高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题30圆锥曲线的取值范围解析版.docx

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高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题30圆锥曲线的取值范围解析版

2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题30圆锥曲线的取值范围

考点命题分析

圆锥曲线部分往往以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长、双曲线

的渐近线等问题.圆锥曲线的综合问题主要有最值问题、参变量范围问题、探究性问题等题型，这些问题充分体现了数形结合思想，函数与方程思想，主要考查转化与化归能力、推理论证能力、运算求解能力以及创新意识和应用意识，是高考命题的常见题型和基本问题，本文就几个热点问题做一下总结和分享

1求离心率的值或者取值范围

圆锥曲线离心率及其取值范围是高考的一个热点，也是难点，这一类问题的处理方法就是准确构建关于基

小题大做

本量a，b,c之间的等量关系或者不等关系，题型往往以小题为主，所以在解题时要谨防

例1已知双曲线=>0,*>0｝的左，右焦点分别为租“叫屁包町，若双曲线上存在点P使

由^二FT，可得金「士，所以

因为e>1，所以PF_>Pf：

2，点P在双曲线的右支上.

又PFj-PE=ePfi-P^=^［8-1）=血，

解得=卑.

因为-n（不等式两边不能取等号，否则题中分式中的分母为0,无意义），所以，即

三A・i，解得1+1.

方法点睛：

结合定义考虑几何量之间的大小关系，特别是两个焦点和曲线上的点构成的焦点三角形中的等量

关系.不等关系的建立一般都转化为椭圆或双曲线的几何性质来处理，如椭圆中横、纵坐标的范围

珀&［i®町■恥巨［i乩虹PF1或者PF2的范围为［a—c,a+c］，双曲线左支上的点到左、右焦点斤迟的距离

畸皿•伽聪驚胡4到右顶点A2的距离圧臥點越壯等来构建不等式，当然要注意端点值是否能取到（如

例2）

2以动直线中的参量为变量的定点、定值、取值范围问题

直线与圆锥曲线中涉及的中点问题、垂直问题、弦长问题、斜率问题等，都最终转化为动直线中的变量（如

斜率k）的等式或不等式来解决.

例2设圆疋+护+2工115二©的圆心为A,直线I过点B（1，0）且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

（n）设点E的轨迹为曲线Ci,直线I交Ci于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

思路探求:

（I）因为|AD|=|AC|,EB//AC,故圧加二4CD二.

所以［EB］=\ED\，即|&4|+|£9|=|£4|+\£D|=\AD\.

又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=l6，从而|4J|=4，所以|EA|+|EB|=4.

由题设得A（-1,0）,B（1,0）,|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为-1^HD）.

（n）根据斜率是否存在设出直线方程，当直线斜率存在时设其方程为y=k（x-1）（kz0,）由根与系数的关系和

弦长公式把面积表示为斜率k的函数，再求最值.

当I与x轴垂直时，其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）住HO）,駅％药XJVCr鈕〉.

Ify=k（x-i）

由护严得4^--3）^-Sk3x+-12=1）.

二1

m，r硬3七

则巧4孔叫叱=而击.

所以W=—帀|三三黯＜

过点B（1,0）且与垂直的直线w^y=-^（x-1）,A到m的距离为#^,所

以『Q叫"7壽仁咄兽

故四边形MPNQ的面积丢心如.

综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,0^5）.

例3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2,1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m^0）交椭圆于A、B两个不同点

（I）求椭圆的方程；

（n）求m的取值范围;

（川）求证直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形思路探求：

（1）椭圆的方程为—4F—=1.

n）因为直线I平行于0M，且在y轴上的截距

为m,又咯=亍,得直线I的方程为：

y=+

y=［耳十赛1

得一+2剧疋一2m■—4二iD.工+茎=1

E呂因为直线I与椭圆交于A、B两个不同点，所以△=（2m）2—4（2m2—4）>0，解得一2

川）设直线MA,MB的斜率分别为緒念盘，只需证明=0即可.

