高中高考总结复习概率随机变量分布列期望方差doc.docx
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高中高考总结复习概率随机变量分布列期望方差doc
2017高考复习---概率、随机变量分布列、期望方差
1．某高校进行自主招生面试时的程序如下：
共设
3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5
分（每道题都必须回答，但相互不影响）
．设某学生对每道题答对的概率都为
，则该学生
在面试时得分的期望值为
分．
2．随机变量ξ服从二项分布
ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，则P等于
．
3．设随机变量X～B（6，
），则P（X=3）=
．
4．口袋中装有大小质地都相同、编号为
1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随
机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为
X，则随机变量
X的数学期望是
．
5．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若
．则Dξ的值是
．
6．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中
x＞0，y＞0，随机变量ξ的方差Dξ=，则
x+y=
．
1
2
3
ξ
P
X
y
x
7．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取
4只球，取到
1只红球得
1分，取到
1只黑球得
3分，设得分为随机变量
ξ，则P（ξ≤7）=
．
8．一个袋子里装有大小相同的
3个红球和
2个黄球，从中同时取出
2个球，则其中含红球
个数的数学期望是
．
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲
袋装有
4个红球、2个白球，乙袋装有
1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机
抽取1个球，记抽取到红球的个数为
ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=．
10．有一种游戏规则如下：
口袋里有
5个红球和5个黄球，一次摸出
5个，若颜色相同则
得100分，若
4个球颜色相同，另一个不同，则得
50分，其他情况不得分．小张摸一次得
分的期望是
分．
11．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了
a，b，c，d四条旅游线
路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择
a线路旅游团数ξ的数学期望Eξ=．
12．随机变量X的分布列如下：
若
，则DX的值是
．
X
﹣1
0
1
P
a
c
第1页
13．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1.，5则a的值等于．
ξ0123
P0.1ab0.2
14．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，
每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放
对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=．
15．从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学
的概率等于．
16．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球
的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）
17．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机
抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．
18．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是．
19．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三
角形的概率是．
20．从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出
一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是．
21．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的
数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a﹣b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现
任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为．
22．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点
数为n，向量=（m，n），=（3，6），则向量与共线的概率为．
23．某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同
一个食堂用餐的概率为．
24．在一次招聘口试中，每位考生都要在5道备选试题中随机抽出3道题回答，答对其中2
道题即为及格，若一位考生只会答5道题中的3道题，则这位考生能够及格的概率为．
第2页
2017年03月25日茅盾中学09的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共24小题）
1．（2012?
温州一模）某高校进行自主招生面试时的程序如下：
共设3道题，每道题答对给
10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率
都为，则该学生在面试时得分的期望值为
15分．
【分析】设该生在面试时的得分为X，由题设条件知X的可能取值为﹣15，0，15，30，分别求出P（X=﹣15），P（X=0），P（X=15），P（X=30），由此能求出该学生在面试时得分的期望值．
【解答】解：
设该生在面试时的得分为
X，由题设条件知
X的可能取值为﹣
15，0，15，30，
P（X=﹣15
）=
=
，
P（X=0）=
=
，
P（X=15）=
=
，
P（X=30）=
=，
∴EX=﹣15×+0×+15×+30×=15．
∴该学生在面试时得分的期望值为15分．
故答案为：
15．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，注意n次独立
重复试验中事件恰好发生k次的概率计算公式的灵活运用．
2．（2016春?
松桃县校级期末）随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ=300，Dξ=200，
则P等于．
【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的
期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的未知量p．【解答】解：
∵ξ服从二项分布B～（n，p）
Eξ=300，Dξ=200
∴Eξ=300=np，①；
Dξ=200=np（1﹣p），②．
可得1﹣p==，
∴p=1﹣=．
故答案为：
．
第3页
【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，本题解题的关键是通过解方程组得到要求的变量，注意两个式子相除的做法，本题与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式，本题是一个基础题．
3．（2013春?
渭滨区校级期末）设随机变量X～B（6，），则P（X=3）=．
【分析】根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题x=3，代入公式得到要求的概率．
【解答】解：
∵随机变量X服从二项分布B（6，），
∴P（X=3）=C36（）3×（1﹣）3=．
故答案为：
．
【点评】本题考查二项分布的概率计算公式，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．（2015?
