线代考研笔记.docx

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线代考研笔记

第一章行列式

一、代数余子式计算方法

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二、特殊型行列式计算方法

1、爪型行列式计算方法

辅导讲义P10页【例1.6】

2、三对角线行列式计算方法

方法一：

递推法。

辅导讲义P10【例1.7】

方法二：

3、型矩阵

方法一：

辅导讲义P11【例1.9】

方法二：

4、抽象行列式

辅导讲义P16页【例1.20】

三、证明|A|=0方法

辅导讲义P18页【例1.22】

问题：

？

视频4-1的10:

40

？

两个行列式的和，方法二是如何使用书本P10页性质五的。

第二章矩阵

一、求三种特殊矩阵的n次方幂

1、若r（A）=1

辅导讲义P33页【例2.2】

2、型

辅导讲义P33页笔记

3、相似矩阵

辅导讲义P34页【例2.6】

二、伴随矩阵的秩

证明：

辅导讲义P38页【例2.14】

三、求A—1

1、定义法求逆

2、初等行变换求逆（行变换）

3、伴随矩阵求逆

四、证明可逆

复习全书有总结

五、初等矩阵的逆矩阵

例子：

复习讲义P30页【定理2.6】

六、可逆与转秩对比

第三章n维向量

难点：

秩/线性表出/相关性

一、矩阵正交与向量正交

schmidt正交化：

把几个向量改造成两两垂直长度为1的向量。

1、正交矩阵（A-1=AT）

正交矩阵：

ata=aat=E列向量两两正交且长度为1

2、行（列）向量正交（T=T内积为零）

若（,）=0即T=T=a1b1+a2b2+...+anbn=0，则称与正交

二、向量个数、维数增减后的相关性

1、向量个数的增减与向量组线性相关（增减个数）

2、向量维数的增减与线性相关性（增减坐标）

三、基础解系

四、线性表出与相关性的关系

1、线性表出→相关性/秩

①如果β1β2……βs可由α1α2……αt线性表出，且s>t

→β1β2……βs相关

（即：

若多数向量能用少数向量表出，则多数向量一定相关）

②β1β2……βs（Ⅰ）可由α1α2……αt（Ⅱ）表出

→r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）

（若Ⅰ，Ⅱ等价，则r（Ⅰ）=r（Ⅱ））

（若（Ⅰ）可由（Ⅱ）表出，且r（Ⅰ）=r（Ⅱ），则ⅠⅡ等价）

2、相关性→线性表出

①如果β1β2……βs线性无关，β1β2……βs，γ线性相关

→γ可由β1β2……βs线性表出，且表示法唯一

②若β1β2……βs无关，可由α1α2……αt表出

→s≤t

五、向量组等价与矩阵等价

向量组等价：

互相线性表述

矩阵等价：

A矩阵经过初等变换可变为B，称AB等价r（A）=r（B）

第四章线性方程组

一、计算Ax=b和Ax=0的方法

二、重要结论

①若Ax=b有唯一解，那么Ax=0只有零解

②若Ax=0只有零解，那么Ax=b不一定只有唯一解

③若Ax=0只有零解，那么Ax=b没有无穷解

④若Ax=0与Bx=0同解，则A与B的行向量组等价，且r（A）=r（B）

问题：

第五章特征值特征向量

难点：

相似对角化与正交化的意义

一、重要结论

①上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵特征值为主对角线元素

②使用|λE-A|=0、Ax=λx、公式与矩阵特征来计算特征值、特征向量

③特殊特征值、特征向量公式

二、反求矩阵A

特征向量α1α2α3，对应特征值λ1λ2λ3

→A（α1,α2,α3）=（λ1α1,λ2α2,λ3α3）

→求A=（λ1α1,λ2α2,λ3α3）（α1,α2,α3）—1

三、求A的n次

1、若A~Λ

2、若Aα=λα，则Anα=λnα

四、A、B相似的性质（A~B）

①|A|=|B|

②r（A）=r（B）

③特征值相同，即|λE-A|=|λE-B|

④主对角线元素之和相等

五、相似对角化

1、相似对角化特征

①A的不同特征值的特征向量无关

②A有n个不同特征值，则A可相似对角化

③若λ是A的k重特征值，则λ至多有k个线性无关的特征向量

2、相似对角化判断

→不是实对称矩阵。

否则可以对角化

→求特征值看重根，没有重根。

否则可以对角化

→算r（λE-A）≠n-i。

否则可以对角化（λ是i重根）

3、用正交矩阵相似对角化步骤（即正交矩阵P，使P—1AP=Λ）

①求A的特征值、特征向量

②改造特征向量，单位化和schmidt正交化

若无重根，只需单位化向量；

若有重根，对同一特征值的特征向量schmidt正交化

③构造正交矩阵P

④写出结果

六、实对称矩阵特征（Ax=λx）

①必可对角化

②可用正交矩阵和可逆矩阵相似对角化，一般矩阵只能用可逆矩阵

③不同特征值的特征向量必正交，一般矩阵是线性无关的

④特征值必为实数

⑤k重特征值必有k个线性无关的特征向量，一般矩阵至多有k个

问题：

李永乐26-24:

49r（2E-A）=2

第六章二次型

难点：

合同的意义、正定二次型

一、重要概念

①标准型：

二次型中只含有变量的平方项

②规范型：

在标准型中平方项的系数为1,—1,0

③合同：

设A,B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则A与B合同（

）

④二次型正定：

对二次型XTAX，若对任何X≠0，恒有XTAX>0，则XTAX是正定二次型

⑤二次型的秩就是二次型矩阵的秩且r（A）=P+Q

二、等价、相似、合同的异同点

若A~B：

①|A|=|B|

②r（A）=r（B）

③特征值相同，即|λE-A|=|λE-B|

④主对角线元素之和相等

三、掌握两种坐标变换（把二次型化成标准型Λ的方法）

1、正交变换

要求：

C是正交矩阵（那么A与B合同且相似）

步骤：

①写出二次型矩阵A

②求A的特征值、特征向量

③改造特征向量，单位化和schmidt正交化

若无重根，只需单位化向量；

若有重根，对同一特征值的特征向量schmidt正交化

④构造正交矩阵C

⑤令x=Cy得xtAx=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

2、配方法

要求：

C可逆（那么A与B仅合同）

步骤：

每次必须把一个字母处理干净

四、正定二次型

①填空题注意：

顺序主子式

②证明题注意：

证明对称性（AT=A）→证明正定（特别注意：

特征值、定义法）

1、n元二次型XTAX正定的充要条件

2、n元二次型XTAX正定的必要条件

3、判断二次型正定

①必要条件

②顺序主子式

③特征值

④正惯性指数（化成标准型）

4、证明正定矩阵

①证明对称性（AT=A），即说明是二次型

②证明正定（特别注意：

特征值、定义法）

另外可用定义法证明