有限元理论与应用.docx
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有限元理论与应用
有限元理论与应用
有限元理论与应用
摘要:
阐述了有限元理论的优点为:
物理概念清晰，使用灵活和通用性强，易于实现自动化。
有限元法可以广泛应用于各种形状支座和荷载条件的薄壁结构，并可用于解决一维、二维、三维单元。
有限元是数值建模与求解中应用最广泛的一种方法，半个多世纪以来在工程数值计算中发挥了至关重要的作用，广泛地渗透到机械工程等学科的各个分支中。
学者奕茂田等说，传统有限元理论成熟，原理简单，并且有强大的商业软件支持，在许多大型工程问题的求解分析中功不可磨，因此对传统有限元的每一点成功改进都将会产生深远的现实意义。
有限元法口前被公认为是一种最强有力且相当完善的结构分析方法。
该方法简而言之，就是在力学模型上进行近似的数值计算，即先把连续体简化为有限个单元组成的离散化模型，然后再对离散的模型给出数值解答。
关键词：
有限元法应用结构分析一：
有限元法的简介
有限元法（FEM）是随着计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。
它是近似求解一般连续体问题的数值方法。
从物理方面看：
它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替等分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。
通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。
从数学方面看：
它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。
一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。
显然随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断得到改进。
如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于数确解。
有限元方法的主要优点有:
（1）物理概念清晰，有限元一开始就从力学角度进
行简化，易于掌握和应用;
（2）使用中的灵活性和通用性，有限元对于各种复杂的因素，例如复杂的几何形状（如桥梁中的单室、多室、单箱、多箱、简支、连续等），任意边界条件，任何支撑情况以及材料的不均匀特性和结构中由不同类型构件组合而成的构件等都能灵活的加以考虑，而不会发生处理上的困难;（3）有限
元易于实现自动化，可充分利用电子训一算机来进行结构分析，从而提高效率。
目前较为流行的有限元程序主要有SAP系列、ADINA.NASTRAN.QJX.ANSYS.
BSAS等，为有限元方法的椎广和应用，提供了有利的务件。
然而，随着结构规模的不断扩大，其分析规模也将不断增大，其单元划分、输入（出）数据及占有内
存等也将增多，这样势必造成计算工作量的急剧增多，大大的增高了对计算机内存及外存的需求，并使上机准备过于繁琐，人们往往要花费很多精力去输入数据，而大量的数据输出又为设训一人员选取对自己有用的部分造成较大困难。
有限元方法是一套求解微分力程的系统化数值计算方法，它比传统解法具有理论完整可靠。
物理直观意义明确，解题效能强等优点，特别是这种力法适应性强，形式规范，所以近年来在电子计算机的配合下，已推广应用到很多工程技术部门和某些科学领域。
有限元法目前被公认为是一种最强有力且相当完善的结构分析方法。
该方法简而言之，就是在力学模型上进行近似的数值计算，即先把连续体简化为有限个单元组成的离散化模型，然后再对离散的模型给出数值解答。
有限元方法的主要优点有:
1、物理概念清晰，有限元一开始就从力学角度进行简化，易干掌握和应用;
2、使用中的灵活性和通用性，有限元对于各种复杂的因素例如复杂的几何形状（如桥梁中的单室、多室、单箱、多箱、简支、连续等），任意边界条件，任何支撑情况以及材料的不均匀特性和结构中由不同类型构件组合而成的构件等都能灵活的加以考虑，而不会发生处理上的困难;
3、有限元易于实现自动化，可充分利用电子计算机来进行结构分析，从而提高效率。
有限元法求解步骤
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：
第一步：
问题及求解域定义：
根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几
何区域
第二步：
求解域离散化：
将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。
显然单元越小（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。
