含参数的一元二次方程的整数解问题.docx
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含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题
第二十六讲
含参数的一元二次方程的整数根问
题
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a^O）的实根情况，可以用判别式A=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲
解一些主要的方法.
例1m是什么整数时，方程
（m2-l）x2-6（3m-l）x+72=0
有两个不相等的正整数根.
解法1首先，hMho,皿工+1.A=36（m-3）2>0,所以m^3.用求根公式可得
12
m+1
由于Xi,X2是正整数，所以
m-l=l,2,3,6,m+l=l,2,3,4,6,12,
解得m=2・这时Xi=6,X2=4・
解法2首先，朋-1工0,m^±1•设两个不相等的正整数根为X1,X2,则由根与系数的关系知
72
所以m-仁2,3，4，6，8，9，12，18，24,36，72，即卩
m=3,4，5，7，9，10，13，19，25，37，73,
只有m=4,9,25才有可能，即m=±2,±3,
±5.
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.
说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.
例2已知关于x的方程
2222
ax-（3a-8a）x+2a-13a+15=0
（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值.
分析“至少有一个整数根”应分两种情况：
一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来.
解因为az0,所以
-3a）i3a）a-4?
（2aa-13a+15）
-宓-8a）i（aa+2a）=2?
所以
肿■fl
为'r和一Qd十2il）”t
2?
="I
所以只要a是3或5的约数即可，即a=1,3,5.
例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程
2
mx-（m-1）x+1=0
有有理根，求m的值.
解一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数•令
22
△=（m-1）-4m=n,
其中n是非负整数，于是
22
m-6m+1=n,
所以（m-3）2-n2=8,
（m-3+n）（m-3-n）=8.
由于m-3+nAm-3-n,并且
（m-3+n）+（m-3-n）=2（m-3）
是偶数，所以m-3+n与m-3-n同奇偶，所以
Jzu-3+n=4?
zn-3+n=--2?
［：
n-3-n=2s（
tn・3-n=.
L
in—5j
m=0・”士
听以*
1〔皆去J■
n=L
L
n=l
L
所以=D这时方程的勸介税为：
・,
说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.
例4关于x的方程
ax2+2（a-3）x+（a-2）=0
至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.
解当a=0时，原方程变成-6x-2=0,无整数解.
当a工0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式
2
△=4（a-3）-4a（a-2）=4（9-4a）
为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令
9-4a=n2，则n是正奇数，
冃详3（否I服=0）.折加=啤.由求龍外弍舒
编-9±h3+n
所臥也亠_[+-I+
要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1,从而a=2.要使X2为整数，即n-3|4,n可取1,5,7,从而a=2，-4,-10.
综上所述，a的值为2,-4,-10.
说明本题是前面两种方法的“综合"•既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候,往往是几种方法一同使用.
例5已知关于x的方程
2
x+（a-6）x+a=0
的两根都是整数，求a的值.
解设两个根为X1>X2，由韦达定理得
从上面两式中消去a得
X1X2+X1+X2=6,
所以（x1+1）（x2+1）=7,
臥以
所以a=xiX2=0或16.
说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于Xi,X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.
例6求所有有理数r，使得方程
2
rx+（r+1）x+（r-1）=0
的所有根是整数.
分析首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时,是关于x的一次方程；r工0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效•可用韦达定理，先把这个有理数r消去.
解当r=0时，原方程为x-仁0,所以x=1.
当r工0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为Xi，X2，且Xi>X2，则
消去r得
XiX2-xi-X2=2,
所以（X1-1）（X2-1）=3.
Vi£一九
祈以
综匕祈述，当「=J・队闻，方秽箭所有眾鄆杲琴敎
X的一
例7已知a是正整数，且使得关于元二次方程
2
ax+2（2a-1）x+4（a-3）=0
至少有一个整数根，求a的值.
解将原方程变形为
（x+2）2a=2（x+6）.
显然x+2工0,于是
2（x*6）
由于a是正整数，所以a>1,即
型十勺
〔“卽
所以x2+2x-8W0,
（x+4）（x-2）<0,
所以-4Wx<2（x丰-2）.
当x=-4,-3,-1,0,1,2时，得a的值为
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4,2;当a=3,6,10时，方程只有一个整数根.有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解.
例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根X1,X21古》0*xjxj>0,
（0求iiL冷弋比^3（2）求证：
b-1（3）求b,c的所有可能的值.
解
（1）由X1X2>0知，X1与X2同号.若X1>0,则X2>0,
这时b=Hi-丽丸吒0・A睫JS，所叽0,同舞可证）；K山
（2）由⑴知，XiV0,X2v0,所以xi<-1,-1.由韦达定理
c-（b-1）=x1X2+Xi+X2+1
=（x1+1）（x2+1）>0,所以c>b-1.
同理有
b-〔点-1）=+1
=（W1+0g；知）>D.
所以c所以b-1⑶由⑵可知，b与c的关系有如下三种情
况:
（i）c=b+1.由韦达定理知
X1X2=-（X1+X2）+1,
所以（x1+1）（x2+1）=2,
‘野十1二-I,K|+1=
解得X1+X2=-5,xx=6,所以b=5,c=6.
（ii）c=b•由韦达定理知
XiX2=-（Xi+X2）,
所以（Xi+1）（X2+1）=1,
所以Xi=X2=-2,从而b=4,c=4.
（iii）c=b
-1.由韦达定理知
-R；-Mj）-Xt•xi-It
所以
G；iLGJ
解得狀；+衍=5中；=&所以b",
综上所述，共有三组解：
（b,c）=（5,6）,（4，4），（6，5）.
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