用同时分析法观测方波信号的频谱.docx
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用同时分析法观测方波信号的频谱
实验一用同时分析法观测方波信号的频谱
一、实验目的
1、用同时分析法观测方波信号的频谱以验证傅利叶级数。
1、观测基波和其谐波的合成。
2、学会使用MATLAB观察方波信号的分解与合成
3、学会使用MATLAB绘出周期信号的频谱
二、原理说明
1、连续时间周期信号的分解
设有周期信号f（t）,它的周期为T，角频率Ω=2πf=2π/T,且满足狄里赫里条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。
傅里叶级数的三角形式为：
f（t）=a0/2+a1cos（Ωt）+a2cos（2Ωt）+…+b1sin（Ωt）+b2sin（2Ωt）+…
=
+
n=1,2,3,…（1-1）
式中an、bn称为傅里叶系数，可由下式求得：
，（1-2）
，（1-3）
，（1-4）
对如图1-1所示周期性方波信号进行分解与综合，其傅里叶级数为：
f（t）=4/π[sin（t）+1/3*sin3t+…+1/（2k-1）*sin（2k-1）t+…]k=1,2,…
图1-1图1-2
2、周期方波脉冲频谱的MATLAB实现
傅里叶级数的指数形式为：
（1-5）
（1-6）
为了直观地表示出信号所含各分量的振幅An或
随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅An或虚指数函数
的幅度为纵坐标，画出它们与角频率的关系图，称为周期信号的幅度频谱，简称幅度谱。
用An绘制的频谱为单边幅度谱。
周期信号经过带通滤波器得到该信号的各次谐波。
实验原理图如图1-3示：
图1-3
三、实验内容及步骤
1、编制MATLAB程序，实现图1-1中周期方波信号的分解与合成。
2、编制MATLAB程序，观察图1-2中周期方波信号的单边频谱。
3、采用同时分析法观察方波的分解与合成：
（1）调节函数信号发生器，使其输出50Hz左右方波。
将其接至该实验模块的输入端，再细调函数信号发生器使50Hz的BPF输出最大的基波。
（2）将各带通滤波器的输出分别接至示波器观测各次谐波的频率和幅度并记录之。
（3）将基波和三次谐波接至加法器观测相加后的波形，并在实验纸上记录所得波形。
四、仪器设备
1、信号与系统实验箱。
2、交流毫伏表。
3、示波器。
五、预习练习
1、预习时完成实验内容1、2。
六、实验报告
1、根椐实验测量所得的数据，绘制方波及其基波和各次谐波的频率和幅度。
注意应将这些波形绘制在同一坐标平面上。
以便比较各波形的频率和幅度。
2、将基波和三次谐波绘制在同一坐标平面上，并且把在内容3中观测到的合成波形也绘制在同一坐标纸上。
3、打印程序清单及运行结果
4、比较用MATLAB观察的结果与实验箱测试结果，进行验证分析。
5、总结实验心得体会及意见。
实验二抽样定理
一、实验目的
1、验证抽样定理。
2、学会使用MATLAB实现连续信号的采样与重构
二、原理说明
1、硬件实现原理
离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号fS（t）可以看成连续信号f（t）和一组开关函数s（t）的乘积。
s（t）是一组周期性窄脉冲，TS称为抽样周期，其倒数fS＝1／TS称抽样频率。
对抽样信号进傅里叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。
平移的频率等于抽样频率fS及其谐波频率2fS、3fS······。
当抽样信号是周期性窄脉冲时平移后的频率幅度按（sinx）/x规律衰减。
因些抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点联起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复
到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率fn的低通滤器滤除高频分量，滤波后的得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
信号输入
但原信号得以恢复的条件是fS≥2B，其中fS为抽样频率，B为原信号占有的频带宽度。
而fmin＝2B为最低抽样频率又称“奈奎斯特抽样率”。
当fS＜2B时，抽样信号的频谱会发生混迭。
从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使fS＝2B，恢复后的信号失真还是难免的。
4066
抽样器输出，至低通滤波器
图2-1
图2-2低通滤波器
