含参数的一元二次方程的整数解问题.docx
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含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲
含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的实根情况,可以用判别式A=b2-4ac来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲
解一些主要的方法.
例1m是什么整数时,方程
(m2-l)x2-6(3m-l)x+72=0
有两个不相等的正整数根.
解法1首先,hMho,皿工+1.A=36(m-3)2>0,所以m^3.用求根公式可得
12
m+1
由于Xi,X2是正整数,所以
m-l=l,2,3,6,m+l=l,2,3,4,6,12,
解得m=2・这时Xi=6,X2=4・
解法2首先,朋-1工0,m^±1•设两个不相等的正整数根为X1,X2,则由根与系数的关系知
72
所以m-仁2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72,即卩
m=3,4,5,7,9,10,13,19,25,37,73,
只有m=4,9,25才有可能,即m=±2,±3,
±5.
经检验,只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.
说明一般来说,可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论,就比较容易求解问题,解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理,得到两个整数,再利用整除性质求解,解法2就是如此,这些都是最自然的做法.
例2已知关于x的方程
2222
ax-(3a-8a)x+2a-13a+15=0
(其中a是非负整数)至少有一个整数根,求a的值.
分析“至少有一个整数根”应分两种情况:
一是两个都是整数根,另一种是一个是整数根,一个不是整数根.我们也可以像上题一样,把它的两个根解出来.
解因为az0,所以
-3a)i3a)a-4?
(2aa-13a+15)
-宓-8a)i(aa+2a)=2?
所以
肿■fl
为'r和一Qd十2il)”t
2?
="I
所以只要a是3或5的约数即可,即a=1,3,5.
例3设m是不为零的整数,关于x的二次方程
2
mx-(m-1)x+1=0
有有理根,求m的值.
解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数•令
22
△=(m-1)-4m=n,
其中n是非负整数,于是
22
m-6m+1=n,
所以(m-3)2-n2=8,
(m-3+n)(m-3-n)=8.
由于m-3+nAm-3-n,并且
(m-3+n)+(m-3-n)=2(m-3)
是偶数,所以m-3+n与m-3-n同奇偶,所以
Jzu-3+n=4?
zn-3+n=--2?
[:
n-3-n=2s(
tn・3-n=.
L
in—5j
m=0・”士
听以*
1〔皆去J■
n=L
L
n=l
L
所以=D这时方程的勸介税为:
・,
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.
例4关于x的方程
ax2+2(a-3)x+(a-2)=0
至少有一个整数解,且a是整数,求a的值.
解当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数解.
当a工0时,方程是一元二次方程,它至少有一个整数根,说明判别式
2
△=4(a-3)-4a(a-2)=4(9-4a)
为完全平方数,从而9-4a是完全平方数.令
9-4a=n2,则n是正奇数,
冃详3(否I服=0).折加=啤.由求龍外弍舒
编-9±h3+n
所臥也亠_[+-I+
要使X1为整数,而n为正奇数,只能n=1,从而a=2.要使X2为整数,即n-3|4,n可取1,5,7,从而a=2,-4,-10.
综上所述,a的值为2,-4,-10.
说明本题是前面两种方法的“综合"•既要用判别式是平方数,又要用直接求根.有时候,往往是几种方法一同使用.
例5已知关于x的方程
2
x+(a-6)x+a=0
的两根都是整数,求a的值.
解设两个根为X1>X2,由韦达定理得
从上面两式中消去a得
X1X2+X1+X2=6,
所以(x1+1)(x2+1)=7,
臥以
所以a=xiX2=0或16.
说明利用韦达定理,然后把参数消去,得到的是关于Xi,X2的不定方程,而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.
例6求所有有理数r,使得方程
2
rx+(r+1)x+(r-1)=0
的所有根是整数.
分析首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时,是关于x的一次方程;r工0时,是关于x的二次方程,由于r是有理数,处理起来有些困难,这时用直接求根或用判别式来做,均不能奏效•可用韦达定理,先把这个有理数r消去.
解当r=0时,原方程为x-仁0,所以x=1.
当r工0时,原方程是关于x的一元二次方程,设它的两个整数根为Xi,X2,且Xi>X2,则
消去r得
XiX2-xi-X2=2,
所以(X1-1)(X2-1)=3.
Vi£一九
祈以
综匕祈述,当「=J・队闻,方秽箭所有眾鄆杲琴敎
X的一
例7已知a是正整数,且使得关于元二次方程
2
ax+2(2a-1)x+4(a-3)=0
至少有一个整数根,求a的值.
解将原方程变形为
(x+2)2a=2(x+6).
显然x+2工0,于是
2(x*6)
由于a是正整数,所以a>1,即
型十勺
〔“卽
所以x2+2x-8W0,
(x+4)(x-2)<0,
所以-4Wx<2(x丰-2).
当x=-4,-3,-1,0,1,2时,得a的值为
说明从解题过程中知,当a=1时,有两个整数根-4,2;当a=3,6,10时,方程只有一个整数根.有时候,在关于x的一元二次方程中,如果参数是一次的,可以先对这个参数来求解.
例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根X1,X21古》0*xjxj>0,
(0求iiL冷弋比^3(2)求证:
b-1(3)求b,c的所有可能的值.
解
(1)由X1X2>0知,X1与X2同号.若X1>0,则X2>0,
这时b=Hi-丽丸吒0・A睫JS,所叽0,同舞可证);K山
(2)由⑴知,XiV0,X2v0,所以xi<-1,-1.由韦达定理
c-(b-1)=x1X2+Xi+X2+1
=(x1+1)(x2+1)>0,所以c>b-1.
同理有
b-〔点-1)=+1
=(W1+0g;知)>D.
所以c
所以b-1⑶由⑵可知,b与c的关系有如下三种情
况:
(i)c=b+1.由韦达定理知
X1X2=-(X1+X2)+1,
所以(x1+1)(x2+1)=2,
‘野十1二-I,K|+1=
解得X1+X2=-5,xx=6,所以b=5,c=6.
(ii)c=b•由韦达定理知
XiX2=-(Xi+X2),
所以(Xi+1)(X2+1)=1,
所以Xi=X2=-2,从而b=4,c=4.
(iii)c=b
-1.由韦达定理知
-R;-Mj)-Xt•xi-It
所以
G;iLGJ
解得狀;+衍=5中;=&所以b",
综上所述,共有三组解:
(b,c)=(5,6),(4,4),(6,5).