第五章曲线和曲面.docx
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第五章曲线和曲面
曲线和曲面
第一节Hermite多项式
1.1三次Hermite多项式
Hermite多项式是非常有用的曲线形式。
三次Hermite多项式就是一类常用的曲线，因为它们提供了对形状的局部控制，并且提供了C1连续性。
若给定参数方程f（t）在起点和终点的位置
、
和一阶导数
、
，则可以利用下式构造一个三次Hermite多项式：
式中式
（t）就是对于函数f（t）的Hermite插值多项式，矩阵H称为Hermite矩阵
绘制三次Hermite曲线，用户必须指定位置和导数。
一种方式是通过用户通过鼠标确定曲线的起点和终点的位置，并给出起点和终点的导数，可给出三次Hermite多项式所需的插值信息。
1.2Hermite曲线绘制的程序设计
根据给出的三次Hermite多项式，利用逐点绘制的方法即可实现三次Hermite多项式的绘制。
程序“Hermite”的设计步骤如下：
（1）创建工程名称为“Hermite”单文档应用程序框架。
（2）添加消息处理函数。
利用ClassWizard（类向导）为应用程序添加与菜单项相关的消息处理函数，ClassName栏中选择CHermiteView，根据表1建立如下的消息映射函数，ClassWizard会自动完成有关的函数声明。
表1菜单项的消息处理函数
标示符ID
消息
消息处理函数
CHermiteView
WM_LBUTTONDOWN
OnLButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）;
CHermiteView
WM_LBUTTONUP
OnLButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）;
CHermiteView
WM_MOUSEMOVE
OnMouseMove（UINTnFlags,CPointpoint）;
（3）添加函数。
在工程中添加应用函数的方法，这里先在HermiteView.h中声明需要使用的函数名称，然后再在HermiteView.cpp中定义此函数。
//HermiteView.h:
interfaceoftheCHermiteViewclass
//
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
constintN=3;//N次Hermite曲线
constintnpoints=50;//由npoints+1个点构成的折线逼近Hermite曲线
classPoint//二维平面点Point类
{
public:
doublex,y;//二维平面中的点坐标为双精度浮点小数
Point（）{x=0;y=0;};//构造函数
Point（double_x,double_y）{x=_x;y=_y;};//构造函数
Point（CPointp）{x=p.x;y=p.y;};//构造函数
inlinePointoperator=（Pointp）{x=p.x;y=p.y;return（*this）;};//Point对象的赋值运算
inlinePointoperator=（CPointp）{x=p.x;y=p.y;return（*this）;};//CPoint对象的赋值运算
inlinePointoperator+=（Pointp）{x+=p.x;y+=p.y;return（*this）;};//重载+=运算
inlinePointoperator+=（CPointp）{x+=p.x;y+=p.y;return（*this）;};//重载+=运算
inlinePointoperator-=（Pointp）{x-=p.x;y-=p.y;return（*this）;};//重载-=运算
inlinePointoperator-=（CPointp）{x-=p.x;y-=p.y;return（*this）;};//重载-=运算
inlinePointoperator*=（doubles）{x*=s;y*=s;return（*this）;};//重载*=运算
inlinePointoperator/=（doubles）{x/=s;y/=s;return（*this）;};//重载/=运算
inlinePointoperator+（Pointp）{Pointt;t.x=x+p.x;t.y=y+p.y;return（t）;};//重载+运算
inlinePointoperator+（CPointp）{Pointt;t.x=x+p.x;t.y=y+p.y;return（t）;};//重载+运算
inlinePointoperator-（Pointp）{Pointt;t.x=x-p.x;t.y=y-p.y;return（t）;};//重载-运算
inlinePointoperator-（CPointp）{Pointt;t.x=x-p.x;t.y=y-p.y;return（t）;};//重载-运算
inlinePointoperator*（doubles）{Pointt;t.x=x*s;t.y=y*s;return（t）;};//重载*运算
inlinePointoperator/（doubles）{Pointt;t.x=x/s;t.y=y/s;return（t）;};//重载/运算
inlineoperatorCPoint（）{returnCPoint（（int）x,（int）y）;};//类型强制转换运算
};
classCHermiteView:
publicCView
{
......
public:
intm_nCount;//记录鼠标左键按下的次数
CPointm_Newpoint;//记录鼠标移动时的位置坐标
PointptControlPts[N+1];//曲线控制点坐标
PointptPts[npoints+1];//逼近曲线的折线点坐标
public:
voidhermite_to_points（PointCP[],Pointpts[],intnpoints）;//计算Hermite曲线上各点的坐标值
Pointhermite（PointV[],doubleu）;//计算Hermite曲线在参数为u的坐标值
......
