含参数的一元二次方程的整数解问题.docx

1、含参数的一元二次方程的整数解问题含参数的一元二次方程的整数 解问题第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (aO) 的实根情况，可以用判别式A =b2-4ac来判别， 但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判 断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的 方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经 常要用到一些整除性的性质本讲结合例题来讲解一些主要的方法.例1 m是什么整数时，方程(m2-l) x2-6 (3m-l) x+72=0有两个不相等的正整数根.解法 1 首先，hMho,皿工 + 1. A =36 (m-3)2 0,所以m3.用求根公式可得12m

2、 +1由于Xi, X2是正整数，所以m-l=l, 2, 3, 6, m+l=l, 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2这时Xi=6, X2=4解法2首先，朋-1工0, m 1 设两个不 相等的正整数根为X1 , X2,则由根与系数的关系 知72所以 m-仁2, 3，4，6，8，9，12，18，24, 36， 72，即卩m= 3, 4，5，7，9，10，13，19，25，37，73,只有m=4, 9, 25才有可能，即m= 2, 3, 5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正 整数根.说明一般来说，可以先把方程的根求出来 （如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以 及整除性理论，就比较

3、容易求解问题，解法1就 是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到 两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如 此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程2 2 2 2a x -(3a -8a)x + 2a -13a + 15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求 a的值.分析“至少有一个整数根”应分两种情况： 一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根， 一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它 的两个根解出来.解因为az0,所以- 3a) i 3a)a -4?(2aa-13a + 15)-宓-8a) i (aa + 2a) = 2?所以肿 fl为r 和一 Qd 十 2il) ”

4、t2? = I所以只要a是3或5的约数即可，即a=1, 3, 5.例3设m是不为零的整数，关于x的二次 方程2mx-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m的值.解一个整系数的一元二次方程有有理根, 那么它的判别式一定是完全平方数令2 2 =(m-1) -4m= n ,其中n是非负整数，于是2 2m-6m+1= n,所以(m-3)2 - n2=8,(m-3 + n)(m-3-n) = 8.由于m-3 + nAm-3-n,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3+ n与m-3-n同奇偶，所以Jzu - 3+n = 4?zn - 3+n=- -2?：n - 3-n

5、= 2 s (tn 3 - n = .Lin 5 jm = 0 ”士听以 *1 皆去J n = LLn = lL所以= D这时方程的勸介税为：,说明一个整系数的一元二次方程如果有整 数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方 数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段 可以将问题解决.例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0,无整数 解.当a工0时，方程是一元二次方程，它至少 有一个整数根，说明判别式2 = 4(a-3) -4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9

6、-4a=n2，则n是正奇数，冃详3(否I服=0).折加=啤.由求龍外弍舒编-9 h 3 + n所臥 也亠_ + - I +要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1, 从而a=2.要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取1, 5, 7,从而 a=2，-4, -10.综上所述，a的值为2, -4, -10.说明本题是前面两种方法的“综合既 要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候, 往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程2x + (a -6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解 设两个根为X1 X2，由韦达定理得从上面两式中消去a得X1X2+X1+X2 = 6,所以(x 1 + 1

7、)(x 2+1)=7 ,臥以所以 a=xiX2=0 或 16.说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得 到的是关于Xi, X2的不定方程，而求解这个对称 的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理数r，使得方程2rx +(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整数.分析 首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时, 是关于x的一次方程；r工0时，是关于x的二 次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难， 这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏 效可用韦达定理，先把这个有理数 r消去.解 当r=0时，原方程为x-仁0,所以x=1.当r工0时，原方程是关于x的一元二次方 程，设它的两个整数根为Xi，X

8、2，且XiX2，则消去r得XiX2-xi-X2 = 2,所以（X1-1）（X 2-1）=3 .Vi 一九祈以综匕祈述，当= J队闻，方秽箭所有眾鄆杲琴敎X的一例7已知a是正整数，且使得关于 元二次方程2ax + 2(2a-1)x + 4(a -3)=0至少有一个整数根，求a的值.解将原方程变形为(x + 2)2a= 2(x + 6).显然x + 2工0,于是2(x * 6)由于a是正整数，所以a 1,即型十勺“卽所以 x2+2x-8W 0,(x + 4)(x -2) 0,所以-4W x0,(0 求iiL 冷弋比 3u. n；Wg, Ejo(2)求证：b-1 c0知，X1与X2同号.若X10,

9、则 X2 0,这时b = Hi-丽丸吒0A睫JS，所叽0,同舞可证)；K山(2)由知，XiV0, X2v0,所以 xi0, 所以c b-1.同理有b -点-1) = + 1=(W1 + 0 g；知) D.所以c b+1,所以 b -1 c b+1.由 可知，b与c的关系有如下三种情况:(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(x 1 + 1)(x 2 + 1)=2 ,野十1 二-I, K| + 1 =解得 X1 + X2=-5, xx=6,所以 b=5, c=6.(ii)c=b 由韦达定理知XiX2=-(X i + X2),所以(X i + 1)(X 2+ 1)=1 ,所以 Xi=X2=-2,从而 b=4, c=4.(iii)c=b-1.由韦达定理知-R； - Mj) -Xt xi - It所以G； i L GJ解得狀；+衍=5 中；=&所以b,综上所述，共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4，4)，(6，5).