一维离散型随机变量及其分布.docx

1、一维离散型随机变量及其分布中文摘要 1英文摘要 1一、 引言 2二、离散型随机变量的概念及分布 22.1离散型随机变量的概念 22.2离散型随机变量的分布 3三、离散型随机变量的期望和方差 43.1离散型随机变量期望及其性质 43.2离散型随机变量方差及其性质 5四、常见的离散分布 64.1二项分布 64.2泊松分布 84.3超几何分布 10五、总结 11参考文献 11一维离散型随机变量及其分布摘要：离散型随机变量是一种概率论中基本的、重要的随机变量，通过对其概念、 特征数及常见的几种离散分布的研究能够延伸概率，同时能为统计学奠定基础。同时 揭示了离散型随机变量的统计规律，深化了对随机变量理论

2、体系的认识，沟通了概率 与统计的联系 .关键词 ：离散型；随机变量；分布列；二项分布；泊松分布 .中图分类号： O211.5One-dimensional discrete random variable and its distributionAbstract： Random variable is a basic and an important random variable in probability theory, through the study of its concept, the number and characteristics of several common d

3、iscrete probability distribution ， we can extend probability theory and lay the foundation for statistics at the same time. Moreover it reveals a discrete random variable of the statistical law of random variables, deepens the understanding of the theoretical system of the probability and statistics

4、, and communicates them.Keywords ：Discrete; random variables; distribution of the column;binomialdistribution; Poisson Distribution.一引言概率是对随机现象统计规律演绎的研究，而统计是对随机现象统计规律归纳的研 究，两者虽有明显的不同，但它们都是相互渗透、相互联系的。 “离散型随机变量的分 布”作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础， 能起到承上启下的作用。不仅是在理论上，在应用上都有重要的作用，如在生产中控 制产品的生产量是一个重要

5、的指标，要做很多这方面的调查统计，又如在经济中，人 们要求经济学家对未来的经济趋势进行预测时，他们也要用到各种各样的统计信息， “离散型随机变量的分布 ”作为中介，对它的研究也至关重要 .离散型随机变量的概念及分布21 离散型随机变量的概念随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机 变量及概率的研究。而在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本 点呈现随机性，其数量就呈现为随机变量，如打扑克时抽到的数字、掷骰子出现的点 数、电灯的寿命都可以为随机变量， 有些本身不是数， 需要设计一个随机变量， 如在 “n 重贝努里试验中， 事件 A 出现 k 次”这一事

6、件的概率， 若记 =n重贝努里试验中 A 出现 的次数，则上述 “n 重贝努里试验中，事件 A 出现 k 次 ”这一事件可以简记为（ =k）, 从而有k k n kP （ k） Cnk pkqn k ,q 1 p并且 的所有可能取值就是事件 A 可能出现的次数 0，1，2，n. 我们作出随机变量的一般定义：定义 2.1.1 定义在样本空间 上的实值函数 X=X（ ）称为随机变量，常用大写 字母 X，Y，Z 等表示随机变量，其取值用小写字母 x，y，z 等表示。如果一个随机变量仅取有限个或可列个值， 则称其为离散型随机变量， 由此可见随机变量 X 是样本点 的一个函数，其自变量可以是数，也可以不

7、是数，但因变量一定是实数22 离散型随机变量的分布在认识离散型随机变量的过程中，我们不仅要知道 X 取哪些值，而且要知道其各 自的概率是多少，我们就要用到分布来区分一般的变量与随机变量定义 2.2.1 设 X 是一个随机变量，对任意实数 x，称 F（x）=P（X x）为随即变量 X 的分布函数，称 X 服从 F（x），记为 XF（x）定义 2.2.2 设离散型随机变量 X所有可能取得值是 xk （k 1,2, ），则称 X xk的概率 P X xk pk,k 1,2,.n.为 X的概率分布列，记为 X pk .分布律也常用表 2-1 来表示：表 2-1Xx1x2x3 xk pkp1p2p3 p

