函数图像切线问题.docx
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函数图像切线问题
函数图像的切线问题
要点梳理归纳
1.求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及其方法
（1）已知切点P（x0，f（x0）），求y＝f（x）在点P处的切线方程：
切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.
（2）已知切线的斜率为k，求y＝f（x）的切线方程：
设切点为P（x0，y0），通过方程k＝f′（x0）解得x0，再由点斜式写出方程.
（3）已知切线上一点（非切点）A（s,t），求y＝f（x）的切线方程：
设切点为P（x0，y0），利用导数将切线方程表示为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），再将A（s,t）
代入求出x0.
2．两个函数图像的公切线
函数y=f（x）与函数y=g（x）存在公切线，
f′x0＝g′x0，
若切点为同一点P（x0，y0），则有
fx0＝gx0.
若切点分别为（x
f（x
））,（x
g（x
f（x1）g（x2）
1
2
））,则有f（x1）g（x2）
.
1
2
x2
x1
题型分类解析
题型一已知切线经过的点求切线方程
例1.求过点P（2,2）与已知曲线S:
y3x
x3相切的切线方程.
解：
点P不在曲线S上.
设切点的坐标
x,y
0
，则y0
3x0
x0
3，函数的导数为
y'
3
3x2，
0
切线的斜率为k
y'
xx
3
3x2
，
切线方程为y
y0
（33x0
2）（xx0），
0
0
点P（2,2）
在切线上，
2
y0
（3
3x0
2）（2
x0），又y0
3x0
x0
3，二者联立
可得x01,或x0
1
3,相应的斜率为k
0或k
96
3
1/12
切线方程为
y
2或y
96
3
（x
2）
2.
例2.
设函数f
x
g
x
x2
，曲线
y
g
x
在点
1,g1
处的切线方程为
y
2x
1，则曲线y
f
x
在点
1,f
1
处的切线方程为________
解析：
由切线过
1,g
1
可得：
g1
3
，所以
f
1
g1
12
4，另一方面，
g'
1
2，且f'
x
g'
x
2x，所以
f'
1
g'
1
2
4，从而切线方程为：
y
4
4x
1
y
4x
例3.已知直线y
kx
1与曲线y
x3
ax
b切于点（1,3），则b的值为_________
解析：
代入
（1,3）可得：
k
2
，f'
x
3x2
a，
所以有
f
1
a
b
1
3
a
1
f'
1
3
a
2
，解得
3
b
题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）
例4.已知函数f
x
lnx
2x，则：
（1）在曲线fx
上是否存在一点，在该点处的切线与直线
4x
y
2
0平行
（2）在曲线fx
上是否存在一点，在该点处的切线与直线
x
y
3
0垂直
解：
设切点坐标为
x0,y0
f'x0
1
2
由切线与4x
y
2
0平行可得：
x0
f'x0
1
24
x0
1
y0f
1
ln1
1
x0
2
2
2
切线方程为：
y
1
ln2
1
y
4x
ln2
1
4x
2
2/12
（2）设切点坐标
x0,y0
f'x0
1
2，直线x
y30的斜率为1
x0
f'x0
1
21x0
1
而x0
0,
x0
3
x0
1
不在定义域中，舍去
3
不存在一点，使得该点处的切线与直线xy30垂直
例5.函数fxalnxbx2上一点P2,f2处的切线方程为y3x2ln22，
求a,b的值
思路：
本题中求a,b的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，
P在直线y
3x
2ln22
上，
y
32
2ln2
2
2ln2
4
，即f2=2ln2
4
，得到a,b的一个等量关系，
在从切线斜率中得到
x
2的导数值，进而得到
a,b的另一个等量关系，从而求出
a,b
解：
P在y
3x2ln2
2上，
f
2
32
2ln2
2
2ln2
4
f
2
aln2
4b
2ln2
4
又因为P处的切线斜率为
3
f'x
a
2bx
x
a
aln2
4b
2ln2
4
a
2
f'
2
4b
3,
a
4b
3
b
1
2
2
例6.
设函数f
x
x3
ax2
9x
1a
0
，若曲线y
f
x
的斜率最小的切线与直
线12x
y6平行，求
a的值
思路：
切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12，进而可得导函数的
3/12
最小值为
12，便可求出a的值
2a
1a2
1a2
1a
2
解：
f'
x
3x2
2ax
93
x2
93
x
1a2
9
3
9
3
3
3
f'xmin
f
1a
1a2
9
直线12x
y
6的斜率为
12
，依题意可得：
3
3
1a2
912a3
a0a
3
3
题型三
公切线问题
例7.
若存在过点（1,0）
的直线与曲线
yx3和y
ax2
15
x9都相切,则a等于（
）
4
A.
1
或
25
B.
1或
21
C.
7
或
25
D.
