立体几何中的最值.docx

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立体几何中的最值

立体几何最值问题

姓名

立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。

下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1.在正四棱锥S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，底面边长为

，点P、Q分别在线段BD、SC上移动，则P、Q两点的最短距离为（）

A.

B.

C.2D.1

二、定性分析法求最值

例2.已知平面α//平面β，AB和CD是夹在平面α、β之间的两条线段。

AB⊥CD，AB=3，直线AB与平面α成30°角，则线段CD的长的最小值为______。

三、展成平面求最值

例3.如图3-1，四面体A-BCD的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。

平面α分别截棱AB、BC、CD、DA于点P、Q、R、S，则四边形PQRS的周长的最小值是（）

A.2aB.2bC.2cD.a+b+c

图3-1

四、利用向量求最值

例4.在棱长为1的体ABCD-EFGH中，P是AF上的动点，则GP+PB的最小值为_______。

一、线段长度最短或截面周长最小问题

例1.正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?

并求之.

例2.如图，形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。

点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=

（1）求MN的长；

（2）当

为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角

的大小。

例3.如图，边长均为a的形ABCD、ABEF所在的平面所成的角为

。

点M在AC上，点N在BF上，若AM=FN,

（1）求证:

MN//面BCE;

（2）求证:

MN

AB;

（3）求MN的最小值.

例4.形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。

点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=x,BN=y,

（1）求MN的长（用x,y表示）；

（2）求MN长的最小值，该最小值是否是异面直线AC，BF之间的距离。

例5.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求

（1）周长的最小值；

（2）周长为最小时截面积的值，（3）用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

二、面积最值问题

例7.如图1所示，边长AC＝3，BC＝4，AB＝5的三角形简易遮阳棚，其A、B是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太线与地面成30°角，试问：

遮阳棚ABC与地面成多大角度时，才能保证所遮影面ABD面积最大?

例8.在三棱锥A—BCD中，ΔABC和ΔBCD都是边长为a的正三角形，二面角A—BC—D＝φ，问φ为何值时，三棱锥的全面积最大。

例9、一个圆锥轴截面的顶角为1200，母线为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为。

例10、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。

例11、在棱长为1的体ABCD—ABCD中，若G、E分别是BB1、C1D1的中点，点F是形ADD1A1的中心。

则四边形BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值是。

三、体积最值问题

例12.如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，

（1）求证：

PA2+PB2+PC2为定值；

（2）求三棱锥P—ABC的体积的最大值.

评析：

定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题

（1）若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为

（1）的证明指明方向.

球面上任一点对球的直径所的角等于90°，这应记作很重要的性质.

四、角度最值问题。

例13.在棱长为1的体ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上的一动点，平面PAD1和平面PBC1与对角面ABC1D1所成的二面角的平面角分别为α、β，试求α+β的最大值和最小值.

“动态”立体几何题初探

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一、截面问题

截面问题是立体几何题中的一类比较常见的题型，由于截面的“动态”性，使截得的结果也具有一定的可变性。

例1、已知正三棱柱A1B1C1—ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成α角的截面△MNC,（0<

）,使MN//AB，求截面的面积。

二、翻折、展开问题

图形的翻折和展开必然会引起部分元素位置关系的变化，求解这类问题要注意对变化前后线线、线面位置关系、所成角及距离等加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面的元素其相对关系和数量关系则发生变化。

不变量可结全原图型求解，变化了的量应在折后立体图形中来求证。

例2、下图表示一个体的展开图，图中AB、CD、EF、GH这四条直线在原体中相互异面的有（）

A2对B3对C4对D5对

例3、从三棱锥P—ABC的顶点沿着三条侧棱PA、PB、PC剪开，成平面图形，得到△P1P2P3，且P1P2=P2P3；

三、最值问题

立体几何题中经常会涉及到角度、距离、面积、体积最大值、最小值的计算，很多情况下，我们可以把这类动态问题转化成目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值。

例4、（2002年全国高考）如图，形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，（0

）.

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

例6、圆柱轴截面的周长L为定值，求圆柱侧面积的最大值。

四、探索型问题

由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不可确定，探索型问题正好通过这种“动态性”和不确定性考查学生的发散性思维。

例7、已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M，N分别是AB、PC的中点，

（1）求证MN⊥AB；

（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？

若能确定，求出θ的值，若不能确定，说明理由。

例8、如图，△ABC是正三角形，AD和CE都⊥平面ABC，且AD=AB=1，CE=1/2，问：

能否在线段BD上找到一点F，使AF⊥平面BDE？

五、

其它类型

利用三垂线定理、射影定理、线线、线面垂直的性质等在动态问题中提炼一些不变的、“静态”的量，从而达到解题的目的。

例9、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于（）

A300B450C600D900

例10、体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是。

例11、在棱长为1的体ABCD—ABCD中，若G、E分别是BB1、C1D1的中点，点F是形ADD1A1的中心。

则四边形BGEF在体侧面及底面共6个面的射影图形面积的最大值是。

“动态”立体几何题面面观

本文所指的“动态”立体几何题，是指立体几何题中除了固定不变的的线线、线面、面面关系外，渗透了一些“动态”的点、线、面元素，给静态的立体几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力的考查。

一．定值问题

例1 如图在棱长为a的体

中，EF是棱AB上一条线段，且EF＝b＜a，若Q是

上的定点，P在

上滑动，则四面体PQEF的体积（）．

（A）是变量且有最大值  （B）是变量且有最小值  （C）是变量无最大最小值   （D）是常量

分析：

此题的解决需要我们仔细分析图形的特点．这个图形有很多不确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素？

求四面体的体积要具备哪些条件？

仔细观察图形，应该以哪个面为底面？

观察

，我们发现它的形状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF的距离也是定值，故它的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．

三、围问题

例3。

求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值围。

分析：

因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角的平面角，故不能通过正常的途径算出其围，既然是动态的图形，我们则可以从图形的极限思想出发思考这个问题。

四、截面问题

例4、已知正三棱柱A1B1C1—ABC的底面积为S,高为h,过C点作三棱柱的与底面ABC成α角的截面△MNC,（0<

）,使MN//AB，求截面的面积。

五、翻折、展开问题

例5 给出任意的一块三角形纸片，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种方案，并加以简要的说明．

例6.正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求

（1）周长的最小值；

（2）周长为最小时截面积的值，（3）用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.

评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.

例7.如图，ABCDEF为正六边形，将此正六边形沿对角线AD折叠.

（1）求证：

AD⊥EC，且与二面角F—AD—C的大小无关；

（2）FC与FE所成的角为30°时，求二面角F—AD—C的余弦值.

六、探索型问题

例8.已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

（Ⅰ）求证：

不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

例9.有三个几何事实（a，b表示直线，

表示平面），①a∥b，②a∥

，③b∥

．其中，a，b在面

外．

用其中两个事实作为条件，另一个事实作为结论，可以构造几个命题？

请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪．正确的给出证明，错误的举出反例．

18.棱长为1的体ABCD—A′B′C′D′的上底面对角线AC上取一点P,过P、A′、B′三点所作的截面与底面A′B′C′D′的夹角为α,过P、B′、C′三点所作截面与底面A′B′C′D′的夹角为β，求当（α+β）最小时点P的位置.