专题3三角函数与平面向量综合检测.docx

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专题3三角函数与平面向量综合检测

专题三综合检测

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列命题中，真命题的个数为（　　）

①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若＝，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点．

A．4　　　　B．3　　　　

C．2　　　　D．1

2．函数f（x）＝tan（－x）的单调递减区间为（　　）

A．（kπ－，kπ＋），k∈ZB．（kπ－，kπ＋），k∈Z

C．（kπ－，kπ＋），k∈ZD．（kπ，（k＋1）π），k∈Z

3．（2010·新课标全国文，10）若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin（α＋）＝（　　）

A．－B.

C．－D.

4．（2011·大纲全国卷理，5）设函数f（x）＝cosωx（ω>0），将y＝f（x）的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（　　）

A.B．3

C．6D．9

5．（2011·山东理，6）若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝（　　）

A．3B．2

C.D.

6．（2011·潍坊二模）函数y＝cos（2x＋）－2的图象F按向量a平移到F′，F′的函数解析式为y＝f（x），当y＝f（x）为奇函数时，向量a可以等于（　　）

A．（－，－2）B．（－，2）

C．（，－2）D．（，2）

7．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝，则B等于（　　）

A．30°B．60°

C．90°D．120°

8．（2011·全国大纲理，12）设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于（　　）

A．2B.

C.D．1

9．在△ABC中，若2cosB·sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（　　）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

10．设F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为（　　）

A．0B．1

C.D．2

11．（文）（2011·新课标文，11）设函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（　　）

A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称

B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称

C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称

D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称

（理）（2011·新课标理，11）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（　　）

A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减

C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增

12．（2011·山东理，12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ（λ∈R），＝μ（μ∈R），且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（　　）

A．C可能是线段AB的中点

B．D可能是线段AB的中点

C．C，D可能同时在线段AB上

D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．）

13．（2011·南京二模）函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）（x∈R）的最小正周期是________．

14．（2011·北京理，9）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.

15．（文）（2011·上海文，12）在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·＝________.

（理）（2011·浙江理，14）若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．

16．（2011·吉林高三质检）函数f（x）＝3sin的图像为C，如下结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①图像C关于直线x＝π对称；

②图像C关于点对称；

③函数f（x）在区间内是增函数；

④由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）（2011·重庆理，16）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2（－x）满足f（－）＝f（0），求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）（2011·安徽文，16）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos（B＋C）＝0，求边BC上的高．

19．（本小题满分12分）（2010·江西文，19）已知函数f（x）＝（1＋cotx）sin2x－2sin（x＋）sin（x－）．

（1）若tanα＝2，求f（α）；

（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．

20．（本小满分12分）（2011·重庆一诊）已知向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－3－m）．

（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；

（2）若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．

21．（本小满分12分）（2010·浙江文，18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA＋sinB的最大值．

22．（本小满分14分）（2011·浙江五校二模）已知向量m＝1，sinωx＋，n＝（其中ω为正常数）．

（1）若ω＝1，x∈，求m∥n时tanx的值；

（2）设f（x）＝m·n－2，若函数f（x）的图像的相邻两个对称中心的距离为，求f（x）在区间上的最小值．

详解答案

1[答案]　D

[解析]　∵|a|＝|b|即两向量的模相等，但方向不确定，∴①不正确；对于②，当b＝0时，其方向是任意的，∴a∥c不对；对于④，当＝时，A、B、C、D有可能共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，故选D.

2[答案]　B

[解析]　f（x）＝tan（－x）＝－tan（x－），

所以f（x）的单调递减区间满足不等式

－＋kπ

－＋kπ

3[答案]　A

[解析]　本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．

由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，

所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得

sin（α＋）＝sinαcos＋cosαsin

＝（－）×＋（－）×＝－，故选A.

4[答案]　C

[解析]　由题意知，＝·k，∴ω＝6k，

令k＝1，∴ω＝6.

5[答案]　C

[解析]　依题意y＝sinωx的周期T＝4×＝π，

又T＝，∴＝π，∴ω＝.

故选C（亦利用y＝sinx的单调区间来求解）

6[答案]　B

[解析]　函数y＝cos（2x＋）－2按向量a＝（m，n）平移后得到y′＝cos（2x－2m＋）＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋（k∈Z），故m＝－时适合．

7[答案]　B

[解析]　∵＝＝，

∴sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，

移项得sin（B＋C）＝2sinA·cosB，

∴sinA＝2sinA·cosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，

∴B＝60°.故选B.

8[答案]　A

[解析]　如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.

∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1.

又∵a·b＝－，

∴|a|·|b|·cos∠AOB＝－，

∴cos∠AOB＝－.∴∠AOB＝120°.

∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°，

∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2.

9[答案]　C

[解析]　法一：

∵C＝π－（A＋B），

∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA.

∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0.

∵－π

方法二：

由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝，

代入条件式得2··＝，

∴a2＝b2.故a＝b.

10[答案]　A

[解析]　设P（x，y），F1（－，0），F2（，0），

则·＝（－－x，－y）·（－x，－y）＝x2＋y2－3.

