一维离散型随机变量及其分布.docx

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一维离散型随机变量及其分布

中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1

一、引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

二、离散型随机变量的概念及分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

2.1离散型随机变量的概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2

2.2离散型随机变量的分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3

三、离散型随机变量的期望和方差⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4

3.1离散型随机变量期望及其性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4

3.2离散型随机变量方差及其性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5

四、常见的离散分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6

4.1二项分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6

4.2泊松分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8

4.3超几何分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10

五、总结⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11

参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11

一维离散型随机变量及其分布

摘要：

离散型随机变量是一种概率论中基本的、重要的随机变量，通过对其概念、特征数及常见的几种离散分布的研究能够延伸概率，同时能为统计学奠定基础。

同时揭示了离散型随机变量的统计规律，深化了对随机变量理论体系的认识，沟通了概率与统计的联系.

关键词：

离散型；随机变量；分布列；二项分布；泊松分布.

中图分类号：

O211.5

One-dimensionaldiscreterandomvariableanditsdistribution

Abstract：

Randomvariableisabasicandanimportantrandomvariableinprobabilitytheory,throughthestudyofitsconcept,thenumberandcharacteristicsofseveralcommondiscreteprobabilitydistribution，wecanextendprobabilitytheoryandlaythefoundationforstatisticsatthesametime.Moreoveritrevealsadiscreterandomvariableofthestatisticallawofrandomvariables,deepenstheunderstandingofthetheoreticalsystemoftheprobabilityandstatistics,andcommunicatesthem.

Keywords：

Discrete;randomvariables;distributionofthecolumn;binomial

distribution;PoissonDistribution.

一．引言

概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。

“离散型随机变量的分布”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用。

不仅是在理论上，在应用上都有重要的作用，如在生产中控制产品的生产量是一个重要的指标，要做很多这方面的调查统计，又如在经济中，人们要求经济学家对未来的经济趋势进行预测时，他们也要用到各种各样的统计信息，“离散型随机变量的分布”作为中介，对它的研究也至关重要.

离散型随机变量的概念及分布

2．1离散型随机变量的概念

随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究。

而在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点呈现随机性，其数量就呈现为随机变量，如打扑克时抽到的数字、掷骰子出现的点数、电灯的寿命都可以为随机变量，有些本身不是数，需要设计一个随机变量，如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有

kknk

P（k）Cnkpkqnk,q1p

并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，⋯⋯n.我们作出随机变量的一般定义：

定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数X=X（）称为随机变量，常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，其取值用小写字母x，y，z等表示。

如果一个随机变

量仅取有限个或可列个值，则称其为离散型随机变量，由此可见随机变量X是样本点的一个函数，其自变量可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数

2．2离散型随机变量的分布

在认识离散型随机变量的过程中，我们不仅要知道X取哪些值，而且要知道其各自的概率是多少，我们就要用到分布来区分一般的变量与随机变量

定义2.2.1设X是一个随机变量，对任意实数x，称F（x）=P（Xx）为随即变

量X的分布函数，称X服从F（x），记为X~F（x）

定义2.2.2设离散型随机变量X所有可能取得值是xk（k1,2,），则称Xxk

的概率PXxkpk,k1,2,...n...为X的概率分布列，记为X~pk.

分布律也常用表2-1来表示：

表2-1

X

x1

x2

x3⋯

xk⋯

pk

p1

p2

p3⋯

pk⋯

由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量的分布列pk，都具有下述两个基本性

质：

1．pxk0,k1,2,...;（非负性）

2．pxk1.（正则性）

k1

例2.1设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信号灯，每盏灯以0.6的概率允许汽车通过，以0.4的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立）.以X表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求X的分布列.

解以p表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然X的可能取值为0，1，2，3，4，易知X的分布列为

表2-2

X

0

1

2

3

4

pk

P

（1-p）p

（1-p）2p

p（1-p）3p

（1-p）4

或写成PXk1pkp,k0,1,2,3，PX41p4.

将p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得结果如表2-3所示.