第三步：
确定状态变量及控制方法：
一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式第四步：
单元推导：
对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。
为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。
对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。
例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步：
总装求解：
将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。
总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。
第六步：
联立方程组求解和结果解释：
有限元法最终导致联立方程组。
联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。
求解结果是单元结点处状态变量的近似值。
对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。
简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。
前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
二：
小波有限元的理论研究
有限元法的本质可归结为变分原理和逼近空间的采用狭义的有限元法采用低阶分片插值多项式作为逼近空间，而广义的有限元可采用更广泛的基函数作为逼近空间。
长期以来，有限元的进步与发展都与逼近空间的扩充紧密相连，小波
有限元也不例外。
小波函数的伸缩和平移可以表示平方可积实数空间L'-（R中的
所有函数，利用小波函数插值可以获得新的有限元逼近空间。
由于小波函数的紧
支性，将小波函数引入到传统有限元插值函数中时，所得到的系数矩阵是稀疏阵，
通简单预处理，其条件数与维数无关，即丨|式中k—小波插值获得的刚度矩阵D-—预处理矩阵D的逆阵数值计算中的预处理技术往往与方程物理背景有密切关系，虽然多种预处理技术已用于实际计算，但其作用机理仍是当前研究难点。
通过研究获得小波边界元在求解Laplace方程的Neumann
边值问题时，其刚度矩阵的条件数减少一个数量级，由原来的0（N）下降为O（NXN是求解未知数个数）研究获得小波有限元待求方程组系数矩阵的条件数为0
（1）,
它仅与椭圆算子的形态有关，而与区域精细离散分划无关。
研究了周期微分算子的小波预处理技术：
提出了非对角阵的小波预处理方法。
小波用于数值计算中的优点是其预处理矩阵很容易获得，从而获得高效的迭代速度与稳定的数值解。
这不同于传统有限元的网格剖分（（h-法）和阶次升高（P一法）中其刚度矩阵条件数呈｝N乃增长（P是多项式阶次），其中加密网格对条件数的影响为：
I式中h—网格尺寸
有限元形成的方程是典型的大型稀疏对称正定方程组，求解这类方程组的经典方法是共扼梯度法，从上式看出，随着网格的加密方程的条件数加大，这时共
扼梯度法求解效率显著下降，这时需要引入预处理技术。
在很多求解方法中预处理矩阵难以寻找，小波数值算法可以克服这个困难，运用小波PCG（Pre—
condi-bonedconjugategradient）法求解了三维布局优化问题。
小波有限元的在桥梁工程中应用研究
有限元法可以相当精确地分析任何结构，但自然要花费相当数量的计算机时间（只有其他方法不能胜任，问题较复杂时，这种方法才是合适的，例如，截面为变高度及变宽度的变截面结构，斜交桥梁，不规则的曲线结构，分叉结构等等）。
计算结果表明，用有限元法分析等截面结构所需的计算机时间几乎10倍于以折
板法分析同样的结构，何况折板法是精确的。
有限元法的精度除取决于近似的假定单元性能外，还取决于划分网络线的精细。
因此，这种方法的另一个缺点是，在应力梯度较大时需要细分网络。
大量的单元也意味着辛苦建立的输人数据伴随
错误的危险；因此，当拟定计算机程序时，必须考虑结构的各部分的网络布置和加载的自动存储与输出。
将计算分为两个阶段具有很多好处：
首先以某种较快的
方法把结构作为整体进行分析；各种不规则的影响（如孔n,加劲等），它往往在本质上作为整体的结构性能，可留待以后用有限元求解，至于不规则的边界（现在
可分成足够密的单元）可运用第一阶段的计算结果作为右边界条件。
小波函数具有优良的紧支性及消失矩，在空间是局部化的，使得小波函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”。
有限单元法的主要优点是可以广泛应用于各种形状、支座和荷载条件的薄
