在AC上取点E，使AE＝AB。
∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
13.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE
14.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE∴AG=BD=5∴AGF∽CDF
AF=AG=5∴DC=CF=2
15.
如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
16.解：
延长AD至BC于点E,
17.∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
18.∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
19.即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC
在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC∴AD⊥BC
20.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM（AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON
∴△AON≌△BON（SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB
21.（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
22.如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
证明：
∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC（SAS）
23.如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
24.（10分）如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
25.（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC
26.（12分）如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE
27.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：
连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE
28.已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF∴：
△ABE≌△CDF（SAS）
29.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
连接BD；∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF；∵AB=ADDE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。
30.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：
在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC
31.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
32.已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：
BE=CD．
证明：
∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS）∴BE=CD
33.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF．
证明：
∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF
34.已知：
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？
35.
∵AD⊥AB∴∠BAC=∠ADE又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度∴∠ABC=∠DAE∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）
∴AD=AB=5
36.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；
（2）如图，根据
（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．
37.如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
证明：
（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
（2）∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
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