高考理科数学全国卷1含答案A4打印版.docx
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高考理科数学全国卷1含答案A4打印版
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试•全国I卷
理科数学
本试卷共6页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码黏贴在答题卡上的指定位优。
2.选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：
用黑包签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若Z=l+i，则产―2z卜（）
A.OB.1
C.x/2D.2
2.设集合从={%卜2—4W0},3={x|2x+a砌,且从劣3={巾240,则“=（）
A.-4B.-2
C.2D.4
3
.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的而积，则其侧而三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
V5-1r>5-1
42
75+1n+1
4.已知A为抛物线。
：
）/=2〃式（〃>0）上一点，点4到。
的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,贝！
I〃=（）
A.2B.3
C.6D.9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率），和温度x（单位：
C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（n,>'）（/=L2,…,20）得到下而的散点图：
100%
80^
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的
回归方程类型的是
A.
B.y=a+bx1
D.y=a+b\nx
y=a+bx
C.y=a+bel
6.函数/（司二--2丁的图像在点（1,7（I））处的切线方程为
B.
y=-2x+l
D.y=2x+1
8.x+—（x+y）'的展开式中Vy3的系数为
10.已知A,B,。
为球。
的球面上的三个点，。
。
1为AM3c的外接圆，若的面积为4兀,
AB=BC=AC=OOt,则球。
的表面积为（）
A.64兀B.48兀
C.36兀D.32兀
11.已知。
M:
/+y2—2x—2），—2=0,直线/:
2_r+y+2=0,P为/上的动点.过点P作。
M的切线Q4,PB,切点为A,B,当回最小时，直线AB的方程为（）
B.2x+y-1=0
D.2x+y+l=0
B.a<2b
D.
A.2X一了一1=0
C.2x-y+l=0
12.若2°+log2a=48+210g4b则
A.ci>2b
C.a>h2二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
2x+y-2W0,•r
13.若x,y满足约束条件,x-y-1^0,则z=x+ly的最大值为.
y+120,
14.设“，力为单位向量，且卜+4=1,则4=.
，2
15.已知产为双曲线C:
*•一今=l（a>0,加>0）的右焦点，A为。
的右顶点，B为C上的点、,且斯垂直于x轴，若钻的斜率为3,则。
的离心率为.
16.如图，在三棱锥P—ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=>/3,ABIAC,AB1AD,
Z.CAE=30,则cosZFC8=.
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（-）必考题：
共60分.
17.（12分）
设｛““｝是公比不为1的等比数列，4为〃2，%的等差中项.
（1）求｛”“｝的公比：
（2）若4=1,求数列｛〃（｝的前〃项和.
18.（12分）
如图，。
为圆锥的顶点，。
是圆锥底面的圆心，AE为底而直径,AE=AD.AA8C是底面的内接正三角形，P为DO上一点,PO=DO.
6
（1）证明：
尸A_L平面P8C：
（2）求二面角8—PC—E的余弦值.
19.（12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为2
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率：
（3）求丙最终获胜的概率.
20.（12分）
2
已知A,5分别为椭圆上：
、+丁=1（。
＞1）的左、右顶点，G为E上顶点，9=8.
P为直线x=6上的动点，Q4与七的另一交点为C,总与上的另一交点为。
.
（1）求七的方程：
（2）证明：
直线8过定点.
21.（12分）
已知函数/（x）=/+T2—乩
（1）当。
=1时，讨论/（x）的单调性；
（2）当xZO时，求〃的取值范围.
乙
（-）选考题：
共10分，请考生在22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题计分.
22.［选修4—4：
坐标系与参数方程］（10分）
尸上
在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为卜="s'%/为参数），以坐标原点为极点，xy=sin/
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4"cos£-16"sin8+3=0.
（i）当％=1时，G是什么曲线？
（2）当攵=4时，求G与C的公共点的直角坐标.
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
已知函数f（x）=|3x+l卜2k-1卜
（1）画出y="X）的图像：
（2）求不等式〃x）＞/（x+l）的解集.
2020年普通高等学校招生全国统一考试•全国I卷
理科数学答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】由题意首先求得z?
-2z的值，然后计算其模即可.
由题意可得：
z2=（1+/）2=2/-,则d—2z=2i-2（l+i）=—2.故卜2—2z卜卜2|=2.
故选：
D.
【考点】复数的运算法则，复数的模的求解
2.【答案】B
【解析】由题意首先求得集合A,然后结合交集的结果得到关于〃的方程，求解方程即可
确定实数〃的
值.
