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找规律解题方法及技巧
初中数学找规律解题方法与技巧
通过比拟，可以发现事物的一样点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比拟，就比拟容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进展探索：
一、根本方法——看增幅〔一〕如增幅相等〔实为等差数列〕：
对每个数和它的前一个数进展比拟，如增幅相等，如此第n个数可以表示为：
a1+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+（n-1）b。
例：
4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：
4+（n-1）6＝6n－2〔二〕如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加〔即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列〕。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
根本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
〔三〕增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：
2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.〔四〕增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加〔即增幅的增幅也不相等〕。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、根本技巧〔一〕标出序列号：
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比拟，就比拟容易发现其中的奥秘。
例如，观察如下各式数：
0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是100
，第n个数是n
。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比拟：
给出的数：
0，3，8，15，24，……。
序列号：
1，2，3，4，5，……。
容易发现，数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n项是
-1，第100项是
—1
〔二〕公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。
例如：
1，9，25，49，〔81〕，〔121〕，的第n项为〔
〕，
1，2，3，4，5．。
。
。
。
。
。
，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
〔三〕看例题：
A：
2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂，即：
n
+1B：
2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：
〔四〕有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用〔一〕、〔二〕、〔三〕技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24……，序列号：
1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n个数为
。
再看原数列是同时减2得到的新数列，如此在
的根底上加2，得到原数列第n项
〔五〕有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4，16，36，64，？
，144，196，…？
〔第一百个数〕同除以4后可得新数列：
1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n
，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n
，如此求出第一百个数为4*100
=40000〔六〕同技巧〔四〕、〔五〕一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数〔一般为1、2、3〕。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
〔七〕观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、根本步骤1、先看增幅是否相等，如相等，用根本方法〔一〕解题。
2、如不相等，综合运用技巧〔一〕、〔二〕、〔三〕找规律3、如不行，就运用技巧〔四〕、〔五〕、〔六〕，变换成新数列，然后运用技巧〔一〕、〔二〕、〔三〕找出新数列的规律4、最后，如增幅以同等幅度增加，如此用用根本方法〔二〕解题四、练习题例1：
一道初中数学找规律题0，3，8，15，24，······2，5，10，17，26，·····0，6，16，30，48······〔1〕第一组有什么规律？
答：
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
〔2〕第二、三组分别跟第一组有什么关系？
答：
第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，如此第二组第n项是：
位置数平方减1加2，得位置数平方加1即
。
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，如此第三组第n项是：
〔3〕取每组的第7个数，求这三个数的和？
答：
用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=1942、观察下面两行数2，4，8，16，32，64，．．．〔1〕5，7，11，19，35，67．．．〔2〕根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。
〔要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
〕
解：
第一组可以看出是2
，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2
+3，
如此第一组第十个数是2
=1024，第二组第十个数是2
+3得1027，两项相加得2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？
解：
从数列中可以看出规律即：
1，1，1，2，1，3，1，4，1，5
，…….，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5……，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有1001个是黑色的。
4、
=8
=16
=24……用含有N的代数式表示规律
解：
被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，如此被减数为2n-1+2,得2n+1，如此用含有n的代数式表示为：
=8n。
写出两个连续自然数的平方差为888的等式
解：
通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：
〔222+1〕
-〔222-1〕
=888五、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理根本类型 按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
。
又分为等差、移动求和或差两种。
（1）等差关系。
12，20，30，42，（56） 127，112，97，82，（67） 3，4，7，12，（19），28
（2）移动求和或差。
从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，（8），13 A.9B.11C.8 D.7 选C。
