最新等腰三角形的证明习题集与答案解析知识分享.docx
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最新等腰三角形的证明习题集与答案解析知识分享
等腰三角形
一、选择题
1.如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:
①tan∠AEC=
;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
3.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是
A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm
二、填空题
1.边长为6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.
2.等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为.
3.在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,则点F到直线BC的距离为.
4.已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º,则∠EGC的度数为
5.如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=_______.
6.如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
7.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=度.
三、解答题
1.如图
(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90º,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G,H点,如图
(2)
(1)问:
始终与△AGC相似的三角形有及;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图
(2)的情形说明理由)
(3)问:
当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
2、如图AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.
(1)求证AD=AE;
(2)连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由.
3.
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA.
(1)求证:
DE平分∠BDC;
(2)若点M在DE上,且DC=DM,
求证:
ME=BD.
4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF长.
5.数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图.试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答題目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
等腰三角形答案
一、选择题BDD
二、填空题1、3√32、4或63、--------4、805、46、807、15
三、解答题
1.1(2011广东东莞,21,9分)【答案】解:
(1)△HAB,△HGA。
(2)∵△AGC∽△HAB,∴
,即
。
∴
。
又∵BC=
。
∴y关于x的函数关系式为
。
(3)①当∠GAH=45°是等腰三角形.的底角时,如图1,
可知
。
②当∠GAH=45°是等腰三角形.的顶角时,如图2,
在△HGA和△AGC中
∵∠AGH=∠CGA,∠GAH=∠C=450,∴△HGA∽△AGC。
∵AG=AH,∴
∴当
或
时,△AGH是等腰三角形。
【考点】三角形外角定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理,几何问题列函数关系式,等腰三角形的判定。
【分析】
(1)在△AGC和△HAB中,
∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC,
∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=900+450—∠GAC,∴∠AGC=∠BAH。
又∵∠ACG=∠HBA=450,∴△AGC∽△HAB。
在△AGC和△HGA中,
∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=450—∠CAF,
∠H=1800-∠ACH—∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF,∴∠CAG=∠H。
又∵∠AGC=∠HGA,∴△AGC∽△HGA。
(2)利用△AGC∽△HAB得对应边的比即可得。
(3)考虑∠GAH是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。
2、(2011山东德州19,8分)
(1)证明:
在△ACD与△ABE中,
∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.
(2)互相垂直在Rt△ADO与△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,∴△ADO≌△AEO.
∴∠DAO=∠EAO.即OA是∠BAC的平分线.
又∵AB=AC,∴OA⊥BC.
3、(2011山东日照,23,10分)证明:
(1)在等腰直角△ABC中,
∵∠CAD=∠CBD=15o,∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o,∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC,
∴∠DCA=∠DCB=45o.
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o,∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o,
∴∠BDM=∠EDC,∴DE平分∠BDC;
(2)如图,连接MC,∵DC=DM,且∠MDC=60°,∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,∴∠DAC=∠CEM=15°,∴△ADC≌△EMC,∴ME=AD=DB.
4、(2011湖北鄂州,18,7分)【解题思路】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,得BF=4,BE=3,再运用勾股定理求得EF=
5
【答案】连结BD,证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD,求得EF=5
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,三角形全等的判定和性质和勾股定理。
只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定,解决起来并不困难。
5、(2011•绍兴)考点:
全等三角形判定与性质;三角形内角和定理;等边三角形判定与性质。
专题:
计算题;证明题;分类讨论。
分析:
(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可得到答案;
(2)作EF∥BC,证出等边三角形AEF,再证△DBE≌△EFC即可得到答案;
(3)分为两种情况:
一是如上图在AB边上,在CB的延长线上,求出CD=3,二是在BC上求出CD=1,即可得到答案.
解答:
解:
(1)故答案为:
=.
(2)故答案为:
=.
证明:
在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,∴AE=AF=EF,∴AB﹣AE=AC﹣AF,即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,
∵ED=EC,∴∠EDB=∠ECB,∴∠BED=∠FCE,∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF,∴AE=BD.
(3)答:
CD的长是1或3.
点评:
本题主要考查对全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理,等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.