最小二乘法的基本原理和多项式拟合.docx
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最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
一最小二乘法的基本原理
从整体上考虑近似函数同所给数据点（i=0,1,…,m）误差（i=0,1,…,m）的大小，常用的方法有以下三种：
一是误差（i=0,1,…,m）绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差（i=0，1，…，m）的整体大小。
数据拟合的具体作法是：
对给定数据（i=0,1,…，m），在取定的函数类中,求,使误差（i=0,1,…,m）的平方和最小，即
=
从几何意义上讲，就是寻求与给定点（i=0,1,…,m）的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。
函数称
为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.
6—1
二多项式拟合
假设给定数据点（i=0,1,…,m），为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得
（1）
当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式
（1）的称为最小二乘拟合多项式。
特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。
显然
为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。
由多元函数求极值的必要条件，得
（2）
即
（3）
（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为
（4）
式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。
可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。
从式（4）中解出（k=0,1,…，n），从而可得多项式
（5）
可以证明，式（5）中的满足式
（1），即为所求的拟合多项式。
我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作
由式
（2）可得
（6）
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：
（1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；
（2）列表计算和；
（3）写出正规方程组，求出；
（4）写出拟合多项式。
在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。
例1测得铜导线在温度（℃）时的电阻如表6-1，求电阻R与温度T的近似函数关系。
i
0
1
2
3
4
5
6
（℃）
19.1
25.0
30.1
36.0
40.0
45.1
50.0
76.30
77.8
79.25
80.8
82.35
83.9
85.1
解画出散点图（图6-2），可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为
列表如下
i
0
19.1
76.30
364.81
1457.330
1
25.0
77.80
625.00
1945.000
2
30.1
79.25
906.01
2385.425
3
36.0
80.80
1296.00
2908.800
4
40.0
82.35
1600.00
3294.000
5
45.1
83.90
2034.01
3783.890
6
50.0
85.10
2500.00
4255.000
245.3
565.5
9325.83
20029.445
正规方程组为
解方程组得
故得R与T的拟合直线为
利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。
例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5℃时，铜导线无电阻。
6-2
例2?
?
?
?
已知实验数据如下表
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
3
4
5
6
7
8
9
10
10
5
4
2
1
1
2
3
4
试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。
解设拟合曲线方程为
列表如下
I
0
1
10
1
1
1
10
10
1
3
5
9
27
81
15
45
2
4
4
16
64
256
16
64
3
5
2
25
125
625
10
50
4
6
1
36
216
1296
6
36
5
7
1
49
343
2401
7
49
6
8
2
64
512
4096
16
128
7
9
3
81
729
6561
27
243
8
10
4
100
1000
10000
40
400
53
32
381
3017
25317
147
1025
得正规方程组
解得
故拟合多项式为
*三最小二乘拟合多项式的存在唯一性
定理1设节点互异，则法方程组（4）的解存在唯一。
证由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。
用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组
（7）
有非零解。
式（7）可写为
（8）
将式（8）中第j个方程乘以（j=0,1,…，n），然后将新得到的n+1个方程左右两端分别相加，得
因为
其中
所以
（i=0,1,…,m）
是次数不超过n的多项式，它有m+1＞n个相异零点，由代数基本定理，必须有，与齐次方程组有非零解的假设矛盾。
因此正规方程组（4）必有唯一解。
定理2设是正规方程组（4）的解，则是满足式
（1）的最小二乘拟合多项式。
证只需证明，对任意一组数组成的多项式，恒有
即可。
因为（k=0,1,…，n）是正规方程组（4）的解，所以满足式
（2），因此有
故为最小二乘拟合多项式。
*四多项式拟合中克服正规方程组的病态
在多项式拟合中，当拟合多项式的次数较高时，其正规方程组往往是病态的。
而且
①正规方程组系数矩阵的阶数越高，病态越严重；
②拟合节点分布的区间偏离原点越远，病态越严重；
③（i=0,1,…，m）的数量级相差越大，病态越严重。
为了克服以上缺点，一般采用以下措施：
①尽量少作高次拟合多项式，而作不同的分段低次拟合；
②不使用原始节点作拟合，将节点分布区间作平移，使新的节点关于原点对称，可大大降低正规方程组的条件数，从而减低病态程度。
平移公式为：
（9）
③对平移后的节点（i=0,1,…，m）,再作压缩或扩张处理：
（10）
其中,（r是拟合次数）（11）
经过这样调整可以使的数量级不太大也不太小，特别对于等距节点，作式（10）和式（11）两项变换后，其正规方程组的系数矩阵设为A，则对1～4次多项式拟合，条件数都不太大，都可以得到满意的结果。
变换后的条件数上限表如下：
拟合次数
1
2
3
4
=1
<9.9
<50.3
<435
④在实际应用中还可以利用正交多项式求拟合多项式。
一种方法是构造离散正交多项式；另一种方法是利用切比雪夫节点求出函数值后再使用正交多项式。
这两种方法都使正规方程组的系数矩阵为对角矩阵，从而避免了正规方程组的病态。
我们只介绍第一种，见第三节。
例如m=19,=328,h=1,=+ih，i=0,1,…，19，即节点分布在［328,347］，作二次多项式拟合时
①直接用构造正规方程组系数矩阵，计算可得
严重病态，拟合结果完全不能用。
②作平移变换
用构造正规方程组系数矩阵，计算可得
比降低了13个数量级，病态显着改善，拟合效果较好。
③取压缩因子
作压缩变换
用构造正规方程组系数矩阵，计算可得
又比降低了3个数量级，是良态的方程组，拟合效果十分理想。
如有必要，在得到的拟合多项式中使用原来节点所对应的变量x，可写为
仍为一个关于x的n次多项式，正是我们要求的拟合多项式。
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