8、k 由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量的分布列 pk ，都具有下述两个基本性质：1 p xk 0,k 1,2,.; （非负性）2 p xk 1. （正则性）k1例 2.1 设一汽车在开往目的地的道路上需通过 4 盏信号灯，每盏灯以 0.6 的概率 允许汽车通过，以 0.4的概率禁止汽车通过（设各盏信号灯的工作相互独立） .以X 表 示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求 X 的分布列 .解以 p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 易知 X 的分布列为表 2-2X01234pkP（1-p）p（1-p）2 pp（ 1-p） 3 p（1-p）4或写成

9、 P X k 1 p k p,k 0,1,2,3 ， P X 4 1 p 4.将 p=0.4,1-p=0.6代入上式，所得结果如表 2-3所示.表 2-3X01234pk0.40.240.1440.08640.1296离散型随机变量的期望与方差3.1离散型随机变量的期望及其性质对于一个离散型随机变量 X，如果其可能的取值 X xk ,k 1,2, n，若将 n 个 数相加后除 n 作为“均值”是不行的，我们可给出其数学期望的定义：定义 3.1 设离散型随机变量 X 的分布列为 p xk P X xk ,k 1,2, ,n, ，如 果 xk p xk ，则称 E X xk p xk 为随机变量

10、X 的数学期望 .k 1 k 1例 3.1 一部机器在一天内发生故障的概率为 0. 2 , 机器发生故障则全天停止工作 . 若一周 5 个工作日里无故障 ,可获利润 10 万元 ;发生 1 次故障仍可获利润 5 万元; 发生 2 次故障所获利润 0 元;发生 3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元 ,求这个工 厂一周的期望利润 .解 设 为一周内机器发生故障的天数 ,则 二项分布 B (5 , 0. 2) ,P k C5k 0.2k0.85 k,k 0,1,2,3,4,5005P 0 C500.200.85 0.328P 1 C510.210.84 0.410P 2 C520.220.83

11、 0.205P 3 1 P 0 P 1 P 2 0.057以 表示所获利润 ,则 的概率分布为 :1050- 2P0. 3280. 4100. 2050. 057E（） = 10 0. 328 + 5 0. 410 + 0 0. 205 +（ - 2） 0. 057 = 5.216（万元） . 故工厂一周内期望利润是 5. 216 万元 .性质 3.1.1 若 c 是常数，则 E（c）=c.性质 3.1.2 对任意常数 a，有 E（aX）=aE （X）.性 质 3.1.3 对 任 意 的 两 个 函 数 g1 x 和 g2 x ， 有E 1g x 2 g x 1 E g x. 2 E g x3

12、.2离散型随机变量方差的及其性质2定义 3.2 若随机变量 X 2的数学期望 E( X 2)存在，则称偏差平方 X EX 2的数学2期望 E X EX 为随机变量 X(或相应分布)的方差，若 X 为离散型随机变量则方差22Var X E X E X xk E X p xk .k另外，如果随机变量 X的数学期望存在，其方差不一定存在；而当 X 的方差存在时， 则 E( X)必定存在，原因是 x x2 1.2性质 3.2.1 Var X E X 2 E X 2在实际计算方差时，这个比定义 Var(X) E(X EX)2 常用.性质 3.2.2 常数的方差为 0，即Var c 0，其中 c是常数 .

13、性质 3.2.3 若 a，b 为常数，则 Var aX b a2Var X .例 3.2 某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有 关。若把未来市场经济划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为 0.2、 0.7、0.1. 通过调查，该投资者认为投资于房产的收益 X(万元)和投资于商业的收益 Y(万元)的分布分别为X113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1请问：该投资者如何投资为好？解 先考虑数学期望(平均收益)E(X) 11 0.2 3 0.7 ( 3) 0.1 4.0 (万元)E(Y) 6 0.2 4 0.7 ( 1) 0.1 3.9 (万元)

14、从平均收益看，投资房产收益大，可比投资商业多收益 0.1 万元 . 下面我们再来计算他 们各自的方差Var(X) (11 4)2 0.2 (3 4)2 0.7 ( 3 4)2 0.1 15.4Var(Y) (6 3.9)2 0.2 (4 3.9)2 0.7 ( 1 3.9)2 0.1 3.29 因为方差越大，则收益的波动大，从而风险也大。所以从方差看，投资房产的风险比 投资商业的风险大一倍多。若收益与风险综合权衡，该投资者还是应该选择投资商业 为好，虽然平均收益少 0.1 元，而风险要小一半以上 .四常见的的离散分布4.1 二项分布4.1.1二项分布的定义若用 X 表示 n 重贝努利概型中事件