表2-3

X

0

1

2

3

4

pk

0.4

0.24

0.144

0.0864

0.1296

离散型随机变量的期望与方差

3.1离散型随机变量的期望及其性质

对于一个离散型随机变量X，如果其可能的取值Xxk,k1,2,n，若将n个数相加后除n作为“均值”是不行的，我们可给出其数学期望的定义：

定义3.1设离散型随机变量X的分布列为pxkPXxk,k1,2,,n,，如果xkpxk，则称EXxkpxk为随机变量X的数学期望.

k1k1

例3.1一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障则全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生1次故障仍可获利润5万元;发生2次故障所获利润0元;发生3次或3次以上故障就要亏损2万元,求这个工厂一周的期望利润.

解设ζ为一周内机器发生故障的天数,则ζ二项分布B（5,0.2）,

PkC5k0.2k0.85k,k0,1,2,3,4,5

005

P0C500.200.850.328

P1C510.210.840.410

P2C520.220.830.205

P31P0P1P20.057

以η表示所获利润,则η的概率分布为:

η

10

5

0

-2

P

0.328

0.410

0.205

0.057

E（η）=100×.328+50.×410+00.×205+（-2）0.05×7=5.216（万元）.故工厂一周内期望利润是5.216万元.

性质3.1.1若c是常数，则E（c）=c.

性质3.1.2对任意常数a，有E（aX）=aE（X）.

性质3.1.3对任意的两个函数g1x和g2x，有

E1gx2gx1Egx.2Egx

3.2离散型随机变量方差的及其性质

2

定义3.2若随机变量X2的数学期望E（X2）存在，则称偏差平方XEX2的数学

2

期望EXEX为随机变量X（或相应分布）的方差，若X为离散型随机变量则方差

22

VarXEXEXxkEXpxk.

k

另外，如果随机变量X的数学期望存在，其方差不一定存在；而当X的方差存在时，则E（X）必定存在，原因是xx21.

2

性质3.2.1VarXEX2EX2

在实际计算方差时，这个比定义Var（X）E（XEX）2常用.

性质3.2.2常数的方差为0，即Varc0，其中c是常数.

性质3.2.3若a，b为常数，则VaraXba2VarX.

例3.2某人有一笔资金，可投入两个项目：

房产和商业，其收益都与市场状态有关。

若把未来市场经济划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2、0.7、

0.1.通过调查，该投资者认为投资于房产的收益X（万元）和投资于商业的收益Y（万

元）的分布分别为

X

11

3

-3

P

0.2

0.7

0.1

Y

6

4

-1

P

0.2

0.7

0.1

请问：

该投资者如何投资为好？

解先考虑数学期望（平均收益）

E（X）110.230.7（3）0.14.0（万元）

E（Y）60.240.7

（1）0.13.9（万元）

从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益0.1万元.下面我们再来计算他们各自的方差

Var（X）（114）20.2（34）20.7（34）20.115.4

Var（Y）（63.9）20.2（43.9）20.7（13.9）20.13.29因为方差越大，则收益的波动大，从而风险也大。

所以从方差看，投资房产的风险比投资商业的风险大一倍多。

若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资商业为好，虽然平均收益少0.1元，而风险要小一半以上.

四．常见的的离散分布

4.1二项分布

4.1.1二项分布的定义

若用X表示n重贝努利概型中事件A发生的次数，它的分布列为

Pn（Xk）Cnkpk（1p）nk,k0,1,,n.则称X服从参数为n，p（0

二项分布的分布列可表示为：

X

0

1

2

⋯

n

Pnk

Pn0

Pn1

Pn2

⋯

Pnn

特别当n=1时，二项分布可化为0-1分布，P（Xk）pk（1p）1k,k0,1即二项分布随机变量是n个独立同分布的二点分布随机变量之和.

二项分布的应用条件：

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料.

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作

中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值.

3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果.如要求疾病无传染性、无家族性等.

注：

二项分布的特点：

对于固定的n及p，当k增加时，概率p先是随之增加直至最大值，然后单调减少，当（n+1）p为整数时，概率P（X=k）在k=（n+1）p和k=（n+1）p-1处达到最大值；当（n+1）p不为整数时，概率P（X=k）在k=[（n+1）p]达到最大值.

