时针分针夹角问题解答.docx

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时针分针夹角问题解答

有关时针分针夹角的计算

钟表上的时针、分针你追我赶，始终围绕中心按各自恒定的速度旋转，两针所成的夹角也随着时间的变化而变化。

如何来计算两针的夹角呢？

通常我们以两针各自正对钟表面上“12”时为起始位置，以所计算角度时刻时针、分针暂停的位置为终止位置，两针各自旋转的角度之差为两针的夹角。

由于我们常说的角都是小于180度的，当两针夹角大于180度时，应用周角360度减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

时针旋转一圈是12小时，从起始位置旋转到终止位置旋转了360度，1小时旋转了30度，1分钟旋转了0。

5度；分针旋转一圈是60分钟，从起始位置旋转到终止位置是360度，1分钟旋转了6度。

一、整点两针夹角的计算

例12点整时针分的夹角是多少度？

分析：

如图1，时针从0点旋转到2点，旋转了2×30°=60°；分针没有旋转，从0分到0分，转了0°。

所以两针的夹角为60°-0°=60°。

解：

2×30°-0×6°=60°

练习1：

6点整时，时针分针的夹角是多少度？

8点整呢？

（提示：

当所计算的夹角大于180度时，应用周角360度

减去两针所所旋转的夹角差为两针的夹角。

）

二、非整点两针夹角的计算

例2计算3点40分时两针的夹角。

分析：

如图2所示，3点40分时，时针以正对0点为始边，以2以到3点40分时为终边，旋转角度为：

3×30°＋40×0.5°=110°；分针以正对0分为始边，以旋转到40分时为终边，旋转角度为：

40×6°=240°。

分针旋转角度大于时针旋转角度，所以两针夹角为240°-110°=130度。

解：

如图2所示，时针旋转角度为：

3×30°＋40×0.5°=110°

分针旋转角度为：

40×6°=240°

两针夹角为240°-110°=130°

练习2：

计算10点过5分时两针的夹角。

三、已知两针的夹角，求时间

例34点过多少时，时针与分针互相垂直？

分析：

存在两种情况：

（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，时针分针互相垂直；

（2）当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，时针分针互相垂直。

解：

（1）当时针旋转角度大于分针旋转角度时，如图3，设4点过x分钟时两针互相垂直。

由题得：

（4×30+0.5x）－6x=90

120+0.5x－6x=90

5.5x=30

x=60/11

（2）当分针旋转角度大于时针旋转角度时，如图4，设4点过y分钟时两针互相垂直。

由题得：

6y－（4×30＋0.5y）=90

6y－120－0.5y=90

5.5y=210

y=420/11

答：

4点过5分或4点38分时，时针与分针互相垂直。

练习3：

11点过多少分时，时针与分针的夹角为60度？

（提示：

也存在两种情况，一种是时针比分针旋转角度大60度，另一种是时针比分针旋转角度大360°－60°=300°）

四、时针与分针重合时的时间计算

时针与分针重合时，时针与分针旋转角度相等，因此，可列一元一次方程解决问题。

例45点过多少分钟时，时针与分针重合？

解：

设5点x分钟时，两针刚好重合。

由题得：

5×30－0。

5x=6x

5.5x=150

x=27

答：

5点过27分时，时针与分针重合。

六年级专题讲座（三）时钟问题

丹

    钟表是我们生活中重要的计时工具.钟面上的分针，时针都在连续不断的按规律转动着.时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.是特殊的,在圆周上的行程问题，如求分针时针重合，成角等有趣的问题.研究此类问题对提高思维能力很有益处。

为解好这类问题应掌握以下基础知识.即特殊常用关系式.

讲座：

    1．钟面的一周分为60格,每格为6°.每个数字间隔为5个格为30°.分针每分钟走一格,为6°.时针每分钟走

格.为0.5°.分针速度是时针的12倍，时针速度是分针的

.

    2．时针和分针在重合状态时，分针每走60÷（1－

）=65

（分）,再与时针重合一次.

    3.若在初始时刻两针相差的格数为a,分针在后，则后者赶上前者的时间为:

a÷（1－

）（分）

    4.两针垂直,表示它们所成最小角是90°.

例题：

现举几例阐述解题方法与思路.

例1现在是12点,分针与时针重合.问再过几分钟两针第一次重合?

解：

由上面给出的公式得:

  60÷（1－

）=65

（分）

答:

再过65

（分）两针重合

例2现在是3点，问什么时间时针与分针第一次重合？

分析:

3点时,分针指在12处，时针指在3处.分针在时针后5×3＝15（个）格.

答:

所求时刻为3点16

分。

例3．当5点08分时，求时针与分针所成角度

解：

5点时分针与时针成6×25=150°8分钟分针走了48°，时针走了48°×

=4°.

    所以此时分针多转过了48－4=44°。

两针成角为150－44=106°.

答：

5点08分时，时针与分针成106°.

例4：

在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？

解:

分两种情况进行讨论

　①若从时针到分针沿顺时针方向上成90°角时,如图:

    为达到两针成90°角,在这段时间，分针要比时针多走5（个）格，

    由上述公式得:

    5÷（1－

）=5

（分）

 ②若在顺时针方向上分针与时针成90°角：

    由于在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，成90°时只落后15个格，

    所以在这段时间，分针要比时针多走50-15=35（个）格，因此到达这一时刻分针应走

    35÷（1－

）=38

（分）

例5在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

分两种情况进行讨论.