1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13 0，1，1，2，4，7，13，（24） A.22 B.23 C.24 D.25 选C。
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5，3，2，1，1，（0） A.-3B.-2C.0 D.2 选C。
前两项相减得到第三项。
。
又分为等比、移动求积或商两种
（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
8，12，18，27，（40.5）后项与前项之比为1.5。
6，6，9，18，45，（135）后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3
（2）移动求积或商关系。
从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，（500） 100，50，2，25，（2/25） 3，4，6，12，36，（216）从第三项起，第三项为前两项之积除以2 1，7，8，57，（457）第三项为前两项之积加1 1，4，9，16，25，（36），49为位置数的平方。
66，83，102，123，（146），看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2 1，8，27，（81），125位置数的立方。
3，10，29，（83），127 位置数的立方加2 0，1，2，9，（730） 后项为前项的立方加15.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进展简单的通分，如此可得出答案
（
）分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，如此第n项代数式为：
2/31/22/51/3 （1/4） 将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：
，分解后得：
6.、质数数列 2，3，5，（7），11质数数列 4，6，10，14，22，（26）每项除以2得到质数数列 20，22，25，30，37，（48）后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种：
（1）每两项为一组，如 1，3，3，9，5，15，7，（21） 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3 2，5，7，10，9，12，10，（13）每两项中后项减前项之差为3 1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（104） 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2
（2）两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
22，39，25，38，31，37，40，36，（52）由两个数列，22，25，31，40，（）和39，38，37，36组成，相互隔开，均为等差。
34，36，35，35，（36），34，37，（33）由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减 （3）数列中的数字带小数，其中整数局部为一个数列，小数局部为另一个数列。
2.01， 4.03，8.04，16.07，（32.11）整数局部为等比，小数局部为移动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列，题目一般已经解出。
特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。
1，1，3，7，17，41，（99） A.89 B.99C.109D.119 选B。
此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项*2加第一项，即1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，如此空中应为41X2+17=99 65，35，17，3，
（1） A.1B.2C.0D.4 选A。
平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加1，6的平方减1，4的平方加1，2的平方减1，下一个应为0的平方加1=1 4，6，10，18，34，（66） A.50B.64C.66D.68 选C。
各差关系与等比关系组合。
依次相减，得2，4，8，16（），可推知下一个为32，32+34=66 6，15，35，77，（） A.106 B.117 C.136 D.143 选D。
此题看似比拟复杂，是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出，6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质数2、3，5，7、11数列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为13X11=143 2，8，24，64，（160） A.160 B.512C.124D.164 选A。
此题较复杂，幂数列与等差数列组合。
2=1X2
的1次方，8=2X2
的平方，24=3*X2
，64=4X2
，下一个如此为5X2
=160 0，6，24，60，120，（210） A.186 B.210 C.220 D.226 选B。
和差与立方关系组合。
0=1的3次方-1，6=2的3次方-2，24=3的3次方-3，60=4的3次方-4，120=5的3次方-5。
空中应是6的3次方-6=210 1，4，8，14，24，42，（76） A.76B.66C.64D.68 选A。
两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，6，10，18，（34），得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，（32），此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76，可知选A。
9.、其他数列。
2，6，12，20，（30） A.40B.32C.30D.28 选C。
2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为5*6=30 1，1，2，6，24，（120） A.48 B.96 C.120 D.144 选C。
后项=前项X递增数列。
1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为120=24*5
1，4，8，13，16，20，（25） A.20B.25C.27D.28 选B。
每4项为一重复，后期减前项依次相减得3，4，5。
下个重复也为3，4，5，推知得25。
27，16，5，（0），1/7 A.16B.1C.0D.2 选B。
依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的-1次方。
七、解题方法 数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否认，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。
3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，如此从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。
（一）等差数列 相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最根本、最常见的数字排列方式：
自然数数列：
1，2，3，4，5，6…… 偶数数列：
2，4，6，8，10，12…… 奇数数列：
1，3，5，7，9，11，13…… 例题1：
103，81，59，（37），15。
A.68B.42C.37D.39 解析：
答案为C。
这显然是一个等差数列，前后项的差为22。
例题2：
2，5，8，（11）。
