优质课教学设计函数的单调性与导数 Word版含答案.docx

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优质课教学设计函数的单调性与导数Word版含答案

教学设计

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1

（人教A版）

函数的单调性与导数

（第一课时）

《函数的单调性与导数》教学设计

课题:

函数的单调性与导数

教材:

人教A版《数学》选修1-1

课时:

1课时

教材分析:

函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容、

《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：

结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、

函数的单调性是函数的重要性质之一、在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用、

在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用、

学生学情分析:

课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点、

在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上、本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性、

教学目标:

结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：

能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、

重点：

利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、

难点：

探索并了解函数的单调性与导数的关系、

借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发展的一般规律、

教学策略分析:

根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面：

一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象、

本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课堂,并从中体会学习的成功和快乐、

本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运用信息技术确认加深理解、

充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想、

（一）创设情境,引发冲突、

师：

在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅、

师：

我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从2时到5时的气温与时间可近似的用函数拟合,问：

这

段气温随时间的变化趋势如何？

回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质？

生：

函数的单调性、

师：

如何判断这个函数的单调性呢？

生：

画图象,用定义、

师：

有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧

生：

动手操作、

师：

选择画图的同学们,可以画出图象么？

生：

不可以、

师：

哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决、

生：

在区间2到5上,任意选取

且,我们需要判断的符号,

师：

可以判断么？

生：

不可以、

师：

好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调性问题呢？

设计意图：

通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情、

（二）回归定义,寻求方法、

师：

追本溯源,我们重新回到定义、请一位同学回答单调性的定义、

生:

在函数

的定义域内的某区内,满足对于任意的

且,都有,是增函数、

师：

很好,也就是我们要需要判断的符号,我们把这个形式变形,判断

的符号,结果为:

生：

大于0、

师：

即函数值的改变量与自变量改变量的比值:

生：

大于0

师：

函数

在区间内是减函数,满足对于任意的

且,都有,也就是

生：

小于0、

即函数值的改变量与自变量改变量的比值:

生：

小于0、

师：

我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习中,我们知道这叫做----

生：

函数的平均变化率、

师：

我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变化率,即----

生：

导数、

师：

非常棒！

我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性、

板书：

3、3、1函数的单调性与导数、

设计意图：

注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,这个过程由浅入深,层层深入,合乎学生的逻辑思维、

（三）观察发现,探索规律、

师：

要研究函数的单调性与导数的关系,我们来观察,函数单调递增时,平均变化率大于0,函数单调递减时,平均变化率小于0,那么,导数的符号是否与函数的单调性有关呢？

师：

我们从最熟悉的函数开始研究,我们都学过哪些基本初等函数呢？

生：

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数、

师：

对于这些函数,我们都是通过函数的形,也就画出图像的方式来研究,同样的,导数的形,也就是导数的几何意义是什么呢？

生：

函数的图像在该点处切线的斜率、

师：

根据导数的几何意义,我们一起来看研究的方法、

师：

给出函数的图像,指出其单调区间,用牙签靠近图像,使其作为该点处的切线,移动牙签,观察斜率即导数的正负情况、

师：

拿出坐标纸,作出你研究的函数图像,利用牙签,得出结论,并填写下面的表格、

师：

可以进行讨论,到前面展示你的结果、

师：

我们一起来看同学们的展示,可以得到什么结论呢？

生：

导数为负数时函数单调递减,导数为正数时单调递增、

师：

熟悉的初等函数,得到这样的结论,数学来源于生活,我们再来看生活中的例子:

给出高台跳水运动员的高随时间变化的函数,来研究运动员运动状态的变化情况、

生：

可以画出这个二次函数的图像,得到高度的变化情况,从

时刻,高度上升,

时刻高度下降、

师：

也就是高度函数先单调递增,而后单调递减,运动状态除了高度,还有速度,我们进一步研究、

师：

给出导函数即速度函数的图像,有什么结论？

生：

导函数即速度图像在

轴的上方时高度函数单调递增,导函数图像在

轴下方时函数单调递减、

设计意图：

从基本初等函数入手,让学生动手操作,通过观察、归纳,提炼,激发学生的自主探究欲望、让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系、培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识,从而培养学生的探究意识和探究能力、引导学生从形的角度来验证,降低了学生的思维难度,又能体会导数研究单调性的一般性、生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用,把抽象的概念与物理背景结合,能迅速的突破难点,高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论、

