概率统计简明教程的习题答案word版.docx
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概率统计简明教程的习题答案word版
习题解答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：
（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件
；
（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件一分钟内呼叫次数不超过次}；
（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件寿命在到小时之间}。
解
（1）
，
.
（2）记为一分钟内接到的呼叫次数，则
，
.
（3）记为抽到的灯泡的寿命（单位：
小时），则
，
.
2.袋中有个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{取得球的号码是偶数}，{取得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.
解
（1）
是必然事件；
（2）是不可能事件；
（3）{取得球的号码是2，4}；
（4）{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
（5）{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；
（6）
{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；
（7）
{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3.在区间上任取一数，记
，
，求下列事件的表达式：
（1）；
（2）；（3）；（4）.
解
（1）
;
（2）
;
（3）因为
，所以
；
（4）
4.用事件的运算关系式表示下列事件：
（1）出现，都不出现（记为）；
（2）都出现，不出现（记为）；
（3）所有三个事件都出现（记为）；
（4）三个事件中至少有一个出现（记为）；
（5）三个事件都不出现（记为）；
（6）不多于一个事件出现（记为）；
（7）不多于两个事件出现（记为）；
（8）三个事件中至少有两个出现（记为）。
解
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）；（8）.
5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第次抽到废品”，，试用表示下列事件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
（2）只有第一次抽到废品；
（3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品；
（2）只有两次抽到废品。
解
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）.
6.接连进行三次射击，设={第次射击命中}，，{三次射击恰好命中二次}，{三次射击至少命中二次}；试用表示和。
解
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数.于是
2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求
（1）第一次、第二次都取到红球的概率；
（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
（3）二次取得的球为红、白各一的概率；
（4）第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数.记
（1）
（2）（3）（4）题求概率的事件分别为.
（ⅰ）有利于的样本点数，故
（ⅱ）有利于的样本点数，故
（ⅲ）有利于的样本点数，故
（ⅳ）有利于的样本点数，故.
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
（1）最小号码是3的概率；
（2）最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数.
（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为，所求概率为.
（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为，所求概率为.
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都合格；
（2）1只合格，1只不合格；
（3）至少有1只合格。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）涉及的事件为，则
注意到，且与互斥，因而由概率的可加性知
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）的事件为,样本点总数
（ⅰ）含样本点,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）
（ⅱ）含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）
（ⅲ）含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为，所以.
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
（1）事件：
“其中恰有一位精通英语”；
（2）事件：
“其中恰有二位精通英语”；
（3）事件：
“其中有人精通英语”。
解样本点总数为
（1）；
（2）；
（3）因，且与互斥，因而
.
8．设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线的左边的概率。
解记求概率的事件为，则
为图中阴影部分，而，
最后由几何概型的概率计算公式可得
1
1
1/3
图2.3
.
9．（见前面问答题2.3）
10．已知，，，求
（1）,；
（2）；（3）；（4）；（5）.
解
（1），；
（2）；
（3）；
（4）,;
（5）
11．设是两个事件，已知，，，试求及
解注意到，因而.于是，；.
习题三解答
1．已知随机事件的概率，随机事件的概率，条件概率，试求及.
解
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解.
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记{基金}，{股票}，则
（1）
（2）.
4．给定，，，验证下面四个等式：
，
解
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解{迟到}，{坐火车}，{坐船}，{坐汽车}，{乘飞机}，则，且按题意
，，，.
由全概率公式有：
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解
（1）记{该球是红球}，{取自甲袋}，{取自乙袋}，已知，，所以
（2）
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出和，由于通信受到干扰，当发出时，分别以概率0.8和0.2收到和，同样，当发出信号时，分别以0.9和0.1的概率收到和。
求
（1）收到信号的概率；
（2）当收到时，发出的概率。
解记{收到信号}，{发出信号}
（1）
（2）.
9．设某工厂有三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间生产的概率。
解为方便计，记事件为车间生产的产品，事件{次品}，因此
10．设与独立，且
，求下列事件的概率：
，，.
