中考数学压轴题汇编.docx
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中考数学压轴题汇编
压
轴
题
选
讲
中考倒数第三题
1.如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。
（1）求证：
CD为⊙0的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.
2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=
，BQ=3
．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=
，求四边形ACEB的周长．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：
直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：
AE=4：
5，BC=6，求⊙O的直径．
4、己知：
如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．
（1）求证：
∠DAC=∠DBA
（2）求证：
P处线段AF的中点
（3）若⊙O的半径为5，AF=
，求tan∠ABF的值．
5、已知：
如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是
上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．
（1）求证：
△ABD∽△ADE；
（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，
求证：
S△DAF＞S△BAE．
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC
于
点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：
EF是⊙O的切线；
（2）当∠B
AC＝60o时，DE与DF有何数量关系？
请说明理由；
（3）当AB＝5，BC＝6时，求tan∠BAC的值．
7、如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．
（1）求证：
直线AB是⊙O的切线．
（2）当AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．
9、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．
0．
求证：
AD是⊙O的切线；
1．如
果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长．
中考倒数第二题
1、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．
（参考数据：
992=9901，982=9604，972=9409，962=9216，952=9025）
2、如图，已知抛物线
与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线
，且与x轴交于点D，AO=1．
（1）填空：
b=_______。
c=_______，点B的坐标为（_______，_______）：
（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；
（3）探究：
在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
3、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：
每投入x万元，可获得利润
（万元）．当地政府拟在“十二?
五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：
在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：
每投入x万元，可获利润
（万元）
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
4、2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额
（万元）
5
2
4
补贴金额
（万元）
2
2.4
3.2
（1）分别求
和
的函数解析式；
（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.
5、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。
例如，对于函数
，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数
的零点。
己知函数
（
m为常数）。
（1）当
=0时，求该函数的零点；
（2）证明：
无论
取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为
和
，且
，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线
上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。
6、如图，已知二次函数y=﹣x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）﹣x1x2=10．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：
四边形PCOH的面积S有无最大值？
如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
8、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
9、如图9，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？
请说明理由．
10、如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（﹣2，﹣1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）当x为何值时，y＞0？
（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
11、如图，抛物线
1:
y=-x2平移得到抛物线
，且经过点O（0.0）和点A（4.0），
的顶点为点B，它的对称轴与
相交于点C,设
、
与BC围成的阴影部分面积为S,解答下列问题：
（1）求
表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标。
（2）求点C的坐标，并直接写出S的值。
（3）在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝
S？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。
12、已知A（1，0）、B（0，－1）、C（－1，2）、D（2，－1）、E（4，2）五个点，抛物线y＝a（x－1）2＋k（a＞0）经过其中的三个点．
（1）求证：
C、E两点不可能同时在抛物线y＝a（x－1）2＋k（a＞0）上；
（2）点A在抛物线y＝a（x－1）2＋k（a＞0）上吗？
为什么？
（3）求a和k的值．
13、已知二次函数
的图象经过点P（－2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设
在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，
能否作为同一个三角形三边的长？
请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，
一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由。
14、问题提出：
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：
就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a＋b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：
由图可知：
M＝a2＋b2，N＝2ab．
∴M－N＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2．
∵a≠b，∴（a－b）2＞0．
∴M－N＞0．
∴M＞N．
类别应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为
元/千克和
元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，吻哪种方法用绳最短？
哪种方法用绳最长？
请说明理由．
15、设函数
（
为实数）
（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像；
（2）根据所画图像，猜想出：
对任意实数
，函数的图像
都具有的特征，并给予证明；
（3）对任意负实数
，当
时，
随着
的增大而增大，试求出
的一个值
中考最后一题
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例1如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1
例2如图1，已知抛物线的方程C1：
（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M（2,2），求实数m的值；
（2）在
（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在
（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？
若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
例3如图1，抛物线经过点A（4，0）、B（1，0）、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
图1
1.1因动点产生的等腰三角形问题
例1如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1备用图
例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
例3如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
图1
1.3因动点产生的直角三角形问题
例1如图1，抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4,0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．
图1
例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1,k）和点B（－1,－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
例3如图1，已知A、B是线段MN上的两点，
，
，
．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设
．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：
△ABC的最大面积？
图1
1.4因动点产生的平行四边形问题
例1如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（0,1）、B（4,3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
例2将抛物线c1：
沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线c2的表达式；
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？
若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
图1
例3在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝
．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是
（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
1.5因动点产生的面积问题
例1如图1，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？
若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
图1
例2如图1，直线l经过点A（1，0），且与双曲线
（x＞0）交于点B（2，1）．过点
（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线
（x＞0）和
（x＜0）于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：
△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？
若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
图1
1.6因动点产生的相切问题
例1如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．
（1）当
时，求AP的长；
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在
（2）的条件下，当
时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
图1图2图3
例2如图1，A（－5,0），B（－3,0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q（4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
图1
第二部分函数图象中点的存在性问题
2.1由比例线段产生的函数关系问题
例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，
，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在
（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1图2图3
例2如图，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
2.2由面积产生的函数关系问题
例1如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数
的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数
的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？
此时四边形PDCQ的面积是多少？
图1
例2如图1，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1已知二次函数y＝a（x－m）2－a（x－m）（a、m为常数，且a≠0）．
（1）求证：
不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
例2已知抛物线yn＝－（x－an）2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1（bn－1,0）和An（bn,0）．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－（x－a1）2＋a1与x轴的交点为A0（0,0）和A1（b1,0），其他依此类推
（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（_____，_____）；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（_____，_____）（用含n的式子表示）；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；
（3）探究下列结论：
①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；
②是否存在经过点A（2,0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？
若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
备用图（仅供草稿使用）
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P（0,1）与Q（2,－3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：
△PAD∽△PEA．
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