壁结构，并可用于解决一维、二维、三维单元（撑拉肋条、框架、大块体、基础与地基的共同作用等），通常采用变异的直接刚度法，此时基本位移量为广义位移。
有限单元位移法实质上是里茨法的另一种形式，基本方程可用能量原理导出。
但是用“直接法”进行推导，其物理概念更容易使人理解。
首先将连续体象图1那样分害」为有限个小块，即将连续体看成是由这些小块组成。
连续体的这种有限大小的组成部分称为有限单元。
假想这些单元之间仅在若干个结点（图中黑点）上相互连接。
这样，实际的连续体被近似地用离散的单元组合体来代替，这个过程为结构的离散化。
在杆系结构的结构力学中，离散化过程很自然地将杆件作为单元。
但在连续体中，离散化就有很大的灵活性。
单元的大小可以是任意的，形状也可以是三角形（见图1（a））、四边形、曲边四边形（见图1（b＞等;单元之间可以仅在顶点连接，也可以增加别的结点。
因此，离散过程中必然会遇到选择什么样的单元类型，大小
要由精度的要求、训一算量及计算时间等因素来确定。
显然，单元划分的越小，误差也越小；但是计算时间就越长，所需计算量也应越大。
通常在应力集中、应力梯度大或需要详细了解的地方，单元要划分得小一些。
连续体被分害」成有限个仅在结点相互连接的单元以后，就可以采用结构力学中位移法或其他方法的
思路进行计算。
有限元法的主要步骤可以归纳如下。
（1）结构离散化，将结构纵、横向分为若干块，各块再分成许多单元图（见图2）。
N阶小波函数具有N阶连续消失矩
小波的消失矩特性蕴含这样一个道理:
求解函数在其光滑的地方被小波函数
正交抵消，其小波系数很小;而在那些突变跳跃的地方具有较大的值。
因此，以小波系数作为奇异性判断准则，运用自适应提升算法，可以对奇异性问题求解获得很好的计算效果。
因而小波有限元在处理工程中的局部应力集中、突变边界条件等奇异性问题时，可以局部细化而不需要重新生产全。
小波有限元理论研究与工程应用的进展部网格有限元法的本质可归结为变分原理和逼近空的采用。
狭义的有限元法采用低阶分片插值多项式作为逼近空间，而广义的有限元可采用更广泛的基函数作为逼近空间。
长期以来，有限元的进步与发展都与逼近空间的扩充紧密相连，小波有限元也不例外。
小波函数的伸缩和平移可以表示平方可积实数空间Lz（R中的所
有函数，利用小波函数插值可以获得新的有限元逼近空间。
总体来说，小波加权残值法的研究较为成熟，而小波有限元法研究还处于起步阶段。
小波有限元法吸收了传统有限元法离散逼近的优点，使其可以方便地处理复杂的边界条件;同时
又拥有小波函数特有的多分辨特性，可以提供另一种提高精度的自适应算法，即在不改变网格的剖分下提高其分辨率，使其可以在问题大梯度处采用高阶单元以提高分析精度，而小梯度处采用较低阶单元以提高分析效率。
自适应算法是一种根据中间计算结果自动控制计算过程的方法。
对于某一固定剖分的网格，在准确解未知的情况下，很难对有限元解的精度做出实用可靠的估计。
O.C.Zienkiewicz和J.Z.Zhu}as于1987年提出的一种后验误差估计法，这种方法由于计算简单、易于理解且容易与商用有限元软件集成，从而成为自适应有限元的标准误差估计，称为Zienkiewicz-Zhu准则。
小波函数由于具有多分辨的性质，分解获得的小波系数描述了函数I的细节信息，并且随着尺度的减小，细节信息逐渐增加;反之，尺度越大细节信息越
少，对原函数逼近的误差也就越小，这种在尺度j+1空间y+i的逼近弓+}1的递进
关系表示为
仍Dm必
*
式中，V,,＞表示内积，必和梦分别是尺度函数与小波函数。
考虑这种由粗到精的逼近特性，可以推导出小波用于数值计算中的自适应提升算法，在求解变化
平缓区域采用较小的分析尺度，而在求解存在大的变化梯度区域采用较大的分析尺度。
这种性质为开展基于小波分析的自适应数值算法提供了基础。
参考文献
（86,87）先后研究了小波伽辽金法中的自适应算法；参考文献（88）先后研究了小波包求解微分方程的自适应格式；参考文献（89〕给出了小波配置法自适应算法;参考文献（90］讨论了具有突变问题计算中的小波自适应算法；参考文献（91）
讨论小波自适应算法在非线性问题求解中的应用。
这些参考文献研究了运用小波
分析进行数值求解的自适应格式，但没有涉及到误差估计。
严格地说，这只是提
高计算精度的一种算法列式，并未做到自适应，只有给出可靠的误差分析，才能知道在何时何地需要细化，真正实现自适应算法。
参考文献［92〕研究了利用小
波项作为误差估计的格式。
由于Daubechies小波的iE交性［93］，可得
f-
.*19-
1心工
1的
||J』
上式表明，左边的函数在其Lz（R空间中的范数与等式右边相应空间的小波展开系数的范数相等。
这意味着丢弃小的小波系数将导致函数在相同的范数领域丢弃了一个小的扰动，这个小的扰动将会随着空间的逼近而最终变得很小。
利用每
次逼近获得的小波项作为误差估计因子求解工程问题，取得了很好的效果。