解
11．已知独立，且
，求.
解因，由独立性有
从而导致
再由，有
所以。
最后得到
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记{命中目标}，{甲命中}，{乙命中}，{丙命中}，则，因而
13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为，求这个装置通达的概率。
假定各个元件通达与否是相互独立的。
2
1
解记{通达}，
4
3
{元件通达}，
6
5
则，所以
图3.1
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解.
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解.
16．设在三次独立试验中，事件出现的概率相等，若已知至少出现一次的概率等于19/27，求事件在每次试验中出现的概率.
解记{在第次试验中出现}，
依假设
所以，，此即.
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记{第道工序为次品}，则次品率
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。
解记{译出密码}，{第人译出}，则
19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？
有4次至6次出现正面的概率是多少？
解
（1）；
（2）.
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解
（1）
（2）
（3）
习题四解答
1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列二个条件：
其一条件为，其二条件为。
依据上面的说明可得
（1）中的数列为随机变量的分布律；
（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为。
2.试确定常数，使成为某个随机变量X的分布律，并求：
；。
解要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得；
（2）
（3）。
3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解X可能取的值为-3，1，2，且，即X的分布律为
X
-3
1
2
概率
X的分布函数
0
=
1
4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时；同理可得。
X的分布律为
X
3
4
5
概率
X的分布函数为
0
1
5.在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解依题意X服从参数的二项分布，因此，其分布律
，
具体计算后可得
X
0
1
2
3
4
5
概率
6.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。
设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。
在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；
（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解
（1）设事件表示第次抽到的产品为正品，依题意，相互独立，且而
即X服从参数的几何分布。
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，
X的分布律为
X
1
2
3
4
概率
（3）X可能取到的值为1，2，3，4，
所求X的分布律为
X
1
2
3
4
概率
由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。
7.设随机变量，已知，求与的值。
解由于，因此。
由此可算得
即解得；
此时，。
8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。
解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从的二项分布，即
由此可得X的分布函数
0，
，
，
，
，
1，
9.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
解设至少要进件物品，由题意应满足
即
查泊松分布表可求得。
10.有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为X服从的泊松分布，即，所求概率为
11.某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。
解设事件表示第次试验成功，则，且相互独立。
随机变量X取意味着前次试验未成功，但第次试验成功，因此有
所求的分布律为
X
1
2
…
…
概率
0.75
…
…
12.设随机变量X的密度函数为
，
0，其他，
试求：
（1）常数；
（2）X的分布函数。
解
（1）成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为；其二为，因此有，解得，其中舍去，即取。
（2）分布函数
=
=
13.设随机变量X的密度函数为，求：
（1）系数；
（2）；（3）X的分布函数。
解
（1）系数必须满足，由于为偶函数，所以
解得；
（2）；
（3）
=
=
=
=
14.证明：
函数
（为正的常数）
为某个随机变量X的密度函数。
证由于，且，
因此满足密度函数的二个条件，由此可得为某个随机变量的密度函数。
15.求出与密度函数
对应的分布函数的表达式。
解当时，
当时，
当时，
综合有
16.设随机变量X在上服从均匀分布，求方程有实根的概率。
解X的密度函数为
；
其他.
方程有实根的充分必要条件为，即，因此所求得概率为
。
17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为
;
0，其他.