∵△F1PF2的面积S＝|||y|＝·2·|y|＝|y|＝1，

∴y2＝.由于点P在椭圆上，

∴＋y2＝1.∴x2＝.

∴·＝x2＋y2－3＝＋－3＝0.故选A.

11[答案]　D

[解析]　此类题目应先化简函数解析式为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋m形式再求解．

f（x）＝sin＋cos＝sin

＝cos2x.

则函数在单调递减，其图象关于x＝对称．

11理[答案]　A

[解析]　依题意：

f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）

＝sin（ωx＋φ＋），

又T＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋φ＋）

又f（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ＋（k∈Z），

即φ＝kπ＋.

又|φ|<，∴φ＝，

∴f（x）＝sin（2x＋）＝cos2x.

又y＝cosx在x∈[0，π）单调递减，

则由0<2x<π得0

即f（x）＝cos2x在（0，）单调递减，故选A.

12[答案]　D

[解析]　依题意：

C（c,0），D（d,0）调和分割点A（0,0），B（1,0），则有：

＝λ，＝μ，即（c,0）＝λ（1,0）＝（λ，0），

（d,0）＝μ（1,0）＝（μ，0），∴c＝λ，d＝μ，

又＋＝2，∴＋＝2.

对于A，若C为AB中点，则c＝，又＋＝2，

∴d不存在，A错误．同理B错误．

若C正确，则0

∴≥1，≥1，又λ，μ不能同时取1，

∴＋>2.∴C错误．故选D.

13[答案]　π

[解析]　因为f（x）＝cosx（sinx＋cosx）

＝sin2x＋＝sin＋，

所以最小正周期为T＝π.

14[答案]　；2

[解析]　依题意：

0

∴sinA＝＝.

由正弦定理得：

a＝·sinA＝5××＝2.

15[答案]　

[解析]　·＝（＋）＝2＋·

＝32＋3×1×cos120°＝9－＝.

15[答案]　[，]

[解析]　平行四边形面积S＝||||sinθ＝，

∵|α|≤1，|β|≤1，

∴sinθ≥，又θ∈[0，π]，∴θ∈[，]

16[答案]　①②③

[解析]　①∵f＝3sin

＝3sinπ＝－3，∴x＝π为对称轴．

②∵f＝3sin＝3sinπ＝0，

∴为f（x）的图像的对称中心．

③由－

由于函数y＝3sinx在内单调递增，

故函数f（x）在内单调递增．

④∵f（x）＝3sin2，

由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2＝3sin，故答案为①②③.

17[解析]　f（x）＝asinxcosx－cos2x＋sin2x

＝sin2x－cos2x，

由f（－）＝f（0）得－·＋＝－1，解得a＝2.

∴f（x）＝sin2x－cos2x＝2sin（2x－），

当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为增函数．

当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为减函数．

∴f（x）在[，]上的最大值为f（）＝2，

又f（）＝，f（）＝，

∴f（x）的最小值为f（）＝.

18[解析]　如图所示

∵cos（B＋C）＝－cosA，

1＋2cos（B＋C）＝0

∴1－2cosA＝0，即cosA＝，

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA

∵a＝，b＝，∴3＝2＋c2－2××c×，

即c2－c－1＝0，

∵c>0，∴c＝，

设BC边长的高为h，S△ABC＝bcsinA＝·a·h，

即×·＝·h

∴h＝＝，即BC边上的高为.

19[解析]　

（1）f（x）＝·sin2x－2（sinx＋cosx）（sinx－cosx）

＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x

f（α）＝

＝＝＝.

（2）由

（1）f（x）＝cos2x＋sinxcosx

＝＋＝sin（2x＋）＋，

≤x≤⇒≤2x＋≤

⇒－≤sin（2x＋）≤1⇒0≤f（x）≤，

∴f（x）∈[0，]．

20[解析]　

（1）∵向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－3－m），

∴＝（3,1），＝（2－m,1－m），

由三点共线知3（1－m）＝2－m，解得m＝.

（2）由题设知＝（－3，－1），＝（－1－m，－m），

∵∠ABC为锐角，∴·＝3＋3m＋m>0，

解得m>－.

又由

（1）可知，当m＝时，A，B，C三点共线，

故m∈（－，）∪（，＋∞）．

21[解析]　

（1）由题意可知，absinC＝·2abcosC，

∴tanC＝，

又∵0

（2）由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin（π－C－A）

＝sinA＋sin（－A）

＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA

＝sin（A＋）≤.

当且仅当A＋＝，即A＝，

即当△ABC为正三角形时取等号，

∴sinA＋sinB的最大值是.

22[解析]　

（1）m∥n时，sin＝sin，

sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin，

则sinx－cosx＝sinx＋cosx.

∴sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋.

（2）f（x）＝2sinsin

＝2sincos

＝2sincos＝sin.

（或f（x）＝2sinsin

＝2

＝2

＝－sin2ωx＋sin2ωx＝sin.）

∵函数f（x）的图像的相邻两个对称中心的距离为，

∴f（x）的最小正周期为π，又ω为正常数，

∴＝π，解得ω＝1.故f（x）＝sin.

因为x∈，所以－≤2x－≤.

故当x＝－时，f（x）取最小值－.