此外，小波有限元刚度矩阵与载荷列阵的计算中含有尺度函数的积分形式，文献中常称
为关联系数［}zo},基于小波的自适应算法只有在给出提高尺度J}对应分辨率为2}）的关联系数计算方法时才能有效使用，特别是利用如Daubechies小波等没有明
确解析表达式的小波，尚未见文献给出详细算法。
关联系数的计算是小波数值计算中必需研究的核心内容，为此国外很多学者开展了大量的研究工作。
学者A.Latt。
等}zo】在他的军方AD报告中率先研究了关联系数的计算，随后学者G.Beylkin}z}},W.Dahmen}z3与VCandela等［94］加深并拓展T这方面的研究，他们的研究主要集中在形如的计算，这些计算主要基于无穷区间对尺度函数沪的m,n阶导数乘积的积分，通常小波要进行周期化处理，其应用局限于无穷区间问题或边界条件是周期的。
为了求解有限区间问题，参考文献【95卜97］计算了区间［0,x］的积分，Monasse}98］利用构造新的小波方法求解了有限区间积分，其典型积分如
'代：
=匸$利（i-k涉材苗-加歹（5）
犷严訂；严箱-3忸）财（6）
小波有限元的工程应用研究
在偏微分方程的理论与应用研究中，通常关心其解的正则性，解的正则性告诉我们这个解是否连续、光滑。
如果是，那么解在一点的数值就可以代表它在该点邻域的数值，这给数值计算带来很大的方便。
解的正则性的反面表述就是解的奇异性，解奇异性的产生、分布与计算往往是各种应用问题中所特别关心的。
例如:
在化学反应问题中，解的奇异产生往往对应于爆炸的产生；在空气动力学问
题中，解的奇异产生往往对应于冲击波的生成；在材料力学中，最令人关心的问题经常是应力集中或材料出现裂痕处的应力与应变状态。
小波函数具有优良的紧支性及消失矩，在空间是局部化的，使得小波函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”。
N阶
小波函数具有N阶连续消失矩丿"小波的消
失矩特性蕴含这样一个道理：
求解函数在其光滑的地方被小波函数正交抵消，其小波系数很小：
而在那些突变跳跃的地方具有较大的值。
因此，以小波系数作为奇异性判断准则，运用自适应提升算法，可以对奇异性问题求解获得很好的计算效果。
因而小波有限元在处理工程中的局部应力集中、突变边界条件等奇异性问
题时，可以局部细化而不需要重新生产全部网格。
在小波有限元理论与应用研究中，博士论文作了大量研究工作。
薛继军、陈雪峰利用所构造的小波有限元求解了裂纹奇异性问题。
因为裂纹尖端区域位移与应力场都含有n弄奇异性（其中;代
表裂纹尖端场柱坐标矢径），该奇异性的出现给传统有限元法求解造成困难，因为在准均匀的网格上，解答不能用分片的多项式函数在局部准确逼近［［9］。
为了
得到精确的解，需要在裂纹尖端区域采用十分精细的网格或更高阶的单元，随着
裂纹发生扩展，相应的网格需要重新剖分，这样使得计算精度和求解效率大大降低。
而小波有限元作为一种优于传统单元网格加密和阶次升高的自适应有限元算
法，能够提供多种基函数作为有限元插值函数，弥补了传统有限元只以多项式作为插值函数的不足，对于解决传统的有限元法难以解决的奇异性等问题具有诱人的应用前景。
薛继军为了考虑石油钻机井架杆件的损伤，正确评定在用井架
承载能力和剩余寿命，将有限元法和断裂力学方法相结合，推导了裂纹损伤构件的等效单元刚度矩阵，建立了已知裂纹大小和位置的受损构件的有限元分析方法，提高了有限元法在处理裂纹问题中的分析精度；陈雪峰首先从正问题入手，基于小波有限元法建立悬臂梁横向裂纹的精确辨识模型，从线弹性断裂力学的角度考
虑裂纹引起的局部附加柔度，构造小波裂纹单元，求解裂纹梁动态特性，获得裂纹梁在其前三阶固有频率上反映的本质征兆；然后从反问题切入，通过激励实测裂纹梁的频响特征，测试台所示，获得悬臂裂纹梁前三阶固有频率（W,.｝和｝），并
结合由正问题建立的小波有限元模型得到对应的三条等效刚度关于相对位置的曲线，诊断出该悬臂梁的裂纹位置与深度如图4所示。
通过其交点A则可确定裂纹相对位置刀（横坐标，量纲一）与裂纹等效刚度kc纵坐标，对应裂纹相对深度，量纲一），数值仿真与试验研究均取得理想的结果。
在此基础上，进一步开展以旋转机械转子为对象进行模型与故障机理研究，构造基小波有限元的转子横向裂纹模型，根据裂纹转子前三阶固有频率的响应的计算（正问题），以及基于Laplaa小波模态精确识别方法［120］的转子裂纹实测分析仮问题），正反问题结合，研究归纳转子系统特定状态与模态参数之间的内在联系，从而对转子合理地进行裂
纹故障定量的早期预示与诊断。
医3裂红审识试验令
桥梁监控与检测中有限元理论应用的探讨