（四）结论总结,揭示本质、

师：

我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系、

一般地,函数

在某个区间

内

1）如果恒有

>0,

那么

在这个区间

内单调递增；

2）如果恒有

<0,

那么

在这个区间

内单调递减、

导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系,这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析、

若恒有

=0呢？

思考一下

板书：

结论内容

师：

有结果了么？

生：

常函数、

设计意图：

由观察、猜想到归纳、总结,让学生体会知识的发现的过程,使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学、从猜想到验证的发现过程,使自主探究成为学生的一种学习习惯、

（五）自主分析,多维验证、

师：

这里我们分析了我们熟悉的函数,其他的函数呢？

我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数

、

师：

运用我们探究出的结论,求出函数

的单调区间,如何运用导数知识来解决呢？

生：

先给出定义域,求出导函数,导函数大于0的部分为增区间,小于0的部分为减区间、

师：

非常好！

我们把完整的过程展示出来,发现利用导数这个工具,可以便捷的解决这个单调性问题、

借助于作图工具,我们来看、

师：

做出函数的图像,在图像上任意选取一点,移动该点,我们可以观察到什么？

生：

函数单调递减然后单调递增、

师：

这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么？

利用导数的几何意义,做出该点处的切线,显示其斜率即导数值,让点运动起来、

师：

有什么发现？

生：

导数值为正数时函数单调递增,函数值为负数时函数单调递减、

师：

我们可以做出导数点,动态生成导函数图像,再次印证了我们的结论

作出该点出的切线,观察斜率即导数值得变化、

作出导数点,观察导函数的形成过程、

对比函数和导函数的图像,得出函数的单调性和导数正负的关系、

设计意图：

让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力,感受数学来源于生活又服务于生活、教师使用GGB来动态演示,引导学生从“形”的角度验证,实现多维验证,降低学生思维的难度,体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性、

（六）数学应用,体会价值、

例：

求函数

的单调区间,并画出函数的大致图像、

师：

一起解决,并进行板书、展示学生的绘图、

生:

共同回答、

练习：

求函数

的单调区间、

师：

用GGB展示结果、

设计意图：

开放函数系数,激发学生自我挑战的学习欲望,为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台,感受到书法的通用性和优越性,充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用,同时高效重温二次不等式的解法,避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习,起到一题多用的效果、

（七）方法小结,课堂提升、

师：

通过本节课的学习,思考下面的问题

生：

学习了函数的单调性与导数的关系,能够用利用导数求函数的单调区间,研究中体现了数形结合的思想、

师：

我们从一个无法解决的实际问题出发,回归定义寻求方法,从熟悉的函数到实际生活,得出结论,并能运用到陌生的函数中,探究过程中体现了数形结合的思想、

设计意图：

作为本节课的总结,从知识、方法、思想三个角度进行总结,对整节课探究过程进行回顾,体会数学研究问题的方式和其中的数学思想、尝试学生回顾本节的学习,培养“学习-总结-反思”的良好习惯、

（八）回归生活,感悟数学、

师：

最后我们放松一下,一起来坐过山车

生：

过山车时视线向上时高度上升,视线向下时高度下降、

师：

这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系、

师：

人生犹如过山车,站在人生的每个瞬间的点上,我们都能向上看,人生轨迹就会是持续上升趋势；相反,如果我们被负面情绪萦绕,我们就会走下坡路、只要饱含正能量,脚踏实地走好每一步,相信同学们的前途会一片光明！

设计意图：

体会数学可以回归生活、再次加深对本节课的感性认识,体会数学的人文精神、

（九）分层作业,因材施教、

必做题：

教材98页,习题3、3A组1、2题、

选做题：

结合所学知识,举几个函数实例,比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点、

设计意图：

学生巩固所学知识,为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间、