概率统计复习题.docx
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概率统计复习题
概率统计复习题
1.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1）A发生，B，C都不发生；
（2）A与B发生，C不发生；
（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；
（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；
（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.
2.设A，B是两事件，且P（A）=,P（B）=,求：
（1）在什么条件下P（AB）取到最大值
（2）在什么条件下P（AB）取到最小值
3.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.
4.有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各随机取一粒，求：
（1）两粒都发芽的概率；
（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.
5.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）
6.已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）
7.设P（
）=,P（B）=,P（A
）=，求P（B｜A∪
）
8.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
9.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人
（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人
10.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为，一个次品被误认为是合格品的概率为，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
11.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为,,,，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
12.证明：
若P（A｜B）=P（A｜
），则A，B相互独立.
13.n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3）如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
14.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：
ABC=，P（A）=P（B）=P（C）<1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.
15.设A，B为随机事件，且P（B）>0,P（A|B）=1,试比较P（A∪B）与P（A）的大小.
16.
（1）设随机变量X的分布律为
，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，
试确定常数a.
17.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1）保险公司亏本的概率;
（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
18.已知随机变量X的密度函数为
f（x）=Aexp{-|x|},-∞求：
（1）A值；
（2）P{0
19.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布
.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，100）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，16）.
（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些
（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些
21.设
（3，4），
（1）求P{2（2）确定c使P{X＞c}=P{X≤c}.
22.设随机变量X的概率密度为
f（x）=
求X的分布函数F（x）
23.设随机变量X的分布律为
X
-2-1013
P
1/51/61/51/1511/30
求=2X+1的分布律；=|X|的分布律
24.设X
N（0，1）.
（1）求Y=
的概率密度；
（2）求Y=
的概率密度；
（3）求Y=｜X｜的概率密度.
25.设随机变量X~U（0,1），试求：
（1）Y=eX的分布函数及密度函数；
（2）Z=2lnX的分布函数及密度函数.
26.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：
Y=
在服从区间（0，1）上的均匀分布.
27.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
28.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.
29.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
30.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试判断X,Y的独立性
31.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
32.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.
（1）U=2X+3Y+1；
（2）V=YZ.4X.
33.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为
fX（x）=
fY（y）=
求E（XY）.
34.设随机变量X，Y的概率密度分别为
fX（x）=
fY（y）=
求
（1）E（X+Y）;
（2）E（2X3Y2）.
35.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
f（x）=
为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
36.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov（X,Y）=1,
计算：
Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.
37.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.
38..设随机变量X的概率密度为
f（x）=
对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
39.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXY=1/2，设Z=
.求D（Z）
40.设总体X~N（60，152），从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
41.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量
Y=
，n＞5
服从何种分布
42.设总体X~N（0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=
服从何分布
43.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.
44.设总体X的密度函数
f（x,θ）=
X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.
45.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
（1）f（x，θ）=
（2）f（x，θ）=
46.设X1，X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本
试证
都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.
47.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知道σ2=,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：
试求μ的置信概率为的置信区间.
48.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：
64694992559741848899
846610098727487844881
（1）求μ的置信概率为的置信区间.
（2）求σ2的置信概率为的置信区间.
49.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N,.现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为
问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（
=）
50.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均克，若从这种香烟堆中任取
36支作为样本；测得样本均值为（克），样本方差s2=（g2）.问这堆
香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取
=）.
51.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：
第一批棉纱样本：
n1=200，
=,s1=；
第二批棉纱样本：
n2=200，
=,s2=.
设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异（
=
52..两位化验员A，B对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到样本方差分别为
与
.若A，B所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA2，σB2，试在水平
=下检验方差是否有显著差异
53.设是
独立随机变量序列，且
试证
服从大数定律。
54.设是
独立随机变量序列，且
试证
服从大数定律
55.设是
独立同分布的随机变量序列，且
问
是否服从大数定律
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