A.10B.11C.12D.13 解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此根底上对未知的一项进展推理，即8+3=11，第四项应该是11，即答案为B。
例题3：
123，456，789，（1122）。
A.1122B.101112C.11112D.100112 解析：
答案为A。
这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122。
注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字外表上去找规律，比如此题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。
例题4：
11，17，23，（29），35。
A.25B.27C.29D.31 解析：
答案为C。
这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。
例题5：
12，15，18，（21），24，27。
A.20B.21C.22D.23 解析：
答案为B。
这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+3=21，或24-3=21，由此可知第四项应该是21。
（二）等比数列 相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。
例题1：
2，1，1/2，（B）。
A.0B.1/4C.1/8D.-1 解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此根底上对未知的一项进展推理，即（1/2）/2，第四项应该是1/4，即答案为B。
例题2：
2，8，32，128，（512）。
A.256B.342C.512D.1024 解析：
答案为C。
这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。
例题3：
2，-4，8，-16，（32）。
A.32B.64C.-32D.-64 解析：
答案为A。
这仍然是一个等比数列，前后项的比值为-2。
（三）平方数列
解析：
从数字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的平方，正好是1，2，4，7，11.。
。
。
。
，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，。
。
。
。
。
。
。
，从中可以看出应为11+5=16，16的平方是256，所以选A。
例：
2，3，10，15，26，（35）。
（2005年考题） A.29B.32C.35D.37 解析：
看数列为2=1的平方+1，3=2的平方减1，10=3的平方加1，15=4的平方减1，26=5的平方加1，再观察时发现：
位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：
所以答案是C.35。
（四）立方数列 立方数列与平方数列类似。
例题1：
1，8，27，64，（125） 解析：
数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。
例题2：
0，7，26，63，（124） 解析：
前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。
例3：
-2，-8，0，64，（）。
（2006年考题） A.64B.128C.156D250 解析：
从数列中可以看出，-2，-8，0，64都是某一个数的立方关系，-2=（1-3）×1
，-8=〔2-3〕X2
，0=〔3-3〕X3
，64=〔4-3〕X4
，前n项代数式为：
，因此最后一项因该为（5-3）×5
＝250选D 例4：
0，9，26，65，124，（239）（2007年考题） 解析：
前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置数是偶数的加1，如此奇数减1。
即：
前n项=n
+（-1）
。
答案为239。
在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式 例5：
1，32，81，64，25，（6），1。
（2006年考题） A.5B.6C.10D.12 解析：
逐项拆解容易发现1=1
，32=2
，81=3
，64=4
，25=5
，如此答案已经很明显了，6的1次幂，即6选B。
（五）、加法数列 数列中前两个数的和等于后面第三个数：
n1+n2=n3
例题1：
1，1，2，3，5，（8）。
A8B7C9D10 解析：
第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。
例题2：
4，5，（9），14，23，37 A6B7C8D9 解析：
与例一一样答案为D 例题3：
22，35，56，90，（145）99年考题 A162B156C148D145 解析：
22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案为D（六）、减法数列 前两个数的差等于后面第三个数：
n1-n2=n3 例题1：
6，3，3，（0），3，-3 A0B1C2D3 解析：
6-3=3，3-3=0，3-0=3，0-3=-3答案是A。
（提醒您别忘了：
“空缺项在中间，从两边找规律〞）（七）、乘法数列 1、前两个数的乘积等于第三个数 例题1：
1，2，2，4，8，32，（256） 前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。
例题2：
2，12，36，80，（）（2007年考题） A.100B.125C.150D.175 解析：
2×1，3×4，4×9，5×16自然下一项应该为6×25＝150选C，此题还可以变形为：
，
，
，
…..,以此类推，得出
2、两数相乘的积呈现规律：
等差，等比，平方等数列。
例题2：
3/2，2/3，3/4，1/3，3/8（A）（99年海关考题） A1/6B2/9C4/3D4/9 解析：
3/2×2/3=12/3×3/4=1/23/4×1/3=1/41/3×3/8=1/83/8×?
=1/16答案是A。
（八）、除法数列 与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：
1、两数相除等于第三数。
2、两数相除的商呈现规律：
顺序，等差，等比，平方等。
（九）、质数数列 由质数从小到大的排列：
2，3，5，7，11，13，17，19…（十）、循环数列 几个数按一定的次序循环出现的数列。
例：
3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4 以上数列只是一些常用的根本数列，考题中的数列是在以上数列根底之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。
1、二级数列 这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。
例1：
26122030（42）（2002年考题） A.38B.42C.48D.56 解析：
后一个数与前个数的差分别为：
4，6，8，10这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30的差应该是12，所以答案应该是B。
例2：
2022253037（）（2002年考题） A.39B.45C.48D.51 解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
2，3，5，7这是一个质数数列，因而要选的答案与37的差应该是11，所以答案应该是C。
例3：
25112032（47）（2002年考题） A.43B.45C.47D.49 解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
3，6，9，12这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32的差应该是15，所以答案应该是C。
例4：
4571l19（35）（2002年考题） A.27B.31C.35D.41 解析：
后一个数与前一个数的差分别为：
1，2，4，8这是一个等比数列，因而要选的答案与19的差应该是16，所以答案应该是C。
例5：
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