高考理科数学全国卷1含答案A4打印版.docx

1、高考理科数学全国卷1含答案A4打印版绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷理科数学本试卷共6页，23题(含选考题).全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码黏贴 在答题卡上的指定位优。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑包签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷，草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

2、答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.若Z = l + i，则产2z卜 ()A.O B. 1C. x/2 D.22.设集合从=%卜24W0, 3 = x|2x+a砌,且从劣3 = 巾240,则“=( )A. -4 B. -2C.2 D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个 正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一 个侧面三角形的而积，则其侧而三角形底边上的高与

3、底面正方形 的边长的比值为()V5-1 r 5-14 275 + 1 n +14.已知A为抛物线。：)/=2式(0)上一点，点4到。的焦点的距离为12,到y轴的距离为9, 贝！I = ()A.2 B.3C.6 D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率)，和温度x (单位：C)的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(n, )(/= L2,20)得到下而的散点 图：100%80由此散点图，在10至40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度X的回归方程类型的是A.B. y = a + bx1D. y = a + bnxy = a + bxC. y

4、= a + bel6.函数/(司二-2丁的图像在点(1, 7(I)处的切线方程为B.y = -2x + lD. y = 2x +18. x+ (x + y)的展开式中Vy3的系数为10.已知A, B,。为球。的球面上的三个点，。1为AM3c的外接圆，若的面积为4兀,AB = BC = AC = OOt,则球。的表面积为 （ ）A. 64兀 B. 48兀C. 36兀 D. 32兀11.已知。M:/+y22x 2），2 = 0,直线/:2_r + y + 2 = 0, P为/上的动点.过点P作。M 的切线Q4, PB,切点为A, B,当回最小时，直线AB的方程为（）B. 2x + y -1 = 0

5、D. 2x + y + l=0B. a2bC. ah2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2x+ y - 2W0, r13.若x , y满足约束条件, x-y-10,则z = x + ly的最大值为.y + 120,14.设“，力为单位向量，且卜+4=1,则4=.， 215.已知产为双曲线C:*一今= l（a0,加0）的右焦点，A为。的右顶点，B为C上的点、, 且斯垂直于x轴，若钻的斜率为3,则。的离心率为.16.如图，在三棱锥P ABC的平面展开图中，AC = 1, AB = AD = /3, ABI AC, AB1AD,Z.CAE = 30 ,则 cosZFC8=.三、解答题

6、：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个 试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题：共60分.17. （12 分）设“是公比不为1的等比数列，4为2，%的等差中项.（1）求”“的公比：（2）若4=1,求数列（的前项和.18. （12 分）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底而直 径,AE = AD.AA8C是底面的内接正三角形，P为DO上一点, PO = DO.6（1）证明：尸A_L平面P8C：（2）求二面角8 PC E的余弦值.19. （12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者

7、被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮 空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继 续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 2（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率：（3）求丙最终获胜的概率.20. （12分）2已知A, 5分别为椭圆上：、+ 丁=1（。1）的左、右顶点，G为E上顶点，9 = 8.P为直线x = 6上的动点，Q4与七的另一交点为C,总与上的另一交点为。.（1）求七的方程：（2）证明：直线8过定点.21. （12 分

8、）已知函数/（x） = /+T2乩（1）当。=1时，讨论/（x）的单调性；（2）当xZO时，求的取值范围.乙（-）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计 分.22.选修44：坐标系与参数方程（10分）尸 上在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为卜=s %/为参数），以坐标原点为极点，x y = sin /轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为4cos-16sin8 + 3 = 0.（i）当 = 1时，G是什么曲线？（2）当攵=4时，求G与C的公共点的直角坐标.23.选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数f（x） = |3x+l卜2k-1卜