求解二次不等式/-4忘0可得：
A={W-2《xW2},求解一次不等式2x+〃W0可得：
•
c/a
B=\x启——，・
2
由于An8={x|—2Wx^l},故：
一二1，解得：
〃=—2.
2
故选：
B.
【考点】交集的运算，不等式的解法
3.【答案】C
【解析】设8=a,PE=b,利用得到关于〃，匕的方程，解方程即可得到2
答案.
如图，设8=a,PE=b,则PO^PEjE?
={1.由题意夕。
2=:
岫，即b2--=l-ab,化简得4|‘使）-2--1=0,解得2=匕正（负值舍去）.
42\a）aa4
故选：
C.
【考点】正四棱锥的概念及其有关计算
4.【答案】C
【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
设抛物线的焦点为尸，由抛物线的定义知|AF|=/+C=12，即12=9+匕，解得〃=6.
22
故选：
C.
【考点】利用抛物线的定义计算焦半径
5.【答案】D
【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+〃lnx.
故选：
D.
【考点】函数模型的选择，散点图的分布
6.【答案】B
【解析】求得函数），=//）的导数/‘（X）,计算出了⑴和广⑴的值，可得出所求切线的点斜式方程，化筒
即可.
•,•/（a）=/-2a\:
.f（x）=4x3-6x2,=//
（1）=-2>因此，所求切线的方程为
y+1=-2（x—1）,即y=-2x+1.
故选：
B.
【考点】利用导数求解函图象的切线方程
7.【答案】C
（47r、47r47r'
【解析】由图可得：
函数图象过点-L,o,即可得到cos=0,结合-2二0
V/[96/19,
是函数“X）
图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到-寺0+看=-1，即可求得3=再利用三角函
数周期公式即
可得解.
由图可得：
函数图象过点（-?
'°卜将它代入函数/（X）可得：
cos「m3+、|=0.
又j是函数/（X）图象与X轴负半轴的第一个交点，所以-5@+看=-解得：
3=].所以函数/（”的最小正周期为7=二=三=3.
26y93
2
故选：
C.
【考点】三角函数的性质及转化，三角函数周期公式
8.【答案】C
【解析】求得（x+y）5展开式的通项公式为7；7=仁产丁（reN且启5）,即可求得
与（x+»
展开式的乘积为C06Ty或形式，对〃分别赋值为3,1即可求得工3），3的系数，问题
表示为：
22
M*=】G产y或二=二仁产,了=C#jy-2在=c06-y中，令r=3,
XA
可得：
22
xT4=C1x3y3,该项中一y3的系数为10,在上九=C04-y2中，令r=],可得：
=C>5/，XX-
该项
中的系数为5.所以的系数为10+5=15.
故选:
C
【考点】二项式定理及其展开式的通项公式，赋值法
9.【答案】A
【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosc的一元二次方程，求解得出cose,再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
,2
3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,即3cos2c-4cosa-4=0,解得cosa=—
3
或cosa=2（舍去），又•.・&€（（）,幻，sina=\/l-cos'a--.
3
故选:
A.
【考点】三角恒等变换，同角间的三角函数关系求值
10.【答案】A
【解析】由已知可得等边AMBC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO|的值，根据球截面性质，求出
球的半径，即可得出结论.
设圆。
1半径为『，球的半径为/?
依题意，得加产=44，.7=2,由正弦定理可得AB=2rsin60=2储，:
.OOX=AB=2^,根据圆截而性质ORJ.平面ABC,:
.OOX±O,A.R=OA=yjoOc+O.A2=^OO:
+r=4,二球。
的表面积5=4〃/^=644.故选：
A.
【考点】球的表而积，应用球的截面性质
11.【答案】D
【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A，尸，3,A/共圆，且
根据
|PM"A3|=2S△加=2|户川可知，当直线时，叫最小,求出以M尸为直径的圆的方程，根
据圆系的知识即可求出直线的方程.
圆的方程可化为（X-1）2+（〉，-1）2=4,点M到直线/的距离为dJ：
N=氏2,所以
直线/与圆相离.依圆的知识可知，四点A,P,3,V四点共圆，且
所以伊刈.卜身=25,"加=2x,x|PA|x|am|=2|尸A|,而1PAl=，当直线A/P_L/时,
I叽N，
1PAimin=1，此时用最小.二.MRyT"]/:
。
即由'=1'+]解得,222[2x+y+2=0
x=-\
.y=°,
所以以MP为直径的圆的方程为（x-l）（x+l）+y（y—l）=O,KPx2+/-y-1=0,两圆的方程相减可得：
2x+），+l=0,即为直线钻的方程.