7
或7
64
4
4
64
4
思路：
本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线
y
ax2
15x
9含有参数，所以考虑
4
先从常系数的曲线y
x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线
y
ax2
15x
9求出a的值.设过
1,0
的直线与曲线
y
x3
切于点
x0,x03
切线方
4
程为y
x03
3x02
x
x0
，即y3x02x
2x03
，因为1,0
在切线上，所以解得：
x0
0
或x0
3
，即切点坐标为
0,0或
3,27
.当切点
0,0时，由y
0
与
2
2
8
y
ax2
15x
9相切可得
4
2
25，同理，切点为
3,27解得a
15
4a
9
0
a
1
4
64
2
8
4/12
答案：
A
小炼有话说：
（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所
以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与y
ax215
x9求a的过程中，由于曲线y
ax215
x9为抛物
4
4
线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的
0来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：
一
方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若
曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）
例8.若曲线C1：
y
x2与曲线C2：
y
aex存在公切线，则
a的最值情况为（
）
A．最大值为
8
B
．最大值为
4
C
．最小值为
8
D
．最小值为
4
e2
e2
e2
e2
解析：
设公切线与曲线C1切于点
x1,x12
，与曲线C2切于点
x2,aex2
，由
y'
2x
可得：
y'
aex
aex2
x2
2x1
2x1
x12
x12x2
2
x2
2x1
x
，所以有
x2
x1
ae
4x2
4，
ae2
x2
1
，所以
x1
2x
aex2
1
即a
4x2
1
，设f
x
4
x1
，则f'
x
42
x
.可知fx
在
1,2单调递
ex2
ex
ex
增，在
2,
单调递减，所以amax
f
2
4
e2
5/12
12
6
10
4
8
2
6
4
a
2ae^x
2
x^2
5
a
5
10
4
2
4
x^2
2
5
10
15
20
l
O
5
10
ae^x
2
15
20
25
30
4
题型四
4切线方程的应用
6
6
例9.已知直线
y
kx
y
lnx
k
.
与曲线
有公共点，则
的最大值为
8
6
解：
根据题意8画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时，
k取得最大值.
8
设切点坐标为
x0,y0
，则y0
lnx0，y'
1
y'
x10x
1
，
切线方程为
x
0
x0
ylnx0
1（x
x0），
原点在切线上，
lnx0
1，x0
e12
斜率的最大值为
1.
x0
e
例10.曲线y
ex在点2,e2
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
）
A.e2
B.
2e2
C.
4e2
D.
e2
2
思路：
f'
x
ex
由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出
切线方程
f'
2
e2所以切线方程为：
y
e2
e2
x
2
即e2x
y
e2
0，
与两坐标轴的交点坐标为
1,0
0,
e2
S
1
1
e2
e2
2
2
例11.一点P在曲线yx3
x
2
上移动，设点P处切线的倾斜角为
，则角
的取值
3
范围是（）．
A.0,
B.
0,
3
C.
3
D.
2
3
2
2
4
4
4
6/12
思路：
倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来
.y'
3x2
1，对于曲线上
任意一点P，斜率的范围即为导函数的值域：
y'=3x21
1,
，所以倾斜角的范围
是0,
2
3,
.答案：
B
4
例12.
已知函数fx
2x3
3x，若过点P1,t存在3
条直线与曲线y
fx相切，
求t的取值范围
思路：
由于并不知道
3条切线中是否存在以
P为切点的切线，所以考虑先设切点
x0,y0
，
切线斜率为k，则满足
y0
2x03
3x0
，所以切线方程为y
y0
k
x
x0
，
k
f'
x0
6x02
3
即
y
2x03
3x0
6x02
3
x
x0，代入P
1,t化简可得：
t
4x03
6x02
3，所
以若存在3条切线，则等价于方程t
4x03
6x02
3有三个解，即y
t与
gx
4x3
6x2
3
有三个不同交点，数形结合即可解决
解：
设切点坐标
x0,y0
，切线斜率为k，则有：
y0
2x03
3x0
切线方程为：
y
2x03
3x0
6x02
3x
x0
k
f'x0
6x02
3
因为切线过P
1,t，所以将P1,t
代入直线方程可得：
t
2x03
3x0
6x02
31x0
t
6x02
31x0
2x03
3x0
6x02
36x03
3x0
2x03
3x0
4x03
6x02
3
7/12
所以问题等价于方程t
4x03
6x02
3，令g
x
4x3
6x2
3
即直线y
t与g
x
4x3
6x2
3
有三个不同交点
g'x
12x2
12x
12x
x
1
令g'x
0解得0
x
1
所以g
x在
0
1,
单调递减，在
0,1单调递
增
gx极大值
g1
1,g
x极小值
g
0
3
所以若有三个交点，则
t
3,
1
所以当t
3,1
时，过点P
1,t
存在3条直线与曲线y
fx相切
例13.已知曲线C:
x2=y，P为曲线C上横坐标为1的点，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C
于另一点Q，交x轴于M，过点Q且与PQ垂直的直线与
C交于另一点N，问是否存在实数
k，使得直线MN与曲线C相切？
若存在，求出
K的值，若不存在，说明理由.
思路：
本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.
点P1,1，则可求出
PQ:
ykxk1，从而与抛物线方程联立可解得
Q
k1,k
2
1，以及M点坐标，
从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到
N点坐标.如果从M,N坐标入手得到MN
方程，再根据相切
0求k，方法可以但计算量较大
.此时可以着眼于N为切点，考
虑抛物线x2
y本身也可视为函数yx2，从而可以N为入手点先求出切线，再利用切
线过M代入M点坐标求k，计算量会相对小些.
解：
由P在抛物线上，且
P的横坐标为
1可解得P1,1
设PQ:
y
1kx
1化简可得：
y
kx
k
1
M
k
1,0
k
8/12
yx2
k
1
消去y：
x2
kxk10
y
kx
x1
1,x2
k
1
Qk
1,k
2
1
设直线QN:
y
k
1
1
x
k
1
即yk1
2
1
xk1
2
k
k
y
x2
联立方程：
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