 ①若分针与时针的夹角为180°角：

　　当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×

=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间分针要比时针多走45-30=15（个）格，

由公式得:

15÷（1－

）=16

（分）

 ②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：

    因为9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，

因此到达这一时刻所用的时间为

    45÷（1-

）=49

（分）

例6分针和时针在数字“12”的两边，时针在11和12之间，分针在12和1之间。

问再过多少分钟两针交换位置.

解：

两针交换位置表明：

分针转到原时针位置，时针转到原分针位置，两针合计转过了60格.所以经过了

    60÷（1+

）=55

（分）

答：

再过55

分两针交换位置.

例7. 小龙在7点与8点之间解了一道题.开始时,分针与时针正好在一条直线上，解完题时,两针正好重合，

问：

（1）小龙解题的起始时间？

（2）小龙解题共用了多少时间？

解：

要求出小龙解题共用了多少时间，必须先求出小龙解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻.

 ①小龙开始解题时的时刻：

    因为小龙开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×

=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间分针要比时针多走5个格，由公式得：

5÷（1－

）=5

（分）

    所以开始时间为7点5

分

 ②小龙解题结束时的时刻：

    因为小龙解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要比时针多走35个格，因此这段时间为：

    35÷（1－

）=38

（分）

    因此小龙解题结束时间为：

7点38

分.

　　这样小龙解题所用时间为：

38

－5

=32

（分）

答：

小龙开始解题时间是7点5

分，于7点38

分结束，共用了32

分钟.

例8一时钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？

解：

由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：

　　①先设此时是4点多.如图（a）

    4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，相当由于分针到6的格数等于时针到4的格数，所以时针与分针在这段时间共走30格.又由于

　　②再设此时是5点多.如图（b）

    5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，同上面的分析一样，时针与分针在这段时间共走25格.

    因此，从5点整到图（b）钟面上这种状态共用了25÷（1+

）=23

（分）

    所以此时是5点23

分

答：

此时是4点27

分也可是5点23

分.

例9：

小的表比标准钟慢两分，小的表比标准钟快两分。

8点时两人把表对准。

问:

小的表是12点时，标准时间是几点几分？

小的表是几点几分？

解：

由已知条件得：

小的表每小时走58分，小的表每小时走62分.

    小的表，标准钟，小的表的速度比为58﹕60﹕62.

    由8点到12点，小的表走了240分，则标准钟应走240×

=248

分，

    小的表应走240×

=256

分。

答：

标准时间是8点8

分.小的表是8点16

分.

习题：

*

1、1点到2点之间，时针与分针在什么时候重合？

2、11点到12点之间，时针与分针在什么时候重合？

3、在5点到6点之间，时针与分针何时成直角？

4、在4点到5点之间时针与分针何时成一条直线？

5、在3点到4点之间时针与分针何时成60°角？

6、观察在镜面反射后的钟面的指针位置，并说出：

（1）两钟面所表示的实际时刻；

（2）两钟面的时间差.

7、钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分.星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。

钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？

8、小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢2分。

有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6点40分起床，于是他就将闹钟的铃定在了6点40分.这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？

**

1.下面是某火车站列车发车及到达终点站的时刻表，你能按照规律：

（1）求出第六次列车起点站发车时刻和到达终点站的时刻？

（2）计算出这条线路一列火车行驶全程的时间？

2.一手表每小时慢4分钟，下午4点整将手表对准，当这只手表的指针指向晚9点整的时候，实际的时刻应是几点几分？

3.钟面上7点整.

（1）再过多少分钟时针与分钟首次重合？

（2）过多少分钟时针与分针首次成平角？

***

某钟面的指针指在9点多的哪一时刻时，时针与分针指的位置与12的距离相等？

*

1、1点

分

2、12点

3、5点

分与5点

分

4、4点

分

5、3点

分或3点

分

6.（l）7时55分，5时40分.

（2）2小时15分钟.

    观察两图，由镜面反射原理知：

（l）第一个镜面（如图甲）表示的时刻为7时55分；第二个钟面（如图乙）表示的时刻为5时40分.

（2）它们的时间差为：

2小时15分钟.

7、11点35分

8、7点整

**

1.

（1）10点20分.12点25分.   

（2）2小时5分钟.

    观察列车时刻表：

第一次列车与第二次列车，第二次列车与第三次列车发车时刻相隔时间均为45分钟.第一次列车、第二次列车、第三次列车起点发车时刻与终点到达时刻相隔时间均为2小时5分钟，综上找到规律：

相邻两次列车分发车时刻间隔45分钟，每次列车行驶全程时间需2小时5分钟，得出结论：

第六次列车发车时刻为：

10点20分，到达终点时刻为12点25分，这条线路火车行驶全程的时间为2小时5分钟.

2.9时21

分.

    设时钟每小时转过的1大格为路程的单位，则手表的转速为每小时：

=

格，手表从4点到9点转了5个格，实际走了5÷

=5

（小时）=5小时21

分所以实际时间是9时21

分.

3、

（1）38

分钟  

（2）5

分钟

    设时针一小时转动的1大格为路程的单位，则时针的转速为：

每分钟

格，分钟的转速为：

每分钟

格。

    7点整时，时针与分针相距7格，首次重合时分针比时针多走7格，则两针首次重合时经过的时间为：

    当时针与分针首次成平角时，分针比时针只需多走1个格，所以两针首次成平角时经过的时间为：

***

    9点13

分

    因为9点整时两针相隔15格。

设时针转了x个格，则分针转12x个格，由它们与“12”等距，

    所以15－x=12x

      解出x=

  12x=

=13

，所以此时是9点13

分.