15、 A 发生的次数，它的分布列为Pn(X k) Cnkpk(1 p)n k,k 0,1, ,n.则称 X服从参数为 n，p(0p0 是常数，k!则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 XP( ).ke事 实 上 ， P X=k 0 显 然 ； 再 由 e e ， e 1 可 知k 0 k!P X k =1.k04.2.2泊松分布的数学期望及方差E(X) ,E(X2) 2 ,由此得 X的方差Var( X ) E(X2) (E(X)2 2 2 因此泊松分布的参数 既是数学期望又是方差 .4.2.3泊松定理设 npn=(0是一常数， n 是任意正整数)，则对任意一固定的非负整数 k,有证 由 pn=

16、/n，有Ckn pnk 1 pn n k n(n 1) (n k 1)( )k(1 )n k nn1 2 1 k 1 1 n 1 nnn对任意固定的 k，当 n时，1 1 n1 1 2n 1 kn1 1，n n nnk1 e , 1 1nn定理得证.通过对用二项分布直接计算与利用泊松分布做近似计算的数据的对比发现，两者 的结果是很接近的，当 n100 ，np10 的时候，效果更好 .例 4.2 某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有 5000 辆汽车通过这个十字路口， 求发生交通事故的汽车数不少于 2 的概率.解 设 X表示发生交通事故的汽车数，

17、 则 Xb(n,p),此处 n=5000，p=0.001，令 =np=5，1PX 2=1-PX2=1- P X kk05000 4999=1 0.999 5 0.999可得PX 2= 1-0.00674-0.03369=0.95957.4.2.4 泊松分布的用途 ：泊松分布是概率论中一种重要的分布，在实际问题中得到广泛地应用。例如，一 本书某一页中的印刷误数；某一医院在一天内的急诊病人数；某一地区一个时间间隔 内发生交通事故的次数等都服从泊松分布 .4.3 超几何分布4.3.1超几何分布的定义超几何分布的样本是一个不放回抽样 ,设有 N 个产品，有 M 个不合格品，若从中 不放回地随机抽取 n

18、 个，则其中含有的不合格品的个数 X 服从超几何分布，记为 X hM N M(n，N，M)，其概率分布列为 P(X k) k Nn k ,k 0,1, ,rnN其中 r=minM ，n，且 M N,n N , n,N,M 均为正整数 .4.3.2超几何分布的数学期望和方差E(X) nM,E(X2) M(M 1)n(n 1) nM ，则其方差为N N(N 1) NVar(X) E(X2) E(X)2 nM(N2 M)(N n)N2(N 1)例 4.3 有外观完全一样的包子 12 个，其中有肉馅包子 8 个，素馅包子 4 个，先从 中随机取出 3 个包子，记其中的素馅包子的个数为 X，求 X的分布

19、列 .解 依题意，可知 X 服从超几何分布，它的所有可能取值为 0,1,2,3。其中P(X 0) CC4C3 8 1545, P( X 1) CC4C38 5285, P(X 2) CC4C3 810C12 55 C12 55 C12X0123P1428121555555554.3.3超几何分布的用途：超几何分布常被用于产品抽样检查的问题，也就是已经知道某个事件的发生概 率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题，也被用于 生物工程等 .五总结通过对离散型随机变量的概念、特征数及几种常见的离散分布的研究，离散型随 机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整 体上研究随机现象，并为定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离 散型随机变量的统计规律，深了对随机变量理论体系的认识，沟通了概率与统计的联 系。在社会生活中，应用更加方便、快捷，具有深远的意义 .参考文献 ：1茆诗松 程依明 濮晓龙编著 . 概率论与数理统计教程 M. 北京：高等教育出版社， 2004.112胡戏宝，王丽霞 .概率论与数理统计 M. 北京：北京邮电大学出版社， 2003 年.3陈东明 . 离散型随机变量的期望与方差的应用 J. 数学通讯， 2003（ 11）4郭立娟 . 数学期望的应用举例 J. 大众科技， 2006（ 7）： 169.12