数学建模实验上机指导.docx
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数学建模实验上机指导
数学建模实验指导书
ExperimentInstructionBook
OfMathematicalModeling
数学与信息科学学院Apr.2003
2008年2月
前言
数学建模实验是数学建模课程的一个重要组成部分，实验的设置是为了配合课堂教学，使学生亲自实践建模、求解、解释和结果分析的全过程，进一步掌握和理解课堂教学内容，培养动手能力，提高他们分析问题和解决问题能力。
同时，通过上机练习，也可以提高应用数学软件和计算机技术的能力。
实验一指导
实验项目：
初等模型实验
实验目的：
1．实践参数估计及多项式拟合的方法；
2．学习掌握用数学软件包进行参数估计和多项式拟合的问题。
实验内容：
1．建模实例，汽车刹车距离问题等；
2．编程计算
实例1．（汽车刹车距离问题）某司机培训课程中有这样的规则：
正常驾驶条件下,车速每增16公里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。
实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：
后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。
这个规则的合理性如何，是否有更合理的规则。
下表是测得的车速和刹车距离的一组数据。
车速（km/h）
20
40
60
80
100
120
140
刹车距离（m）
6.5
17.8
33.6
57.1
83.4
118.0
153.5
实验方法与步骤：
1．建立模型
刹车距离的拟合多项式为
2．Matlab计算求解
建立M文件exp1.m
v=[20:
20:
140]/3.6;
v2=v.^2;
x=[v;v2]’;
d=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118,153.5]’;
a=x\d;
dd=x*a;
ddd=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118,153.5];
b=polyfit（v,ddd,2）
y=polyval（b,v）
plot（v,ddd,’ro’,v,dd,’b’）
t=y./v
y=6.202417.757134.564356.623883.9357116.5000154.3167
t=1.11641.59812.07392.54813.02173.49503.9681
3．结果分析
车距时间：
车速（km/h）
20
40
60
80
100
120
140
实际刹车距离m
6.5
17.8
33.6
57.1
83.4
118
153.5
计算刹车距离m
6.20
17.75
34.56
56.62
83.93
116.50
154.31
车距时间s
1.11
1.59
2.07
2.54
3.02
3.49
3.96
实验一
问题：
举重比赛按照运动员的体重分组，在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系。
下面是一届奥运会的竞赛成绩，可供你用。
单位：
kg
组别
最大体重抓举挺举总成绩
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
54132.5155287.5
59137.5170307.5
64147.5187.5335
70162.5195357.5
76167.5200367.5
83180212.5392.5
91187.5213402.5
99185235420
108195235430
〉108197.5260457.5
实验二指导
实验项目：
简单优化模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强极值求解能力；
2．学习掌握用数学软件包进行图形方法求解的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，最佳定价策略问题等；
2．编程画图求解
实例1．某产品的市场销售量预测得到
其中p为价格。
一制造商的市场占有率为h=0.5，制造成本为
其中x为该公司的生产量。
该制造商将如何定价。
实验方法与步骤：
1．建立模型
该制造商的最佳定价策略为数学模型
2．Matlab画图求解
建立M文件exp2.m
h=0.5;
a=0;
b=8;
n=80;
d=（b-a）/n;
fori=1:
n+1
pr（i）=a+（i-1）*d;
p=pr（i）;
n=-78*p^2+655*p+125;
x=h*n;
r=p*x;
c=50+1.5*x+8*^（3/4）;
l（i）=r-c;
end
plot（pr,l）
gridon
xlabel（‘价格p’）;
title（‘利润曲线（R（p）’）
3．确定最优解
从函数图形上可以看到，最优定价策略：
进一步考虑h取其他值时的最优价格，并进行比较。
实验二
问题：
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越小。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m，宽b=0.5m，厚c=0.2m，跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v，按以下步骤讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为
，建立淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,
之间的关系，问速度v多大时总淋雨量最少，计算
时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为
，建立淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,
之间的关系，问速度v多大时总淋雨量最少，计算
时的总淋雨量。
实验三指导
实验项目：
数学规划模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强数学规划的建模能力；
2．学习掌握用数学软件包进行求解的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，广告编排问题等；
2．编程求解
