

的正弦值；

（2）若⊙

的半径r＝2cm，求BC的长度。

三【课后训练】

1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有__