随着我国交通建设事业的飞速发展，在建的铁路和公路中中型、大型、特大型桥梁等控制性工程需要施工监控；许多新建桥梁和长期服役的旧桥也同样需要进行质量检测，以评估其运营安全性能在目前工程界，桥梁工程监控与检测实施方案中的结构分析模型，大都是基于有限元理论建立起来的有限元理论也叫有限单元法（ElementMethod,F.E.M，是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种基于变分原理的弹性力学问题数值求解方法有限元理论的基本思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在侮一个单元内，假定结构的变形和应力都是简单变化的，其变形和应力都可以简单地通过计算机求解出来，进而可以获得整
个结构的变形和应力。
三：
有限元分析方法发展趋势
1.与CAD软件的无缝集成
当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在
用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进
行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为一止，从而极大地提高了设计水平和效率。
为了满足工
程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/EI}IGINEEK,Unigraphics,SolidEdge,SolidWorks,IDEAS,Bentley和AutoCAD等）的接口。
有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADII}IA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasold为核心的CAD软件（如Unigraphics,SolidEdge,
SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换：
2.更为强大的网格处理能力
有限元法求解问题的基本过程主要包括：
分析对象的离散化、有限元求解、计算结果的后处理三部分。
由于结构离散后的网格质量直接影响到求解时间及求解结果的正确性与否，近年来各软件开发商都加大了其在网格处理方面的投入，使网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分，除了个别商业软件做得较好外，大多数分析软件仍然没有此功能。
自动六面体网格划分是指对三维实体模型程序能自动的划分出六面体网格单元，现在大多数软件都能采用映射、拖拉、扫描等功能生成六面体单元，但这些功能都只对简单规则模型适用，对于复杂的三维模型则只能采用自动四面体网格划分技术生成四面体单元。
对于四面体单元，如果不使用中间节点，在很多问题中将会产生不正确的结果，如果使用中间节点将会引起求解时间、收敛速度等方面的一系列问题，因此人们迫切的希望自动六面体网格功能的出现。
自适应性网格划分是指在现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。
对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，弓｝起单元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。
自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要条件。
3.由求解线性问题发展到求解非线性问题
随着科学技术的发展，线性理论己经远远不能满足设计的要求，许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）
和塑性（材料非线性）;一而对塑料、几橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析需要考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。
众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，_还必须掌握一定的
理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。
为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如AD1NA,ABAQUS等。
它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。
4.由单一结构场求解发展到祸合场问题的求解_有限元分析方法最早应用于航空航天领域，主要用来求解线性结构问题，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。
而且从理
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