//Generatedmessagemapfunctions
protected:
//{{AFX_MSG（CHermiteView）
afx_msgvoidOnLButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）;
afx_msgvoidOnLButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）;
afx_msgvoidOnMouseMove（UINTnFlags,CPointpoint）;
//}}AFX_MSG
DECLARE_MESSAGE_MAP（）
};
//HermiteView.cpp:
implementationoftheCHermiteViewclass
//
CHermiteView:
:
CHermiteView（）
{
m_nCount=0;//鼠标左键按下的次数初始化为0
}
voidCHermiteView:
:
OnLButtonDown（UINTnFlags,CPointpoint）
{
ptControlPts[m_nCount]=point;//保存鼠标左键按下的当前位置
m_Newpoint=point;//存放画线的起始位置
m_nCount=（++m_nCount）%（N+1）;//记录鼠标左键按下的次数，次数>=N+1时，归零
CView:
:
OnLButtonDown（nFlags,point）;
}
voidCHermiteView:
:
OnLButtonUp（UINTnFlags,CPointpoint）
{
inti;
if（m_nCount==0）//m_nCount为0时，说明鼠标左键按下的次数为N+1的整数倍，绘制曲线
{
CClientDCdc（this）;
CPenpen,*oldpen;
pen.CreatePen（PS_SOLID,1,RGB（255,0,0））;//创建红色实线画笔，线宽为1
oldpen=dc.SelectObject（&pen）;//选择新画笔
hermite_to_points（ptControlPts,ptPts,npoints）;//当控制点的个数满足要求时，计算Hermite曲线上各点位置
dc.MoveTo（ptPts[0]）;//将Hermite曲线上各点位置相连，绘制Hermite曲线
for（i=1;idc.LineTo（ptPts[i]）;
dc.SelectObject（oldpen）;//恢复老画笔
}
CView:
:
OnLButtonUp（nFlags,point）;
}
voidCHermiteView:
:
OnMouseMove（UINTnFlags,CPointpoint）
{
if（m_nCount>0&&m_nCount<=N&&m_nCount%2==1）//绘制曲线起点和终点的切向量
{
CClientDCdc（this）;
dc.SetROP2（R2_NOT）;//设置绘图模式，以屏幕颜色的相反色绘图
//以重绘的方式擦除前一个OnMouseMove绘制的直线
dc.MoveTo（（CPoint）ptControlPts[m_nCount-1]）;//擦除前面刚绘制的一条直线
dc.LineTo（m_Newpoint）;
dc.MoveTo（（CPoint）ptControlPts[m_nCount-1]）;//从起始位置到当前位置绘制一条新的直线
dc.LineTo（point）;
m_Newpoint=point;//存放当前鼠标位置
}
CView:
:
OnLButtonUp（nFlags,point）;
}
//输入参数CP为控制点坐标
//控制点CP的个数为N+1
//输出参数为Hermite曲线上的离散点序列pts
//离散点pts的个数为npoints+1
voidCHermiteView:
:
hermite_to_points（PointCP[],Pointpts[],intnpoints）
{
doubleu,delt;
PointP[N+1],V[N+1];
delt=1/（double）（npoints）;//将参数u变化区间进行npoints等分
u=0;
//Hermite矩阵与控制点坐标相乘，得到V
P[0]=CP[0];
P[1]=CP[2];
P[2]=CP[1]-CP[0];
P[3]=CP[3]-CP[2];
V[0]=P[0]*2-P[1]*2+P[2]+P[3];
V[1]=P[0]*（-3）+P[1]*3-
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