9、（1）画出y = X）的图像：（2）求不等式x）/（x + l）的解集.2020年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷理科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】由题意首先求得z?-2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1 + /)2=2/-,则d2z = 2i - 2(l + i) = 2.故卜22z卜卜2| = 2.故选：D.【考点】复数的运算法则，复数的模的求解2.【答案】B【解析】由题意首先求得集合A, 然后结合交集的结果得到关于的方程，求解方程即可确定实数的值.求解二次不等式/-4忘0可得：A = W-2xW2,求解一次不等式2x+W0可得： , c / aB = x启

10、，2由于An8=x|2Wxl,故：一 二1，解得： =2.2故选：B.【考点】交集的运算，不等式的解法3.【答案】C【解析】设8 = a, PE=b,利用得到关于，匕的方程，解方程即可得到 2答案. 如图，设8 = a, PE = b ,则POPEjE? =1.由题意夕。2=:岫，即 b2- - = l-ab,化简得4|使)-2 -1 = 0,解得2 =匕正(负值舍去).42 a) a a 4故选：C.【考点】正四棱锥的概念及其有关计算4.【答案】C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.设抛物线的焦点为尸，由抛物线的定义知|AF| = /+C = 12，即12 = 9 +匕，解得 =6

11、.2 2故选：C.【考点】利用抛物线的定义计算焦半径5.【答案】D【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温 度x的回归方程类型的是y = a + lnx.故选：D.【考点】函数模型的选择，散点图的分布6.【答案】B【解析】求得函数），=/）的导数/（X）,计算出了和广的值，可得出所求切线的点斜 式方程，化筒即可.,/（a） = /-2a :.f（x） = 4x3-6x2, = /（1） = -2 因此，所求切线的方程为y +1 = -2（x 1）,即 y = -2x +1.故选：B.【考点】利用导数求解函图

12、象的切线方程7.【答案】C（47r 、 47r 47r 【解析】由图可得：函数图象过点-L,o ,即可得到cos =0,结合-2二0V / 9 6 / 19,是函数“X）图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到-寺0 +看=-1，即可求得3 = 再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点（-?卜将它代入函数/（X）可得：cosm3 +、| = 0.又j是函数/（X）图象与X轴负半轴的第一个交点，所以-5+看=-解得：3 =.所以函数/（”的最小正周期为7 =二=三=3.2 6y 9 32故选：C.【考点】三角函数的性质及转化，三角函数周期公式8.【答案】C【解析】求得（x + y）5展

13、开式的通项公式为7；7=仁产丁（reN且启5）,即可求得与（x+展开式的乘积为C06Ty或形式，对分别赋值为3, 1即可求得工3），3的系数，问题表示为：2 2M* =】G产y 或二=二仁产,了 =C# jy-2 在=c06-y 中，令r=3,X A可得：2 2xT4 = C1x3y3,该项中一y3的系数为10,在上九=C04-y2中，令r =,可得：= C5/， X X -该项中的系数为5.所以的系数为10+5 = 15 .故选:C【考点】二项式定理及其展开式的通项公式，赋值法9.【答案】A【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cosc的一元二次方程，求解得出cose , 再用同角

14、间的三角函数关系，即可得出结论., , 23cos2a-8cosa = 5 ,得6cos2 a-8cosa-8 = 0,即 3cos2 c-4cosa-4 = 0,解得cosa =3或 cosa = 2 （舍去），又.&（）,幻，sin a = /l-cos a -.3故选:A.【考点】三角恒等变换，同角间的三角函数关系求值10.【答案】A【解析】由已知可得等边AMBC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO|的值，根据球截面 性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆。1半径为，球的半径为/?,依题意，得加产=44，.7 = 2,由正弦定理可得 AB = 2rsin60 =2储，:.OOX=AB

15、= 2 ,根据圆截而性质 OR J.平面ABC , :.OOX O,A. R = OA = yjoOc+O.A2 = OO:+r = 4 ,二球。的表面积 5 = 4/ =644. 故选：A.【考点】球的表而积，应用球的截面性质11.【答案】D【解析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A，尸，3, A/共圆，且根据|PMA3| = 2S加=2|户川可知，当直线时，叫最小,求出以M尸为直径的圆 的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程.圆的方程可化为(X-1)2+(，-1)2=4,点M到直线/的距离为d J：N = 氏2 ,所以直线/与圆相离.依圆的知识可知，四点A, P, 3,

