浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习.docx
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浙教版八年级上册+特殊三角形综合复习
初二几何第2单元疑难问题集锦
一．选择题（共10小题）
1．如图：
在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75B．100C．120D．125
2．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
3．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3
B．6C．3
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（ ）
A．23B．24C．25D．无答案
6．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等；
②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等；
④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等；
⑥有两条边相等．
A．6个B．5个C．4个D．3个
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：
①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
8．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105°B．110°C．100°D．120°
9．如图甲是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．42C．76D．72
10．如图，△ABC面积为1，第一次操作：
分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：
分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（ ）次操作．
A．7B．6C．5D．4
二．填空题（共9小题）
11．在正三角形△ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的P点有 个．
12．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以
厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒．（结果可含根号）．
14．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A= °．
15．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 时，△AOP为直角三角形．
16．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
18．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 ．
19．如图：
在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A= ．
三．解答题（共11小题）
20．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：
BE=CF．
21．已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
（1）求证：
BF=AC；
（2）求证：
CE=
BF．
22．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
23．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
说明：
AF⊥BE．
24．图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；
（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4．
25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．
26．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，若CD=12，AD=13．求阴影部分的面积．
27．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：
∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：
∠CEF=∠CFE．
28．如图所示，在△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．
（1）求证：
CD⊥AB；
（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．
29．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：
MD=MA．
30．已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF⊥CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：
AE=CG；
（2）直线AH⊥CE于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．
初二几何第2单元疑难问题集锦
一．选择题（共10小题）
1．如图：
在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（ ）
A．75B．100C．120D．125
【解答】解：
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=
∠ACB，∠ACF=
∠ACD，即∠ECF=
（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．
故选B．
2．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF=12，则△FBC的面积为（ ）
A．40B．46C．48D．50
【解答】解：
∵CE⊥BD，
∴∠BEF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴∠FAC=∠BAD=90°，∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
∵在△ABD和△ACF中
，
∴△ABD≌△ACF，
∴AD=AF，
∵AB=AC，D为AC中点，
∴AB=AC=2AD=2AF，
∵BF=AB+AF=12，
∴3AF=12，
∴AF=4，
∴AB=AC=2AF=8，
∴△FBC的面积是
×BF×AC=
×12×8=48，
故选C．
3．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（ ）
A．3
B．6C．3
D．
【解答】解：
∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，
∴AB=
=3
，∠CAB=45°，
∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，
∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=3
，
∴∠CAB′=90°，
∴B′C=
=3
，
故选：
A．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴
=
，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴
=
，
∵FC=FG，
∴
=
，
解得：
FC=
，
即CE的长为
．
故选：
A．
5．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么（m+n）2的值为（ ）
A．23B．24C．25D．无答案
【解答】解：
（m+n）2=m2+n2+2mn=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．
故选C．
6．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
①有两条直角边对应相等；
②有两个锐角对应相等；
③有斜边和一条直角边对应相等；
④有一条直角边和一个锐角相等；
⑤有斜边和一个锐角对应相等；
⑥有两条边相等．
A．6个B．5个C．4个D．3个
【解答】解：
①有两条直角边对应相等，可以利用SAS证明全等，正确；
②有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，错误；
③有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，正确；
④有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用AAS证明全等，错误；
⑤有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，正确；
⑥有两条边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，错误；
故选D．
7．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：
①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【解答】解：
由题意
，
①﹣②得2xy=45③，
∴2xy+4=49，
①+③得x2+2xy+y2=94，
∴（x+y）2=94，
∴①②③正确，④错误．
故选B
8．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105°B．110°C．100°D．120°
【解答】解：
设∠C′=α，∠B′=β，
∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠C′DB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，
∴∠ABC=∠C′DB=∠BAC+ACD=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．
则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，
∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．
故选：
B．
9．如图甲是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．42C．76D．72
【解答】解：
依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
解得x=13．
故“数学风车”的周长是：
（13+6）×4=76．
故选：
C．
10．如图，△ABC面积为1，第一次操作：
分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：
分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（ ）次操作．
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：
△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：
2（BB1=2BC），故面积比为1：
2，
∵△ABC面积为1，
∴S△A1B1B=2．
同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，
∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过4次操作．
故选D．
二．填空题（共9小题）
11．在正三角形△ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的P点有 10 个．
【解答】解：
（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，
故答案为：
10．
12．如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，AB=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是
．
【解答】解：
如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=2，∠BAC=45°，
∴BH=AB?
sin45°=2×
=
，
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=
．
故答案为：
．
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以
厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为
秒．（结果可含根号）．
【解答】解：
①如图1，当AD=BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：
AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+42，解得，BD=5（cm），
则t=
=
（秒）；
②如图2，当AB=BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：
AB=
=
=4
，则t=
=4（秒）；
③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t=
=
（秒）；
综上所述，t的值可以是：
；
故答案是：
14．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A= 50或90 °．
【解答】解：
当AP⊥ON时，∠APO=90°，则∠A=50°，
当PA⊥OA时，∠A=90°，
即当△AOP为直角三角形时，∠A=50或90°．
故答案为：
50或90．
15．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A= 60°或90° 时，△AOP为直角三角形．
【解答】解：
若∠APO是直角，则∠A=90°﹣∠AON=90°﹣30°=60°，
若∠APO是锐角，∵∠AON=30°是锐角，
∴∠A=90°，
综上所述，∠A=60°或90°．
故答案为：
60°或90°．
16．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 4
或4
或4 ．
【解答】解：
如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM=
=4
；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
∴AM=AO=4；
如图3，当∠ABM=90°时，
∵∠BOM=∠AOC=60°，
∴∠BMO=30°，
∴MO=2BO=2×4=8，
∴Rt△BOM中，BM=
=4
，
∴Rt△ABM中，AM=
=4
，
综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为4
或4
或4．
故答案为：
4
或4
或4．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
【解答】解：
当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：
∵∠C=90°，AO⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=5=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP=10=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：
5或10．
18．如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，则AB的长为 10 ．
【解答】解：
依题意知，BG=AF=DE=8，EF=FG=2
∴BF=BG﹣BF=6，
∴直角△ABF中，利用勾股定理得：
AB=
=
=10．
故答案是：
10．
19．如图：
在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A= 45° ．
【解答】解：
∵DE=EB
∴设∠BDE=∠ABD=x，
∴∠AED=∠A=2x，
∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，
在△ABC中，3x+3x+2x=180°，
解得x=22.5°．
∴∠A=2x=22.5°×2=45°．
故答案为：
45°．
三．解答题（共11小题）
20．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：
BE=CF．
【解答】解：
连接DB．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
∵∠DFC=∠DEB=90°，
在Rt△DCF和Rt△DBE中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．
21．已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．
（1）求证：
BF=AC；
（2）求证：
CE=
BF．
【解答】
（1）证明：
∵CD⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD．
∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS），
∴BF=AC．
（2）证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=
AC，
又∵BF=AC，
∴CE=
BF．
22．如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：
△ABC是等腰直角三角形，
理由是：
∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
23．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
说明：
AF⊥BE．
【解答】证明：
AF⊥BE，理由如下：
由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°，
∴EC=DC，BC=AC，又∠DCE=∠DCA=90°，
∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，
∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．
在△BEC和△ADC中
EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC，
∴△BEC≌△ADC（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC．
∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，
∴∠EBC+∠FDB=90°．
∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．
24．图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；
（2）如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4．
【解答】解：
（1）以AB为对角线的正
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