与圆有关的位置关系.docx

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与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系

【基础知识回顾】

一、点与圆的位置关系：

1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d

则：

点P在圆内<＝>点P在圆上<＝>

点P在圆外<＝>

2、过三点的圆：

⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆

⑵三角形的外接圆：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：

三角形的交点，

外心的性质：

到相等

二、直线与圆的位置关系：

1、直线与圆的位置关系有种：

当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：

直线l与⊙O相交<＝>dr,直线l与⊙O相切<＝>dr

直线l与⊙O相离<＝>dr

3、切线的性质和判定：

⑴性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的

【提醒：

根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】

⑵判定定理：

经过半径的且这条半径的直线是圆的切线

【提醒：

在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】

4、切线长定理：

⑴切线长定义：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角

5、三角形的内切圆：

⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

⑵三角形内心的形成：

是三角形的交点

内心的性质：

到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分

【提醒：

三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r=】

一、圆和圆的位置关系：

圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距为d，则⊙O1与⊙O2外离<＝>⊙O1与⊙O2外切<＝>

⊙O1与⊙O2相交<＝>⊙O1与⊙O2内切<＝>

⊙O1与⊙O2内含<＝>

【提醒：

两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d=】

二、反证法：

假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法

【名师提醒：

反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】

【典型例题解析】

考点一：

切线的性质

例1（义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：

PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=

，求EF的长．

对应训练

1．（扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF=

，求DE的长．

考点二：

切线的判定

例2（自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

cm．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

对应训练

2．（玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

（1）求证：

AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=

，求⊙O的半径r．

考点三：

直线与圆、圆与圆的位置关系

例3（盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

例4（攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．外离B．外切C．相交D．内切

对应训练

3．（黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（　　）

A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

4．（东营）已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程

的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（　　）

A．内含B．内切C．相交D．外切

【聚焦中考】

1．（青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）

A．r＜6B．r=6C．r＞6D．r≥6

2．（烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（　　）

A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cm

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）

A．90°B．60°C．45°D．30°

4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是

的中点，则下列结论不成立的是（　　）

A．OC∥AEB．EC=BCC．∠DAE=∠ABED．AC⊥OE

5.（滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：

直线EF是⊙O的切线．

6．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，给出证明；若不是，说明理由．

7．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．

（1）求证：

∠A=2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

8．（东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°，求CE的长．

11．（烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为

上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．

（1）求证：

CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=

，求⊙O的半径．

12．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．

（1）求证：

四边形BEDF为矩形；

（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切B．相交C．相离D．不能确定

2．（云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=

cm，则两圆的位置关系是（　　）

A．相离B．外切C．相交D．内切

3．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（　　）

A．2B．3C．6D．12

4．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（　　）

A．外切B．相交C．内切D．内含

5．（重庆） 如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（　　）

A．18πcmB．16πcmC．20πcmD．24πcm

6．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）

A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直

B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点

C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点

D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

7．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）

A．AG=BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC=∠ADC

8．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（　　）

A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°

9．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形

2、填空题

10．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为外切

．

11．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是2＜r＜8

．

12．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=2或0

．

13．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B=60

度．

14．（天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°，则图中阴影部分的面积是π

．

15．（晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4

．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．

（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=；

（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=时，⊙C与直线AB相切．

16．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．

17．（南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为π

．

18．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．

三、解答题

19．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．

（1）求证：

AB=BC；

（2）求证：

四边形BOCD是菱形．

20．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．

（1）求∠BAC的度数；

（2）求证：

AD=CD．

21．（天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；

（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

22．（苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=

，求⊙O的半径．

23．（湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．

（1）求证：

PA为⊙O的切线；

（2）若OB=5，OP=

，求AC的长．

26．（新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．

（1）求证：

AB为⊙O的切线；

（2）求弦AC的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

27．（泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：

CD2=CA•CB；

（2）求证：

CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=

，求BE的长．