中山二模）口袋中装有大小质地都相同、
编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现
从中一次性随机地取出两个球，
设取出的两球中较小的编号为
X，则随机变量X的数学期望
是
．
【分析】确定X的可能取值为
1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量
X的数学期
望
【解答】解：
由题设知
X的可能取值为1，2，3，4，5．
随机地取出两个球，共有：
=15种，
∴P（X=1）=
，P（X=2）=
，P（X=3）=
，P（X=4）=
，P（X=5）=
，
∴随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
故EX=1×
+2×
+3×
+4×+5×=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定
X的可能取值，求出相应的概
率是关键．
5．（2007?
浙江）随机变量ξ的分布列如下：
ξ
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若
．则Dξ的值是
．
【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个
第4页
是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果．【解答】解：
∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，∵a+b+c=1，
Eξ=﹣1×a+1×c=c﹣a=．
联立三式得，
∴．
故答案为：
【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望的公式．
6．（2014?
余杭区校级模拟）已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x＞0，y＞0，随机
变量ξ的方差Dξ=，则x+y=．
ξ123
PXyx
【分析】利用离散型随机变量的期望与方差即可得出．
【解答】解：
由题意可得：
2x+y=1，Eξ=x+2y+3x=4x+2y=4x+2（1﹣2x）=2．
∴方差Dξ==（1﹣2）2x+（2﹣2）2（1﹣2x）+（3﹣2）2x．
化为，解得，
∴
=
．
∴
=
．
故答案为．
【点评】熟练掌握离散型随机变量的期望与方差是解题的关键．
7．（2015春?
淮安校级期末）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取
4只球，取到
1只红球
得1分，取到
1只黑球得3分，设得分为随机变量
ξ，则P（ξ≤7）=
．
【分析】取出的
4只球中红球个数的可能为
4，3，2，1个，黑球相应个数为
0，1，2，3
个，得分的随机变量
ξ=4，6，8，10，由经能求出
P（ξ≤7）的值．
【解答】解：
取出的
4只球中红球个数的可能为
4，3，2，1个，
黑球相应个数为
0，1，2，3个，
∴得分的随机变量ξ=4，6，8，10，
∴P（ξ≤7）=P（ξ=4）+P（ξ=6）
第5页
==．
故答案为：
．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
8．（2001?
江西）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，
则其中含红球个数的数学期望是1.2．
【分析】由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红
球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出
2个球，其中
2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．
【解答】解：
设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2，
当ξ=0时，表示从中取出
2
个球，其中不含红球，
当ξ=1时，表示从中取出
2
个球，其中
1
个红球，1个黄球，
当ξ=2时，表示从中取出
2
个球，其中
2
个红球，
∴P（ξ=0）=
=0.1，
P（ξ=1）=
=0.6
P（ξ=2）==0.3
∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．
故答案为：
1.2．
【点评】本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．
9．（2012?
浙江校级模拟）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜
色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别
从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，记抽取到红球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=
．
【分析】由题中ξ的取值可能是0，1，2，由等可能事件的概率计算出概率，得出分布列再有公式求出期望即可
【解答】解：
由题ξ的取值可能是0，1，2，从丙个袋中各一个球，总的取法有6×6=36
故P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=
所以ξ的分布列为
第6页
ξ012
P
=
故答案为
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，解题的关键是根据相应的概率计算公式求出变量取每一个可能值的概率，列出分布列，求出期望．
10．（2013?
浙江模拟）有一种游戏规则如下：
口袋里有
5个红球和
5个黄球，一次摸出5
个，若颜色相同则得100分，若4
个球颜色相同，另一个不同，则得
50分，其他情况不得
分．小张摸一次得分的期望是
分．
【分析】由题意知小张摸一次得分
X的可能取值是
0，，50，100，当得分为100时，表示从
十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，当得分
50时，表示取到的球有四个颜色相
同，结合变量对应的事件，做出分布列和期望．
【解答】解：
由题意知小张摸一次得分
X的可能取值是
0，，50，100，
当得分为100时，表示从十个球中取五个球，取到的都是颜色相同的球，
从10个球中取5个共有C105种结果，而球的颜色都相同包括两种情况，
∴P（X=100）==，
当得分50时，表示取到的球有四个颜色相同，
P（X=50）==，
P（X=0）=1﹣=，
∴EX=100×==，
故答案为：
．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
11．（2013?