实例1．一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多的影响顾客。
下表是公司进行市场调研的结果：
电视
网络
媒体
杂志
白天
最佳时段
每次做广告费用（千元）
45
86
25
12
受每次广告影响的顾客数（千人）
350
880
430
180
受每次广告影响的女顾客数（千人）
260
450
160
100
这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：
（1）受广告影响的妇女超过200万；
（2）电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做出的广告要重复5到8次。
实验方法与步骤：
1．建立模型
2．Matlab计算求解
建立M文件exp3.m
c=[-350-880-430-180];
a=[45862512;-260-450-160-100;458600;0010;0001];
b=[750;-2000;450;8;8];
lb=[4;2;5;5];
[x,fval]=linprog（c,a,b,[],[],lb,[]）
%无等式约束条件和x的上界，取[]表缺省
x=4.00003.13958.00008.0000
fval=-9.0428e+003
实验三
问题：
某人准备把他的钱进行投资，有两种投资方式可供选择．方式A保证每一元投资一年后可赚0.7元；而方式B保证每一元投资两年后可赚2元．对于方式B，只有投资的时期是两年的倍数才可以．为了使他在第n年年底的收入最多，他应该怎样投资M=5万元？
实验四指导
实验项目：
微分方程模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；
2．学习掌握用数学软件包求解微分方程数值解的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，广告编排问题等；
2．编程求解
实例1．设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A（1,0）处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。
如果乙舰以最大的速度v0沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线。
当乙舰行驶多远时，导弹将它击中？
实验方法与步骤：
1．建立模型
设任意时刻t，乙舰坐标为（X（t）,Y（t）），导弹的坐标为（x（t）,y（t））。
则
由于导弹头始终对准乙舰，导弹头的速度向量平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即
解之得
假设v0=1，乙舰坐标为
于是有导弹运行轨迹
2．Matlab计算求解
建立M文件exp4f.m
functiondy=exp4f（t,y）
dy=zeros（2,1）;%初始化dy的两个分量
dy
（1）=5*（1-y
（1））/sqrt（（1-y
（1））^2+（t-y
（2））^2）;
dy
（2）=5*（1-y
（2））/sqrt（（1-y
（1））^2+（t-y
（2））^2）;
再建立M文件exp4.m
to=0;
tf=2;%初始值和终值
[t,y]=ode45（‘exp4f’,[t0,tf],[0,0]）;%解方程
plot（y（:
1）,y（:
2）,’-‘）%画出导弹轨迹
x=0:
0.01:
1.5;
y=0.2:
0.2;
holdon%在同一坐标上继续作图
plot（x,y,’-‘）
3．结果分析
导弹大致在（1，0.21）处击中乙舰，进一步考虑v0取其他值时的情况。
实验四
问题：
导弹跟踪飞机问题：
如下图所示
设在初始时刻
时，导弹位于坐标原点（0，0），从点
飞机沿着平行于
轴方向以常速
飞行，导弹在时刻
的位置为点
，其速度为常值
，导弹在飞行过程中，按照制导系统始终指向飞机．试确定导弹飞行轨迹以及击中飞机所需要的时间
．
实验五指导
实验项目：
差分方程模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强差分方程模型的建模、求解能力；
2．学习掌握用数学软件包求解差分方程数值解的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，按揭购房的利率问题等；
2．编程求解
实例1．下表是某公司的一则房产广告
建筑面积
总价
30%首付
70%按揭
月还款
85.98m2
36万
10.8万
30年
1436元
不难算出，你向银行总共借了25.2万，30年内总共要还51.696万，约为当初借款的两倍。
贷款的年利率是多少？
实验方法与步骤：
1．建立模型
设
为第k个月的欠款数，a为月还款数，r为月利率。
迭代关系式
于是有
由a=0.1436,x0=25.2,x360=0得到
解之r，年利率R=12r。
2．Matlab计算求解
建立M文件exp5f.m
functiony=exp5f（x）
y=25.2*（1+x）^360-0.1436*（（1+x）^360-1）/x
建立M文件exp5.m
r=fzero（‘exp5f’,0.0198/12）;%0.0198/12活期月利率
R=12*r
R=0.0553
3．结果分析
用当前的利率作为初值计算贷款利率。
实验五
问题：
某人打算从31岁开始建立自己的养老基金，开始存入了1万元，已知月利率为0.01，以后每月存入300元，试问当他60岁退休时，他的退休基金有多少？
又，若他退休后每月要从银行提取1000元，试问多少年后他的退休基金将用完？
实验六指导
实验项目：
离散模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强离散模型的建模、求解能力；
2．学习掌握用数学软件包求解了离散问题的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，最短路问题等；
2．编程求解
实例1．下图给出了5个城市的路线图，计算任意两点间的最短距离。
实验方法与步骤：
1．Floyd算法;
1）输入带权邻接矩阵A=[a（i,j）]。
对所有i,j，d（i,j）=a（i,j）;当a（i,j）=∞时，path（i,j）=0,否则path（i,j）=j；k=1.
2）更新d（i,j），path（i,j）。
对所有i,j，若d（i,k）+d（k,j）>=d（i,j），则转3）；否则
d（i,k）+d（k,j）=d（i,j），path（i,j）=path（i,k），k=k+1，继续执行3）。
3）重复2）直到k=n+1.