16、V四点共圆，且所以伊刈.卜身=25,加=2x,x|PA|x|am| = 2| 尸A|,而 1PAl = ，当直线 A/P_L/时,I叽N，1PAimin =1，此时用最小.二.MRyT/:。即由 =1 +解得, 2 2 2 2x + y + 2 = 0x = -.y= ,所以以MP为直径的圆的方程为(x - l)(x + l)+y(y l) = O, KPx2 + / - y-1 = 0 ,两圆的方程 相减可得：2x +)，+ l = 0,即为直线钻的方程.故选：D.【考点】直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，圆的几何性质的应用12.【答案】B【解析】设/3 = 2+噬2X，利用作差法结合/(X

17、)的单调性即可得到答案.设/3 = 2+1理2，则/(“为增函数，因为2a+log2 = 4+21og = 22 + log2，所以 /()-f (2b) = 2a+ log2a-(22/1 + log,2b) = 22b + log2b-(2 + log22/?) = log2- = -lO,此时/()，有a.当 =2时，/(.) /仅2) = -10,此时/(。)B = -1,对 一4变形可得：,/；卜湄二邛，问题得解.因为落分为单位向量,所以同=恸=1,所以 a + b = + =而 +2/3 , NG4E = 30 ,由余弦定理得CE2=AC2+A2-2ACAEcos30 = 1+ 3

18、-2x 1 xTJx正=1 ,二6 =。七=1, 2在 ABCF 中，BC = 2 , BF =娓，CF = 1 , 由余弦定理得故答案为:【考点】利用余弦定理解三角形三、解答题17.【答案】-21一 (1 + 3)(一 2)”(2)Sn = -“ 9【解析】(1)由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论.设4的公比为q, 4为“2, 处 的等差中项，21=勺 + %，”尸0, :.q +q 2 = 0 , q h1 , q = 2.(2)由(1)结合条件得出q的通项，根据4的通项公式特征，用错位相减法，即可求 出结论.设“的前项和为S”， = 1, an =(2)n ,S”

19、 = 1 x 1 + 2 x (2) + 3x (一2+ + (-2广，-2Sn = 1 x(-2) + 2 x(-2)2 + 3x (-2)3 + l)(-2)n-，+ /(-2/ ,-得，3S” =1+(-2) + (-2)2 + + (-2)2 - (-2) = 1一2) (_2) =(卜* , 1-(-2) 3. S _1-(1 + 3)(-2)。w 9【考点】等比数列通项公式基本量的计算，等差中项的性质，错位相减法求和18.【答案】（1）证明：由题设，知为等边三角形，设AE=1,则。=虫， 2CO = BO = -AE = -,所以 PO = - DO = ， PC = JPO2 +

20、OC2 =, 2 2 6 4 4PB = ylPO,OB【=,又A5C为等边三角形,则一竺 =2。4,所以ZM =正, 4 sin 60 23PA2 + PB2 = = AB 则 NAP3 = 90 ,所以 E4,尸3,同理 R4_LAC,4又PCCPB = P,所以平面必C.逆5【解析】（1）要证明PAL平面依C,只需证明PAJ_PC即可.由题设，知以七为等边三角形，设 AE = 1 ,则 DO = , CO = BO = -AE = -,所以 PO = DO = , 2 2 2 6 4PCPO1 +OC1 =, 4PB = JPO、OB?=此，又A45c为等边三角形，则一_ = 2。4,所

