黄浦区高三二模数学Word版附解析.docx

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黄浦区高三二模数学Word版附解析

上海市黄浦区2018届高三二模数学试卷

2018.04

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知集合

，若

，则非零实数

的数值是

2.不等式

的解集是

3.若函数

是偶函数，则该函数的定义域是

4.已知

的三内角

所对的边长分别为

，若

，则内角

的大小是

5.已知向量

在向量

方向上的投影为

，且

，则

=

（结果用数值表示）

6.方程

的解

7.已知函数

，则函数

的单调递增区间是

8.已知

是实系数一元二次方程

的一个虚数根，且

，则实数

的取值范围是

9.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至

65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用

分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试

问这次抽样调查抽取的人数是人

10.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是

（结果用数值表示）

11.已知数列

是共有

个项的有限数列，且满足

，若

，

，

，则

12.已知函数

对任意

恒有

成立，则代数式

的最小值是

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.空间中，“直线

平面

”是“直线

与平面

内无穷多条直线都垂直”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要

14.二项式

的展开式中，其中是有理项的项数共有（）

A.4项B.7项C.5项D.6项

15.实数

满足约束条件

，则目标函数

最大值是（）

A.0B.1C.

D.3

16.在给出的下列命题中，是假命题的是（）

A.设

是同一平面上四个不同的点，若

，则点

必共线

B.若向量

是平面

上的两个不平行的向量，则平面

上的任一向量

都可以表示为

，且表示方法是唯一的

C.已知平面向量

、

、

满足

，

且

，则

是等边三角形

D.在平面

上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量

、

、

、

，

使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.在四棱锥P-ABCD中，

，AB⊥AD，BC∥AD，

，

，

.

（1）画出四棱锥P-ABCD的主视图；

（2）若

，求直线PB与平面PCD

所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

18.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知

米，

米，

，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为

弧度.

（1）求

关于

的函数解析式；

（2）记铭牌的截面面积为

，试问

取何值时，

的值最大？

并求出最大值

19.已知动点

到点

的距离为

，动点

到直线

的距离为

，且

.

（1）求动点

的轨迹

的方程；

（2）过点

作直线

交曲线C于P、Q两点，若△OPQ的面积

（

是坐标系原点），求直线

的方程.

20.已知函数

（1）求函数

的反函数

；

（2）试问：

函数

的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若方程

的三个实数根

满足

，且

，求实数

的值.

21.定义：

若数列

和

满足

，

，且

，

，则称数

列

是数列

的“伴随数列”.已知数列

是

的伴随数列，解答下列问题：

（1）若

，

，求数列

的通项公式

；

（2）若

，

为常数，求证：

数列

是等差数列；

（3）若

，数列

是等比数列，求

、

的数值.

参考答案

一.填空题

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．

12．

二.选择题

13.A14.B15.D16.D

三.解答题

17．解：

视图如下：

（2）根据题意，可算得

.

又

，按如图所示建立空间直角坐标系，

可得，

.

于是，有

.

设平面

的法向量为

，则

即

令

，可得

，故平面

的一个法向量为

.

设直线

与平面

所成角的大小为

，则

.

所以直线

与平面

所成角的大小为

.

18．解：

（1）根据题意，可算得弧

（

），弧

（

）.

又

，于是，

，

所以，

.

（2）依据题意，可知

化简，得

于是，当

（满足条件

）时，

（

）.

答所以当

米时铭牌的面积最大，且最大面积为

平方米.

19．解：

（1）结合题意，可得

.

又

，于是，

，化简得

.

因此，所求动点

的轨迹

的方程是

.

（2）联立方程组

得

.

设点

，则

，

，

于是，弦

，

点

到直线

的距离

.由

，

得

，化简得

，

解得

，且满足

，即

都符合题意.

因此，所求直线的方程为

.

20．解：

（1）

当

时，

.

由

，得

，互换

，可得

.

当

时，

.

由

，得

，互换

，可得

.

（2）函数图像上存在两点关于原点对称.

设点

是函数图像上关于原点对称的点，

则

，即

，

解得

，且满足

.

因此，函数图像上存在点

关于原点对称.

（3）考察函数

与函数

的图像，可得

当

时，有

，原方程可化为

，

解得

，且由

，得

.

当

时，有

，原方程可化为

，

化简得

，

解得

（当

时，

）.

于是，

.

由

，得

，解得

.

因为

，故

不符合题意，舍去；

，满足条件.因此，所求实数

.

21．解：

（1）根据题意，有

.

由

，

，得

，

.

所以

，

．

（2）

，

，

∴

，

，

．

∴

，

．∴数列

是首项为

、公差为

的等差数列．

（3）

，

，

由

，得

.

是等比数列，且

，设公比为

，则

.

∴当

，即

，与

矛盾．因此，

不成立.

当

，即

，与

矛盾．因此，

不成立.

，即数列

是常数列，于是，

（

）.

.

，数列

也是等比数列，设公比为

，有

.

可化为

，

.

，

关于

的一元二次方程

有且仅有两个非负实数根.

一方面，

（

）是方程

的根；另一方面，

若

，则无穷多个互不相等的

都是该二次方程的根.这与该二次方程有且仅有两个非负实数根矛盾！

，即数列

也是常数列，于是，

，

.

由

，得

.

把

，代入

解得

.