4.1.2二项分布的数学期望和方差

E（X）np,E（X2）n（n1）p2np，由此得Var（X）E（X2）（E（X））2np（1p），故0-1分布的数学期望为p，方差为p（1p）.（当n=1时）

例4.1某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率

为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：

（1）双方各出3人；

（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：

对系队来说，哪一种方案有利？

解设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为：

3

（1）P{X≥2}=Ck3（0.4）k（0.6）3k0.352；

k2

5

（2）P{X≥3}=Ck5（0.4）k（0.6）5k0.317；

k3

7

（3）P{X≥4}=C7k（0.4）k（0.6）7k0.290.

k4

因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.

4.1.3二项分布的用途：

二项分布常被用于医学中，研究两种有互斥结果的离散随机变量，如对病人治疗

结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。

因此，二项分布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述的一种概率分布.

4.2泊松分布

4.2.1泊松分布的定义

ke-

若随机变量X的分布律为PXke，k=0，1，2，⋯，其中λ>0是常数，

k!

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P（λ）.

ke

事实上，P{X=k}≥0显然；再由ee，e1可知

k0k!

P{Xk}=1.

k0

4.2.2泊松分布的数学期望及方差

E（X）,E（X2）2,由此得X的方差Var（X）E（X2）（E（X））222因

此泊松分布的参数既是数学期望又是方差.

4.2.3泊松定理

设npn=λ（λ>0是一常数，n是任意正整数），则对任意一固定的非负整数k,有

证由pn=λ/n，有

Cknpnk1pnnkn（n1）（nk1）（）k

（1）nknn

121k11n1nnn

对任意固定的k，当n→∞时，

11n112n1kn11，

nnn

nk

1e,11

nn

定理得证.

通过对用二项分布直接计算与利用泊松分布做近似计算的数据的对比发现，两者的结果是很接近的，当n>>100，np<<10的时候，效果更好.

例4.2某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为

0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.

解设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b（n,p）,此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5，

1

P{X≥2}=1-P{X<2}=1-PXk

k0

50004999

=10.99950.999

可得

P{X≥2=}1-0.00674-0.03369=0.95957.

4.2.4泊松分布的用途：

泊松分布是概率论中一种重要的分布，在实际问题中得到广泛地应用。

例如，一本书某一页中的印刷误数；某一医院在一天内的急诊病人数；某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数等都服从泊松分布.

4.3超几何分布

4.3.1超几何分布的定义

超几何分布的样本是一个不放回抽样,设有N个产品，有M个不合格品，若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品的个数X服从超几何分布，记为Xh

MNM

（n，N，M），其概率分布列为P（Xk）kNnk,k0,1,,r

nN

其中r=min{M，n}，且MN,nN,n,N,M均为正整数.

4.3.2超几何分布的数学期望和方差

E（X）nM,E（X2）M（M1）n（n1）nM，则其方差为

NN（N1）N

Var（X）E（X2）E（X）2nM（N2M）（Nn）

N2（N1）

例4.3有外观完全一样的包子12个，其中有肉馅包子8个，素馅包子4个，先从中随机取出3个包子，记其中的素馅包子的个数为X，求X的分布列.

解依题意，可知X服从超几何分布，它的所有可能取值为0,1,2,3。

其中P（X0）CC4C381545,P（X1）CC4C385285,P（X2）CC4C38

10

C1255C1255C12

X

0

1

2

3

P

14

28

12

1

55

55

55

55

4.3.3超几何分布的用途：

超几何分布常被用于产品抽样检查的问题，也就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题，也被用于生物工程等.

五．总结

通过对离散型随机变量的概念、特征数及几种常见的离散分布的研究，离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象，并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离散型随机变量的统计规律，深了对随机变量理论体系的认识，沟通了概率与统计的联系。

在社会生活中，应用更加方便、快捷，具有深远的意义.

参考文献：

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高等教育出版社，2004.

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[2]胡戏宝，王丽霞.概率论与数理统计[M].北京：

北京邮电大学出版社，2003年.

[3]陈东明.离散型随机变量的期望与方差的应用[J].数学通讯，2003（11）

[4]郭立娟.数学期望的应用举例[J].大众科技，2006（7）：

169.

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