故选：
D.
【考点】直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，圆的几何性质的应用
12.【答案】B
【解析】设/3=2'+噬2X，利用作差法结合/（X）的单调性即可得到答案.
设/3=2'+1理2'，则/（“为增函数，因为2a+log2〃=4'+21og"=22〃+log2〃，
所以/（«）-f（2b）=2a+log2a-（22/1+log,2b）=22b+log2b-（2^+log22/?
）=log2-=-l<0,
2
所以f（〃）V/（2b）,所以aV3.
/（a）一/（⑹=2"+log,〃一笆+log,b1）=2^+log,b-（2//+log,b1）=2?
。
一2川一log?
〃，
当8=1时，/（67）-/（/?
2）=2>O,此时/<4）>/（〃），有a>〃.
当〃=2时，/（.）—/仅2）=-1<0,此时/（。
）<7（〃），有所以C、D错误.
故选：
B.
【考点】函数与方程的综合应用，构造函数，利用函数的单调性比较大小
二、填空题
13.【答案】1
【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.绘制不等式组表示的平面区域，如图所示，
目标函数z=x+7y即：
y=-其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在），轴
上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程:
A的坐标为：
A（L0）,据此可知目标函数的最大值为：
znux=l+7xO=l.故答案为：
1.
14.【答案】
【解析】整理已知可得：
|a+B=所,再利用B为单位向量即可求得2>B=-1,对一―4变形可得：
―/；卜湄「£二邛」，问题得解.
因为落分为单位向量,所以同=恸=1,
所以a+b=+=而+22ab=-\.
所以斤*J（a叫2二混=6
故答案为：
耳.
【考点】向量模的计算公式及转化
15.【答案】2
【解析】根据双曲线的几何性质可知，忸F|=!
，|AF卜c-a,即可根据斜率列出等式求解即
可.
依题可得,阴=3,W|BF|=—,|AF|=c-a,即」_=3,变形得d-/=3*-3.2,化\A1'|ac-a
简可得，/一女+2=0,解得e=2或e=l（舍去）.故答案为：
2.
【考点】双曲线的离心率的求法，双曲线的几何性质的应用
16.【答案】一,4
【解析】在/XACE中，利用余弦定理可求得CE,可得出CE,利用勾股定理计算出3C、BD,
可得出3尸，
然后在△8CF中利用余弦定理可求得cosNFCB的值.
•.•AB_LAC,AB=。
AC=1,由勾股定理得BC=Ja-Ta。
2=2,同理得80=",
：
.BF=BD=«,在△ACE中，AC=1,AE=AD=>/3,NG4E=30,
由余弦定理得CE2=AC2+A£2-2AC・AEcos30=1+3-2x1xTJx正=1,二6=。
七=1,2
在ABCF中，BC=2,BF=娓，CF=1,由余弦定理得
故答案为:
【考点】利用余弦定理解三角形
三、解答题
17.【答案】⑴-2
1一（1+3〃）（一2）”
（2）Sn=-
“9
【解析】
（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论.设｛4｝的公
比为q,4为
“2,处的等差中项，21=勺+%，”尸0,:
.q~+q—2=0,qh1,q=—2.
（2）由
（1）结合条件得出｛q｝的通项，根据｛〃4｝的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.设｛〃““｝
的前〃项和为S”，％=1,an=（—2）n,,
S”=1x1+2x（—2）+3x（一2『+…+〃（-2广，①
-2Sn=1x（-2）+2x（-2）2+3x（-2）3+l）（-2）n-，+//（-2/,②
①-②得，3S”=1+（-2）+（-2）2+…+（-2）2-〃（-2）"=1一2）〃（_2）"=>（""卜*,1-（-2）3
.S_1-（1+3〃）（-2）。
w9
【考点】等比数列通项公式基本量的计算，等差中项的性质，错位相减法求和
18.【答案】
（1）证明：
由题设，知为等边三角形，设AE=1,则。
。
=虫，2
CO=BO=-AE=-,所以PO=-DO=—，PC=>JPO2+OC2=—,22644
PB=ylPO,OB【=",又△A5C为等边三角形,则一竺=2。
4,所以ZM=正,4sin602
3
PA2+PB2=^=AB\则NAP3=90,所以E4,尸3,同理R4_LAC,
4
又PCCPB=P,所以平面必C.
⑵逆
5
【解析】
（1）要证明PAL平面依C,只需证明PAJ_PC即可.
由题设，知△以七为等边三角形，
设AE=1,则DO=—,CO=BO=-AE=-,所以PO=—DO=—,22264
PC^^PO1+OC1=—,4
PB=JPO、OB?