实验中选用fS＜2B、fS＝2B、fS＞2B三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率fS必须大于信号频率中最高频率的两倍。
为了实现对连续信号的抽样（如图4-1所示）和抽样信号的复原（如图4-2所示）。
除选用足够高的抽样频率外，常采用前置低通滤波器来防止原信号频谱过宽而造成抽样后信号频谱的混迭。
但这也会造成失真。
如实验选用的信号频带较窄，则可不设前置低通滤波器。
本实验就是如此。
2、利用MATLAB实现连续信号的采样与重构原理
在此以f（t）=Sa（t）为例说明：
●f（t）=Sa（t）是一个带限信号，其带宽ωm=1。
利用MATLAB中的抽样函数Sinc（t）=
来表示Sa（t），则Sa（t）=Sinc（
）。
●一个带宽为ωm的带限信号f（t），可唯一地由它的均匀取样信号fs（t）=f（nTs）确定，其中，取样间隔Ts<
。
由f（nTs）构成f（t）的表达式为：
此式可以用以下的MATLAB语句来表示：
f（t）=f（nTs）*Ts*wc/pi*sinc（（wc/pi）*（ones（length（nTs）,1）*t-nTs’*ones（1,length（t））））;
●为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以用abs（）函数进行计算。
●当采样频率ωs=2ωm时，称为临界采样，取滤波器截止频率ωc=ωm。
三、预习练习
1、利用MATLAB画出Sa（t）的临界采样信号及临界采样重构信号。
2、利用MATLAB画出Sa（t）的过采样信号、过采样重构信号及两者的误差信号。
3、利用MATLAB画出Sa（t）的欠采样信号、欠采样重构信号及两者的误差信号。
4、若连续时间信号取频率为200－300Hz的方波和三角波，计算其有效的频带度。
该信号经频率为fS的周期脉冲抽样后，若希望通过低通滤波后的信号失真较小，则抽样频率和低通滤波器截止频率分别应取多少，试设计一个满足上述要求的低通滤波器。
四、内容与步骤
1、按预习练习4的计算结果将f（t）和s（t）送入抽样器。
2、观察经抽样后的方波或三角波信号。
3、改变抽样频率为fS≥2B和fS＜2B，观察复原后的信号，比较其失真程度。
五、仪器设备
1、信号与系统实验箱。
2、信号源。
3、示波器。
六、报告要求
1、整理并绘出改变抽样频率后复原信号的波形，与原信号比较，能得出什么结论？
2、实验调试中的体会。
3、打印MATLAB程序运行结果。
实验三 利用Matlab实现周期信号的傅立叶级数分解与综合
一、实验目的
经前述实验内容的训练，用本实验检查学生综合运用Matlab语言编程，进行信号分析的能力。
二、实验内容
根据周期信号傅立叶级数分解的形式，综合运用Matlab语言编写出实现傅立叶级数分解与综合的程序。
三、实验任务
已知周期矩形脉冲信号，其幅度为1，脉冲宽度为
，周期
用Matlab语言编程求出该信号三角形式的傅立叶系数，并绘出各次谐波叠加的傅立叶综合波形图。
四、实验要求
写出程序流程图，编制出完整的实验程序。
五、Matlab算法提示及说明
1.采用符号积分int求[0,T]时间内函数的三角级数展开系数：
a0，an，bn；
2.用循环语句forend求出三角级数展开系数an、bn的数值；
3.用disp（）语句输出三角级数展开系数；
4.用傅立叶三角级数展开式合成连续时间信号；
5.化简表达式，据函数的奇偶性可知，若f（t）为奇函数，则an＝0；若f（t）为偶函数，则bn＝0。
参考程序
一、实现流程
1．编写子函数x＝time_fun_x（t），用符号表达式表示出周期信号在第一个周期内的符号表达式。
2．编写子函数y＝time_fun_e（t），求出该信号在绘图区间内的信号样值。
3．编写求解信号傅立叶系数及绘制合成波形图的通用函数CTFShchsym，该函数流程如下
Ø调用函数x＝time_fun_x（t），获取周期信号的符号表达式。
Ø求信号的傅立叶系数
Ø求各次谐波
Ø绘制各次谐波叠加波形图
Ø调用信号time_fun_e（t），绘制原信号波形图
二、程序
function[A_sym,B_sym]=CTFShchsym
%采用符合计算法求一个周期内连续时间函数的三角级数展开系数，并绘出前七次谐波合成波形。
%函数的输出是数值量
%a被展开函数的时间区间的左端
%Nf=6谐波的阶数
%Nn输出数据的准确位数
%A_sym第一元素是直流项，其后元素依次是1，2，3……次谐波cos项展开系数。
%B_sym第2，3,4……元素依次是1,2,3……次谐波sin项展开系数。
%tao=1tao/T=0.2
symstnkx
T=5;tao=0.2*T;a=0.5;
ifnargin<4
Nf=6
end
ifnargin<5
Nn=32
end
x=time_fun_x（t）;%调用符合变量写成的周期矩形脉冲