2．Matlab计算求解
建立M文件exp6f.m
function[D,path]=exp6f（a）
n=size（a,1）;
%设置D和path的初值
D=a;
path=zeros（n,n）;
fori=1:
n
forj=1:
n
ifD（i,j）~=inf
path（i,j）=j;
end
end
end
%做n次迭代，每次迭代均更新D（i,j）和path（i,j）
fork=1:
n
fori=1:
n
forj=1:
n
ifD（i,k）+D（k,j）D（i,j）=D（i,k）+D（k,j）;
Path（i,j）=path（i,k）;
end
end
end
end
建立M文件exp6.m
a=[050infinfinf;inf0infinf80;inf30020inf;infinfinf070;65inf100inf0];
[D,path]=exp6f（a）
D=050230250130
145018020080
1553002090
135185170070
651151001200
path=12222
52555
42344
55545
11335
实验六
问题：
某人打算购买一辆新轿车，轿车的售价是12万元．轿车购买后，每年的各种保险费、养护费等费用见下表所示
车龄/年
012345678910
费用/万元
1234567891011
如果此人在10年内将轿车售出，并再购买新车．10年内的二手车销售由下表所示
车龄/年
12345678910
费用/万元
10987654320
请你帮助此人用图论方法设计一种购买轿车方案，使在10年内的总费用最少．
实验七指导
实验项目：
概率模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强概率模型的建模、求解能力；
2．学习掌握用数学软件包求解了概率问题的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，报童问题等；
2．编程求解
实例1．设每份报纸的购进价为b=0.8元，零售价为a=1元，退回价为c=0.75元，每天报纸的需求量是随机的。
为了获得最大的利润，该报童每天应购进多少份报纸。
假设有报纸需求量的情况如下：
需求量
100~119
120~139
140~159
160~179
180~199
200~219
天数
3
9
13
22
32
35
220~239
240~259
260~279
280~
20
15
8
2
实验方法与步骤：
1．建模
令
，得到
从表中数据可以看出，需求大致服从正态分布。
2．Matlab计算求解
建立M文件exp7.m
a=1;
b=0.8;
c=0.75;
q=（a-b）/（a-c）;
r=[3913223235201582];
rr=sum（r）;
x=110:
20:
290;%需求量取各小区间中点
rbar=r*x’/rr%计算均值
s=sqrt（r*（x.^2）’/rr-rbar^2）%计算标准差
n=norminv（q,rbar,s）%用逆概率分布计算n
rbar=199.4340
s=38.7095
n=232.0127
实验七
问题：
某企业对于某中材料的月需求量为随机变量，具有如下表概率分布：
需求量（吨）
50
60
70
80
90
100
110
120
0.05
0.10
0.15
0.25
0.20
0.10
0.10
0.05
每次订货费为500元，每月每吨保管费50元，每月每吨缺货费为1500元，每吨材料的购价为1000元.该企业应如何进货?
实验八指导
实验项目：
统计回归模型实验
实验目的：
1．进一步巩固、加强统计回归模型的建模、求解能力；
2．学习掌握用数学软件包求解了统计回归问题的相关命令。
实验内容：
1．建模实例，预测问题等；
2．编程求解
实例1．某商品的需求量、消费者的平均收入、商品价格的统计数据如表所示，试用所提供的数据预测商品的需求量。
需求量
100
75
80
70
50
65
90
100
110
60
收入
1000
600
1200
500
300
400
1300
1100
1300
300
价格
5
7
6
6
8
7
5
4
3
9
实验方法与步骤：
1．问题分析。
画离散点图
>>x1=[10006001200500300400130011001300300]’;
>>x2=[5766875439]’;
>>y=[10075807050659010011060]’;
>>plot（x1,y,’+’）
>>plot（x2,y,’+’）
2．多元线性回归
>>x=[ones（10,1）x1x2];
>>[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x）
b=111.69180.0143-7.1882
bint=56.0503167.3334-0.01200.0406-13.2306-1.1458
r=9.95235.0477-5.7188-5.7109-8.4750-2.0929-4.3368
1.33441.28678.7133
rint=-4.255024.1597-11.396521.4918-17.78506.3474
-19.93388.5121-22.04275.0927-18.113013.9271
-18.55719.8836-14.524817.1936-12.697415.2709
-2.527219.9537
stats=0.894429.65330.000452.0311
3．预测
>>z=111.6918+0.0143*1000-7.1882*6
z=82.8626
实验八
问题：
某市某种副食品历年年人均消费量见下表，对其作分析预测．
单位：
公斤
年份
消费量
年份
消费量
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
19.51
18.93
19.05
19.95
19.95
20.89
23.27
26.06
28.55
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
30.12
32.78
32.21
33.57
34.86
36.60
40.35
45.00
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