=此，又A45c为等边三角形，则一^_=2。
4,所以比4=走，4sin602
3
PA2+PB2=^=AB\
4
则NAP3=90,所以同理QALPC,又PCC\PB=P,所以R4,平面尸3c.
（2）以O为坐标原点，04为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平
而PCB的法
——♦—一〃・/>/
向量为〃，平而尸CE的法向量为山，利用公式cosVm,〃>=f^计算即可得到答案.
I〃IIm\
过。
作0V〃3c交AB于点N,因为POJ■平面A3C,以。
为坐标原点，04为x轴，ON为y
-1,0.0j
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
00^14140〕cf1pc-[1。
4）I44J[44J444}
PB=
itPC=0
“PB=O
得＜
—1
PE=—,0,-
2
孝），设平面PCB的一个法向量为1=（%,当，马），
一~一今一9二°,令覆=戊,得马=一1,y=0,所以方设平面PCE
〔F+居-口=0'7
的一个法向
量为碗=（和外，zj由
一“为二任2=0,令》］,得一一"
—2&—yf2Z2=0
力=岑，所以
，3\__
I^―,一无故cosVj"，n=3
〃iim।rzjnr
"x-=-
芷，设二面角二十二=1的大小为
【考点】线面垂直的证明，利用向量求二面角的大小
19.【答案】
（1）—
16
（2）-
4
（3）—
16
【解析】
（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率.
记事件m：
甲连胜四场，则p（m）=1）q.
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
记事件A为甲输，事件3为乙输，事件。
为丙输，则四局内结束比赛的概率为
Pf=P（ABAB）-FP（ACAC）+P（BCBC）+P（BABA）=4xfl^=；,所以，需要进行第五
场比赛的概率为p=l-〃=上.
4
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知
乙赢的概率
和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙嬴的概率.
记事件A为甲输，事件3为乙输，事件。
为丙输，记事件M:
甲赢，记事件N:
内盗，则甲赢
的基本事件包括：
BCBC、ABCBC.ACBCB.BABCC、BACBC、BCACB、BCABC.
/、1
BCBAC,所以，甲赢的概率为P（M）=-
+7x（；；.由对称性可知，乙高的概率
o7
和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为尸（N）=l-2x2=5
【考点】独立事件概率的计算
2
20.【答案】
（1）—+y=l
9.
（2）证明：
设P（6,y°）,则直线A尸的方程为：
"）.（工+3）,即：
）,，=包（》+3）.联立
6-（-3）9
直线”的方
fy=1
程与椭圆方程可得：
9，整理得：
（vo2+9）?
+6yo2x+9yo2-81=0,解得：
x=—3
产如+3）
或
X=Tyj+?
.将％=一戋t7代入直线尸鸟X+3）可得:
尸一^.所以点C的坐标为用+9汇+99',犷+9
—3yj+27,_^_].同理可得：
点D的坐标为/也二,二2二].直线CD的方程为：
加+9元+%>V+1为'+”
.故直线CD过定点（,（）,
由椭圆方程E：
=+y2=l（a>l）可得：
A（-a,0）,B（a,0）,G（0,l）.AG=（ml）,GB=（a,-l）.
2
/.AG・GB=a2-1=8,，42=9.，椭圆方程为:
—+y2=1.
9.
（2）设P（6,y0）,可得直线AP的方程为：
y=^（x+3）,联立直线AP的方程与椭圆方程即
即可表示出直线8的方程，
整理直线C。
的方程可得：
y=J邑鼠_口,命题得证..3（3-年”2）
证明：
设P（6,右），则直线AP的方程为：
），二上=（1・+3）,即：
y=X（x+3）.6-（-3）9
尸，1
一十厂=1
联立直线A尸的方程与椭圆方程可得：
9，整理得：
"和+3）
（为2+9）/+6%21+9城—81=0,
解得：
工=-3或八・=匚华卫.
将％=代入直线）,吟仆+3）
可得：
>'=—岂•所以点。
的坐标为;二W上三，2气
汇+9V3丁+9%-+9
3片-3]_8/
整理可得：
同理可得：
点。
的坐标为也二2,学_.
.3y；_3
6（3-端*肃+]故直线CO过定点（/0
【考点】椭圆的简单性质，方程思想
21.【答案】
（1）当>w（-oo,0）时,/,（a）<0,f（x）单调递减,当xe（0,+8）时，f,（x）>0,f（x）单调递
增.
⑵[上+8]
L4J
【解析】
（1）由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性
即可.
当〃=1时，f（x）=/+/
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