A0=2*int（x,t,-a,T-a）/T;%求出三角函数展开系数A0
As=int（2*x*cos（2*pi*n*t/T）/T,t,-a,T-a）;%求出三角函数展开系数As
Bs=int（2*x*sin（2*pi*n*t/T）/T,t,-a,T-a）;%求出三角函数展开系数Bs
A_sym
（1）=double（vpa（A0,Nn））;%获取串数组A0所对应的ASC2码数值数组
fork=1:
Nf
A_sym（k+1）=double（vpa（subs（As,n,k）,Nn））;
B_sym（k+1）=double（vpa（subs（Bs,n,k）,Nn））;
end
ifnargout==0
c=A_sym;disp（c）
d=B_sym;disp（d）
t=-8*a:
0.01:
T-a;
f1=0.2/2+0.1871.*cos（2*pi*1*t/5）+0.*sin（2*pi*1*t/5）;%基波
f2=0.1514.*cos（2*pi*2*t/5）+0.*sin（2*pi*2*t/5）;%二次谐波
f3=0.1009.*cos（2*pi*3*t/5）+0.*sin（2*pi*3*t/5）;%三次谐波
f4=0.0468.*cos（2*pi*4*t/5）+0.*sin（2*pi*4*t/5）;%四次谐波
f5=-0.0312*cos（2*pi*5*t/5）+0.*sin（2*pi*5*t/5）;%五次谐波
f6=f1+f2;
f7=f6+f3;
f8=f7+f4+f5;
subplot（2,2,1）
plot（t,f1）,holdon
y=time_fun_e
plot（t,y）
title（'周期矩形波的形成－基波'）
subplot（2,2,2）
plot（t,f6）,holdon
y=time_fun_e
plot（t,y）
title（'周期矩形波的形成－基波＋二次谐波'）
subplot（2,2,3）
plot（t,f7）,holdon
y=time_fun_e
plot（t,y）
title（'周期矩形波的形成－－基波＋二次谐波＋三次谐波'）
subplot（2,2,4）
plot（t,f8）,holdon
y=time_fun_e
plot（t,y）
title（'周期矩形波的形成－－基波＋二次谐波＋三次谐波＋四次谐波＋5次谐波'）
end
functionx=time_fun_x（t）
%该函数是以上程序的子函数，它由符号变量和表达式写成
h=1
x1=sym（'Heaviside（t+0.5）'）*h;
x=x1-sym（'Heaviside（t-0.5）'）*h;
functiony=time_fun_e
%形成周期矩形脉冲，是子程序。
a=0.5;T=5;h=1;tao=0.2*T;t=-8*a:
0.01:
T-a;
e1=1/2+1/2.*sign（t+tao/2）;
e2=1/2+1/2.*sign（t-tao/2）;
y=h.*（e1-e2）;
实验四二阶网络函数的模拟
一、实验目的
1、掌握求解系统响应的一种方法——模拟解法。
2、掌握求解系统响应的另一种方法——MATLAB求解法。
3、研究系统参数变化对响应的影响。
二、原理说明
1、为了求解系统的响应，需建立系统的微分方程，一些实际系统的微分方程可能是一个高阶方程或者是一个微分方程组，它们的求解是很费时间甚至是困难的。
由于描述各种不同系统（如电系统、机械系统）的微分方程有惊人的相似之处，因而可以用电系统来模拟各种非电系统，并进一步用基本运算单元获得该实际系统响应的模拟解。
这种装置又称为“电子模拟计算机”。
应用它能较快地求解系统的微分方程，并能用示波器将求解结果显示出来。
在初学这一方法时不妨以简单的二阶系统为例（本实验就是如此），则系统的微分方程为：
y″+a1y′+a0y=x,框图如图4-1所示。
∫
∫
ViVhVbVt
xy//
图4-1
由模拟电路图4-2可得模拟方程为：
化简后可得系统的微分方程（请同学们在预习时自己得出）。
只要适当地选定模拟装置的元件参数，可使模拟方程和实际系统的微分方程完全相同。
2、本实验采用的实验原理图如图4-2所示。
图5-2
图4-2
3、实际系统响应的变化范围可能很大，持续时间可能很长，但是运算
放大器输出电压是有一定限制的，大致在±10V之间。
积分时间受RC元件数值限制也不能太长，因此要合理地选择变量的比例尺度My和时间的比例尺度Mt，使得v2=Myy,tM=Mtt，式中y和t为实验系统方程中的变量和时间，v2和tM为模拟方程中的变量和时间。
4、求解系统的微分方程时，需了解系统的初始状态y（0）和y′（0）。
5、MATLAB的函数lsim（）能对由微分方程描述的LTI连续系统响应进行仿真。
lsim（）函数能绘制连续系统在指定的任意时间范围内系统响应的时域波形图，还能求出连续系统在指定的任意时间范围内系统响应的数值解。
lsim（）函数有如下两种调用格式：
