高考数学文一轮复习讲练测专题102 用样本估计总体讲答案解析.docx
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高考数学文一轮复习讲练测专题102用样本估计总体讲答案解析
【课前小测摸底细】
1.【课本典型习题】在某次测量中得到的A样本数据如下：
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
【答案】D
2.【2016四川文16】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年
位居民每人的月均用水量（单位：
吨），将数据按照
分成
组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中的
值；
（2）设该市有
万居民，估计全市居民中月均用水量不低于
吨的人数．请说明理由；
（3）估计居民月均用水量的中位数.
【答案】
（1）
（2）36000；（3）
【解析】（
）由频率分布直方图，可知：
月用水量在
的频率为
同理，在
等组的频率分别为
，
，
，
，
，
.
由
，解得
（
）由
得，
位居民月均水量不低于
吨的频率为
.
由以上样本的频率分布，可以估计
万居民中月均用水量不低于
吨的人数为
（3）设中位数为
吨.因为前
组的频率之和为
，
而前
组的频率之和为
，所以
由
，解得
故可估计居民月均用水量的中位数为
吨.
3.【2017届河北唐山市高三上学期调研统考一数学】某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为
，若成绩大于等于
分的人数为
，则成绩在
的人数为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
4.【基础经典试题】【2015届四川省成都市高新区高三9月月考】为了研究某药物的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
5.【改编自2013年重庆】以下茎叶图记录了甲.乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:
分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为.
【答案】
【解析】因为甲组数据的中位数为
，由茎叶图可得
.因乙组数据的平均数为
，则
，解得
，答案为
【考点深度剖析】
1．本节是用样本估计总体，是统计学的基础．以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解．
2．本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于中低档题目．
【经典例题精析】
考点1频率分布直方图
【1-1】某市某年4月1日～4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒）：
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.
（1）作出频率分布表；
（2）作出频率分布直方图；
（3）根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染．
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价．
【答案】见解析.
【解析】
（1）频率分布表：
（2）频率分布直方图：
（3）答对下述两条中的一条即可：
①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的
；有26天处于良的水平，占当月天数的
；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的
，说明该市空气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的
；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的
，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.
【1-2】【2017届山东肥城市高三上学期升级统测数学】如图是某居民小区年龄在
岁到
岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在
的上网人数呈现递减的等差数列,则年龄在
的频率是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【课本回眸】
1．频率分布直方图
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的特征数估计总体的特征数．
（2）在频率分布直方图中，纵轴表示
，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.
2．频率分布折线图和总体密度曲线
（1）频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．
（2）总体密度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．统计中称之为总体分布的密度曲线，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．
【方法规律技巧】
1.频率分布条形图的纵轴（矩形的高）表示频率；频率分布直方图的纵轴（矩形的高）表示频率与组距的比值，其各小组的频率等于该小组上的矩形的面积．
2.作频率分布直方图的步骤：
【新题变式探究】
【变式一】【2015高考湖北，文14】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：
万元）都在区间
内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的
_________；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间
内的购物者的人数为_________.
【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.
【变式二】【2016届江西新余市高三第二次模拟数学（文）试卷】在一次文、理学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）.测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩为
，文综成绩为
，
为
，将
值分组统计制成下表：
分组
[0,20）
[20,40）
[40,60）
[60,80）
[80,100）
[100,120）
[120,140]
频数
4
18
42
66
48
20
2
并将其中女生的
值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）.
（1）若已知直方图中[60,80）频数为25，试分别估计全体学生中，
的男、女生人数；
（2）记
的平均数为
，如果
称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年段女生的
值（同一组中的数据用该组区间中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向.
【答案】
（1）男生约有
名，女生约有
名；
（2）高一年段女生整体具有显著学科学习倾向.
【解析】
又∵样本容量为200，故样本中，男、女生
的频率分别为
与
，
据频率估计概率、样本估计总体的统计思想，可知高一年段1000名学生中，
的男生约有5名，女生约有15名.
考点2茎叶图
【2-1】某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：
千克）如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454
品种B：
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
（1）作出茎叶图；
（2）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
【答案】
（1）见解析；
（2）品种A的亩产稳定性较差．
【解析】
（1）
（2）结合茎叶图可知：
①品种A的亩产平均数比品种B高；②品种A的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．
【2-2】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则
的值为（）
A．9B．10C．11D．13
【答案】D
【课本回眸】
茎叶图：
定义
是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数
画法
对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：
若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处理．
对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎
优缺点
用茎叶图表示数据的优点是：
（1）所有的信息都可以从茎叶图中得到；
（2）便于记录和读取，能够展示数据的分布情况．缺点是：
当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便
【方法规律技巧】
1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．
2.茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．
3.当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，而样本数据较多时，则不方便记录
【新题变式探究】
【变式一】【2015高考湖南，文2】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：
分钟）如图I所示;
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（）
A、3B、4C、5D、6
【答案】B
【变式二】【2015高考山东，文6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：
℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）
（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④
【答案】
考点3用样本的数字特征估计总体的数字特征
【3-2】【3-1】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
A．46,45,56
B．46,45,53
C．47,45,56
D．45,47,53
【答案】
【3-2】【2017届河北石家庄市高三9月联考】我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水尤为突出.某市为了制定合理的节水方案，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量，整理得到如图的频率分布直方图.
（1）求图中
的值并估计样本的众数；
（2）设该市计划对居民生活用水试行阶梯水价，即每位居民用水量不超过
吨的按2元/吨收费，超过
吨不超过2
吨的部分按4元/吨收费，超过2
吨的部分按照10元/吨收费.
①用样本估计总体，为使75%以上居民在该月的用水价格不
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