21、以比4 =走， 4 sin 60 23PA2 + PB2 = = AB4则NAP3 = 90 ,所以 同理 QALPC,又 PCCPB = P,所以 R4,平面尸3c.（2）以O为坐标原点，04为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平而PCB的法 一 /向量为，平而尸CE的法向量为山，利用公式cosVm, = f计算即可得到答案.I II m过。作0V 3c交AB于点N,因为POJ平面A3C,以。为坐标原点，04为x轴，ON为y-1,0.0 j轴建立如图所示的空间直角坐标系,001 4 1 40cf 1 pc- 1 。4 ) I 4 4 J 4 4 J 4 4 4 PB =i

22、t PC = 0“ PB = O得1,PE= ,0,-2孝），设平面PCB的一个法向量为1=（%,当，马），一 一今一 9二,令覆=戊,得马=一1, y=0,所以方设平面PCEF+居-口=0 7的一个法向量为碗=（和外，zj由一“为二任2=0,令,得一一2& yf2Z2 = 0力=岑，所以，3 _ _I ,一无故 cosVj，n = 3ii m rz jnrx -=-芷，设二面角二十二=1的大小为【考点】线面垂直的证明，利用向量求二面角的大小19.【答案】（1）16（2）-4（3）16【解析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率.记事件m：甲连胜四场，则p（m）=1）

23、 q.（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.记事件A为甲输，事件3为乙输，事件。为丙输，则四局内结束比赛的概率为Pf = P（ABAB）-FP（ACAC）+ P（BCBC）+ P（BABA）= 4xfl =；,所以，需要进行第五场比赛的概率为 p=l-=上.4（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙嬴的概率.记事件A为甲输，事件3为乙输，事件。为丙输，记事件M:甲赢，记事件N:内盗，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC. ACBCB . BAB

24、CC、BACBC、BCACB、BCABC ./ 、 1BCBAC ,所以，甲赢的概率为P（M）=-+ 7x（；.由对称性可知，乙高的概率o 7和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为尸(N)= l-2x2 = 5【考点】独立事件概率的计算220.【答案】(1) +y =l9.(2)证明：设P(6, y),则直线A尸的方程为：).(工+ 3),即：),，=包(+ 3) .联立6-(-3) 9直线”的方 f y = 1程与椭圆方程可得：9 ，整理得：(vo2+9)?+6yo2x + 9yo2-81 = 0,解得：x = 3产如+ 3)或X = Tyj + ? .将 = 一戋t7代入直线尸鸟X + 3)可

25、得:尸一 .所以点C的坐标为 用+9 汇+9 9 ,犷+93yj+27,_ .同理可得：点D的坐标为/也二,二2二.直线CD的方程为：加+9 元+% V+1 为 + ”.故直线CD过定点(,(),由椭圆方程E： = + y2=l(al)可得：A(-a,0) , B(a,0), G(0,l). AG = (ml), GB = (a,-l).2/. AGGB = a2 -1 = 8 ,，42 =9.，椭圆方程为:+ y2 = 1.9 .(2)设P(6, y0),可得直线AP的方程为：y = (x + 3),联立直线AP的方程与椭圆方程即即可表示出直线8的方程，整理直线C。的方程可得：y= J邑 鼠

26、_口,命题得证. . 3(3-年” 2)证明：设P(6,右)，则直线AP的方程为：)，二上=(1+ 3),即：y = X(x + 3). 6-(-3) 9尸 ，1一十 厂=1联立直线A尸的方程与椭圆方程可得：9 ，整理得：和+ 3)(为2+9)/+6%21+9城81 = 0,解得：工=-3或八=匚华卫.将 = 代入直线),吟仆+ 3)可得： = 岂所以点。的坐标为;二W上三，2气,汇+9 V 3丁+9 %-+93片-3_ 8/整理可得：同理可得：点。的坐标为也二2,学_ .3y；_36(3-端* 肃+ 故直线CO过定点(/0【考点】椭圆的简单性质，方程思想21.【答案】(1)当w(-oo,0)时,/,(a)0, f(x)单调递增.上+ 8L 4 J【解析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.当 =1 时，f (x) = / +/