●lsim（b,a,x,t）
在该调用格式中，a和b是由描述系统的微分方程系数决定的表示该系统的两个行向量。
x和t则是表示输入信号的行向量，其中t为表示输入信号时间范围的向量，x则是输入信号在向量t定义的时间点上的取样值。
●y=lsim（b,a,x,t）
该调用格式并不绘出系统的零状态响应曲线，而是求出与向量t定义的
时间范围相一致的零状态响应的数值解。
例如，描述某连续系统的微分方程为：
若要求当输入信号为
时该系统的零状态响应y（t），我们可通过如下MATLAB命令来实现：
a=[121];b=[12];
p=0.5;%定义取样时间间隔
t=0:
p:
5;%定义时间范围
x=exp（-2*t）;%定义输入信号
lsim（b,a,x,t）;%对系统输入信号进行仿真
改变p的值，运行后可得零状态响应的仿真波形如图
4-3所示。
图4-3
三、预习练习
1、用MATLAB分别求出实验模拟电路当输入为单位阶跃信号及正弦信号时的零状态响应。
2、物理系统如实验图4-4，弹簧的倔强系数k=100牛／米，M=1kg，物体离开静止位置距离为y，且y（0）＝1cm，列出y变化的方程式。
（提示：
用F＝Ma列方程）
Ｍ
y（0）图4-4
3、拟定求得上述方程模拟解的实验电路和比例尺。
四、内容及步骤
1、列出实验电路的微分方程，并求解之。
2、将正弦波接入电路，使其幅度大致为3V。
改变电阻参数（调节电位器），并改变输入正弦波的频率，用示波器观察各测试点的波形并记录之。
五、仪器设备
1、信号与系统实验箱。
2、信号源。
3、示波器。
六、报告要求
1、绘出所观察到的各种模拟响应的波形。
2、打印MATLAB程序清单及运行结果，并与实际测试结果进行比较。
3、归纳和总结用基本运算单元求解系统时域响应的要点。
七、参考程序清单：
[ex5.1输入为正弦信号时的零状态响应]
自己输入
[ex5.2输入为方波信号时的状态响应]
自己输入
实验五离散系统的零极点分析
一、实验目的
1、学会使用MATLAB进行离散系统的Z域分析。
2、进一步掌握系统零极点分布与系统稳定性的关系
二、原理说明
1、离散系统的零极点分布与系统稳定性
对任意有界的输入序列f（n），若系统产生的零状态响应y（n）也是有界的，则称该离散系统为稳定系统，它可以等效为下列条件：
●时域条件：
离散系统稳定的充要条件为
，即系统单位响应绝对求和。
●Z域条件：
离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系
离散系统单位响应h（n）的时域特性完全由系统函数H（z）的极点位置决定。
H（z）的每一个极点将决定h（k）的一项时间序列。
显然，H（z）的极点位置不同，则h（n）的时域特性也完全不同。
3、在MATLAB中，利用函数impz可绘出对应H（z）的单位响应序列h（n）的波形。
三、实验内容
已知离散系统的零极点分布分别如图6-1，图6-2，图6-3，图6-4，图6-5，图6-6所示，试用MATLAB分析系统单位响应h（k）的时域特性。
1、对图6-1所示的系统，系统函数为H（z）=
，即系统极点为单位园上实极点，则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
2、对图6-2所示的系统，系统函数为H（z）=
，其中α
即系统极点为单位园内的实极点，令α=0.8,则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
3、对图6-3所示的系统，系统函数为H（z）=
，其中α
即系统极点为单位园外的实极点，令α=1.2,则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
4、对图6-4所示的系统，系统函数为H（z）=
，其中α
，即系统极点为位于Z平面单位园内的一对共轭极点，令α=0.8,β=
，则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
5、对图6-5所示的系统，系统函数为H（z）=
，即系统极点为位于Z平面单位上的一对共轭极点，令β=
，则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
6、对图6-6所示的系统，系统函数为H（z）=
，其中α
，即系统极点为位于Z平面单位园外的一对共轭极点，令α=1.2,β=
，则绘制单位响应时域波形的MATLAB命令如下：
自己输入
四、预习要求
阅读教材相关内容，理解离散系统稳定性的含义，掌握系统函数H（Z）的零极点分布与系统稳定性的关系。
五、实验报告要求
1、打印程序清单及运行结果。
2、总结分析实验结果。
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