西湖区校级模拟）为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了
a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路旅游团数ξ的
数学期望Eξ=．
【分析】确定ξ的可能取值，计算相应的概率，可得分布列，进而可求ξ的数学期望．
【解答】解：
由题意，ξ=0，1，2，3，
第7页
P（ξ=0）==
，P（ξ=1）=
=，P（ξ=2）=
=，P（ξ=3）==
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∴期望Eξ=0×
+1×+2×
+3×
=
故答案为：
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（2011?
海珠区一模）随机变量X的分布列如下：
若，则DX的值是．
X﹣101
Pac
【分析】由分布列的性质和期望列出关于a和c的方程组，解出a和c，再利用方差公式求
方差即可．
【解答】解：
由题意：
，解得：
所以DX=
故答案为：
【点评】本题考查分布列的性质、期望和方差的计算，考查基础知识和基本运算．
13．（2012?
浙江模拟）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望Eξ=1，.5则a的值等
于0.5．
ξ0123
P0.1ab0.2
【分析】由题意已经知道随机变量ξ的分布列表，又知道ξ的期望Eξ=1.5，利用期望定义及分布列的性质建立方程求解即可．
【解答】解：
由题意可得：
?
．
故答案为：
0.5．
【点评】此题属于基本题型，重点考查了随机变量的分布列的性质，期望定义及学生利用方程的思想求解问题．
14．（2011?
宁波模拟）一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，
第8页
4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做
放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=1．
【分析】由于ξ表示匹对的个数，由题意则ξ可能取：
0，1，2，4，并利用古典概型随机事
件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．
【解答】解：
由题意ξ可能取：
0，1，2，4，则
，，，
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
P
Eξ==1．
故答案为：
1
【点评】此题考查了离散型随机变量的定义及其分布列，并且利用分布列求出期望，还考查了考虑问题时的严谨的逻辑思维及计算能力．
15．（2013?
浙江）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2
名都是女同学的概率等于．
【分析】由组合数可知：
从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有
=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．
【解答】解：
从6名学生中任选2名共有=15种情况，
满足2名都是女同学的共有=3种情况，
故所求的概率为：
=．
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．
16．（2013?
上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）
【分析】从7个球中任取2个球共有=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇
一偶两种情况，有=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案．
【解答】解：
从7个球中任取2个球共有=21种，
第9页
所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有
=15种取法，
所以两球编号之积为偶数的概率为：
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：
P（A）=
，
其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，
m为基本事件总数．
17．（2015?
江苏模拟）口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为
1，2，3，
4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于
5的概率为
．
【分析】由组合知识求出从
4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编
号之和大于
5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：
从5个球中随机抽取两个球，共有
种抽法．
满足两球编号之和大于
5的情况有（
2，4），（3，4）共2种取法．
所以取出的两个球的编号之和大于
5的概率为
．
故答案为
．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．
18．（2010?
江苏）盒子中有大小相同的
3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两
只球颜色不同的概率是
．
【分析】算出基本事件的总个数
n=C42
=6，再算出事件A中包含的基本事件的个数
31
=3，
m=C
算出事件A的概率，即P（A）=
即可．
【解答】解：
考查古典概型知识．
∵总个数n=C42=6，
m=C1
∵事件A中包含的基本事件的个数
=3
3
∴
故填：
．
【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，其算法是：
（1）算出基本事件的总个数
n；
（2）算出事件A中包含的基本事件的个数
m；
（3）算出事件A的概率，即P（A）=．
19．（2009?
安徽）从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为
第10页
边可以构成三角形的概率是．
【分析】本题是一个古典概率试验发生包含的基本事件可以列举出共4种；而满足条件的
事件是可以构成三角形的事件可以列举出共3种；根据古典概型概率公式得到结果．
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