二次函数应用题 面积问题最值问题经济利润问题 知识点+例题+练习 非常好 分类全面.docx

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二次函数应用题面积问题最值问题经济利润问题知识点+例题+练习非常好分类全面

教学主题

二次函数应用

教学目标

掌握二次函数应用题

重要知识点

1.函数建模

2.利润问题

3.

教学过程

二次函数应用题分类

一、建模型

即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。

这类问题建模要求高，有一定难度。

例1．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm？

不能

二、面积型

张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．

（2）当x为何值时，S有最大值？

并求出最大值．

128

三、利润最大（小）值问题

二次函数的一般式

（

）化成顶点式

，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

[例1]：

求下列二次函数的最值：

（1）求函数

的最值．

[例2]：

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

62506125

[练习]1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？

35,4500

（一）涨价或降价为未知数

例1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。

不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

比装修前的日租金总收入增加多少元？

75,25

变式1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。

①若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

20

②衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？

利润是多少？

15,1250

例2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：

这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

200

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？

最高利润是多少？

150,5000

变式2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

（2）55或56,2400

（3）【51,60】，2200

（二）售价为未知数

例1、某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7元时，每天卖出160个。

在此基础上，这种面包的单价每提高1元时，该零售店每天就会少卖出20个。

考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5元。

设这种面包的单价为x（元），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（元）。

⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

⑵求y与x之间的函数关系式；

⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？

最大利润为多少？

10,500

变式1、青年企业家刘敏准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元∕天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元∕天·间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？

115,1805

例2、某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。

根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？

最大利润是多少？

4,360

变式2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：

每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

涨价5元，6250，

降价2.5元，6125

例3、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ（千克）与销售价ｘ（元/千克）有如下关系:

ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ（元）.

（1）求ｙ与ｘ之间的函数关系式.

（2）当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?

最大利润是多少?

30,200

（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?

25,35（舍）

变式3、某商店经营一批进价为10元的商品，据市场分析，每件售价15元，则一天可售55件，如果售价每降1元，则日销售量可增加3件，（为了方便结账，定价取整数）设销售单价为x元，日销售量为y件，日获利为w元。

解答下列问题：

（1）试写出y与x之间的函数关系式；

（2）试写出w与x之间的函数关系式；

（3）计算单价为12元时的日销售量和日销售利润；

（4）若使日销售利润达到200元，且老板要尽快减少库存，则售价应定为多少元？

14

（5）定价为多少元时，日获利最多，为多少？

12,128

（6）分别写出本题中w与x的取值范围。

【10,11,12,13,14,15】

巩固练习

1.某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为元，每个月的销售量为件.

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；

（2）设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元

2.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：

如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件.设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件.

（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？

每星期的最大利润是多少？

3.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：

每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？

最大利润是多少？

4.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元．求：

（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．

（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？

最大值是多少？

5.旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：

若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？

1．某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。

经市场调查，如果1间客房的日租金每提高5元，则客房每天出租数会减少6间。

不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？

比装修前的日租金总收入增加多少元？

2．某商场经销一种销售成本为每千克40元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量下降10千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为多少？

（2）设月销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，写出y与x之间的函数关系式。

3．火车进站刹车滑行的距离s（单位：

m）与滑行时间t（单位：

s）的函数关系式是s=30t−1.5t2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？

4．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元；市场调研表明，当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆；设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元。

（1）求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；

（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；

（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？

最大利润是多少？

5．小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9元，按每件15元出售，每天可销售40件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1元，日销售量就增加10件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？

每天最大利润是多少？

6．在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势；设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售；

（1）试建立销售价y与周次x之间的关系式；

（2）若这种时装每件进价Z与周次x之间的关系为Z=−0.125（x−8）2+12（1≤x≤16，且x为整数），试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？

最大利润是多少？

二次函数经典应用题练习题

1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.

（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？

最大销售利润是多少？

2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：

这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？

最高利润是多少？

5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量

（件）与销售单价

（元）符合一次函数

，且

时，

；

时，

．

（1）求一次函数

的表达式；

（2）若该商场获得利润为

元，试写出利润

与销售单价

之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价

的范围．