求：
（1）X的分布函数；
（2）至少有200天有效期的概率。
解
（1）=
=
（2）。
18.设随机变量X的分布函数为
求X的密度函数，并计算和。
解由分布函数与密度函数的关系，可得在的一切连续点处有，因此
所求概率；
。
19.设随机变量X的分布函数为，求
（1）常数；
（2）；（3）随机变量X的密度函数。
解：
（1）要使成为随机变量X的分布函数，必须满足，即
计算后得
解得
另外，可验证当时，也满足分布函数其余的几条性质。
（2）
（3）X的密度函数
。
20.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：
min）服从的指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。
（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；
（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。
解
（1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为
；
（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从的二项分布，所求概率为
21.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）。
解查正态分布表可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
（5）
。
22.设X服从，借助于标准正态分布的分布函数表计算：
（1）；
（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
解当时，，借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得
（1）；
（2）
；
（3）；
（4）
；
（5）
；
（6）
。
23.某厂生产的滚珠直径服从正态分布，合格品的规格规定为，求该厂滚珠的合格率。
解所求得概率为
24.某人上班所需的时间（单位：
min）已知上班时间为8：
30，他每天7：
50出门，求：
（1）某天迟到的概率；
（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。
解
（1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为
；
（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为
。
习题五解答
1.二维随机变量只能取下列数组中的值：
，且取这些组值的概率依次为，求这二维随机变量的分布律。
解由题意可得的联合分布律为
X\Y
0
1
-1
0
0
0
0
2
0
0
2.一口袋中有四个球，它们依次标有数字。
从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。
设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。
以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求的分布律及。
解X可能的取值为，Y可能的取值为，相应的，其概率为
或写成
X\Y
1
2
3
1
0
2
3
0
。
3.箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：
X=0，若第一次取出正品；Y=0，若第二次取出正品；
1，若第一次取出次品；1，若第二次取出次品。
分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律：
（1）放回抽样；
（2）不放回抽样。
解
（1）在放回抽样时，X可能取的值为，Y可能取的值也为，且
或写成
X\Y
0
1
0
1
（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为
或写成
X\Y
0
1
0
1
4.对于第1题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为
X
-1
0
2
概率
按列相加得Y的边缘分布律为
Y
0
1
概率
5.对于第3题中的二维随机变量的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下，写出关于X及关于Y的边缘分布律。
解在有放回情况下X的边缘分布律为
X
0
1
概率
Y的边缘分布律为
Y
0
1
概率
在无放回情况下X的边缘分布律为
X
0
1
概率
Y的边缘分布律为
Y
0
1
概率
6.求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数，其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。
解区域D见图5.2。
易算得D的面积为，所以的密度函数
y
1
-101x
的分布函数
当或时，；
图5.2
当时,；
当时，；
当时，；
当时，
综合有
7.对于第6题中的二维随机变量的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。
解X的边缘密度函数为
==
Y的边缘密度函数为
==
8.在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？
解在有放回情况下，由于，而，即；容易验证
，由独立性定义知X与Y相互独立。
在无放回情况下，由于，而，易见，所以X与Y不相互独立。
9.在第6题中，X与Y是否独立，为什么？
解，而，易见，所以X与Y不相互独立。
10.设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律：
X
-2
-1
0
0.5
Y
-0.5
1
3
概率
概率
写出表示的分布律的表格。
解由于X与Y相互独立，因此
例如
其余的联合概率可同样算得，具体结果为
X\Y
-0.5
1
3
-2
-1
0
0.5
11.设X与Y是相互独立的随机变量，X服从上的均匀分布，Y服从参数为5的指数分布，求的联合密度函数及。
解.由均匀分布的定义知
由指数分布的定义知
因为X与Y独立，易得的联合密度函数
y
0.2x
图5.3
概率，
其中区域见图5.3，经计算有
。
12.设二维随机变量的联合密度函数为
求：
（1）系数；
（2）；（3）证明X与Y相互独立。
解
（1）必须满足，即，经计算得；
（2）；
（3）关于X的边缘密度函数
=
同理可求得Y的边缘密度函数为
易见，因此X与Y相互独立。
13.已知二维随机变量的联合密度函数为
（1）求常数；
（2）分别求关于X及关于Y的边缘密度函数；（3）X与Y是否独立？
解
（1）满足，即解得；
（2）X的边缘密度函数
=
Y的边缘密度函数为
=
（3），而，易见，因此X与Y不相互独立。
14.设随机变量X与Y的联合分布律为
X\Y
0
1
0
1
2
且，
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