设（如凫》，且利十二-Er壬"詁-4,则九=峯雇=翳

1）為一2》亠（扣詞+悔巧缶工）

故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形方法点睛：

联立方程不需要直接求出交点坐标，利用韦达定理得到两个交点的横坐标或者纵坐标与动直线变量（如例2中的斜率k和例3中的截距m）的直接关系，盂1+斑=域上）或h（m）,策拒=g（約或g（m）,最后把中点问题、弦长或者长度之比问题、垂直问题、斜率问题、面积问题等全部转化为g（k）关于k或m的等式或不等式来处理，这里尤其要注意利用判别式本身的不等关系对参数的限定3过已知曲线上定点的弦的问题有一类问题，直线过已知曲线上某定点，这种问题的解决又必须得求出另外一点的具体坐标，这时就需要

过定点的直线的方程和曲线联立，转化为

元二次方程（或类一元二次方程），考察判别式后，由韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题例4已知点A,B,C是椭圆E石+話

其中点巒麝是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心0,且……•，：

，如图.

（I）求点C的坐标及椭圆E的方程；

（n）若椭圆上存在两点P,Q使得直线PC与直线QC关于直线垃f对称，求直线PQ的斜率.

思路探求:

（I）直接求基本量得椭圆

E的方程为二亠二

n）要求直线PQ的斜率，需要知道p,Q的具体坐标，而这个坐标可以直接通过设直线去求解•因为直线

PC与直线QC关于直线疋三应T对称，则设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为一k，从而直线PC的方程为萼一据二砍一#5）,即yh£+為◎一k）,

由/=to4；vSC1_ft3消去y,整理得U+管）尸十丘冉垃一的寛十9护一13fc-3=0.

t.jr34-—12

由无二冉是方程的一个根，得和-也二晋霁1，即巧二:

;［囂:

侗理可得:

勺二:

;IM；.

丹%+V3C1-紆+虹罕-谄卩+町=心+叼）-碍二宗刍，

_曹W+血两4®_-mi

坯_%=莎五厨_忑丽两'=丽丽冠

则直线PQ的斜率为定值T.

方法点睛：

解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根，

因为一个点的坐标已知，往往通过韦达定理来求另一个动点的具体坐标；二是设出直线求出一点的坐标后，

要利用变量的关联性去求另外的点的坐标，如例4利用直线的斜率互为相反数，求出P的横坐标后直接把k

用一k替换，就得到了点Q的横坐标，减少计算量，达到节省时间的目的4•利用点在曲线上”直接设而不求解决问题

设匚恆野声“甘仗加为〕在二次曲线mX+ny2=1上，即有吋f+n疋=!

■祖兀g+乳対=1,两式相减即可得

m（x±+-x2）+n（yt+%）他-y?

）=0.

该式可以看成是I匸+毛1（監-比），（^+盹），-丙）这四个量的组合，

-2

如果设AB的中点为%』J,，由此可以看出与两点坐标的平方差有关的或者与弦的中点、

Lr—

斜率有关的问题可以采用设点相减来处理

例5过点M（1，1）作斜率为--的直线与椭圆：

'相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于思路探求：

恰好已知的是弦的中点与斜率，直接由设点法作差

所以得:

=nJ■:

，一.「•：

：

=J•从而，-一一一

又■■-=i■■-.■-，^y/—就瑁二-，得-即椭圆C的离心率：

二此类问题的一般性结论如下设直线与圆锥曲线相交于A，B，设弦AB中点为紬齢曲,弦AB的斜率为k,则:

⑴椭圆密•吗i金伙③沖毎满足：

卜、亠’■■■■■.-'

⑵双曲线一一一二’-1「满足一-一•一°=耐⑶抛物线泸」和瀧加塔◎满足獅忌：

：

比例6:

A,B为椭圆石4首二1任意两点，A点关于x轴的对称点为C,若直线BA交x轴于点P,直线BC交x轴于点Q,探究OP?

OQ是否为定值.

思路探求：

因为A，B是椭圆上任意的点，点P和点Q的得出是与AB的具体坐标值有关系的，如果设直线

求点，那就太过复杂了，不妨直接设点试试

设，则心丁说,直线BA的方程为「二亍亠：

令y=0,得点“一-■:

同理得点：

op.oo=|空g匹皿皿1|再切.I|硏力

有趣的是同样的A,BC三点放到圆和双曲线上，也为定值，有兴趣的读者可以一试方法点睛：

我们往往在直接设点还是设直线求点的问题上充满疑惑，究其规律，往往是如果与两个坐标的具体值无关的情况一般是采用设直线去求解，如果问题的解决是与某点的具体坐标值相关的，我们可以考虑直接设点然后整体消元