蝴蝶定理和燕尾定理.docx

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蝴蝶定理和燕尾定理

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点0，那么SABO：

SAC^BD:

DC.

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”

1S1:

S3=a2:

b2

2S1:

S3:

S?

:

S4二a2:

b2:

ab:

ab；

2

3S的对应份数为（a+b）.

等积变形

1等底等高的两个三角形面积相等；

2

两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S=a:

b

3夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SaacdBCD；

反之，如果saacd二Sabcd，则可知直线AB平行于CD.

4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.

⑴（或D在BA的延长线上，E在AC

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图

上）,

则SAabc:

SAade-（ABAC）：

（ADAE）

如图，&=2，S3=4，求梯形的面积.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,

BD交于O,已知△AOB与厶BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为

角形BOC面积的-，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.

3

（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO=1，并且

三角形躺积=3，那么OC的长是多少?

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少?

如图，正方形ABCD面积为3平方厘米,

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积.

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，巳F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的面积.

（2008年”奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:

CE=3:

2,三角形ODE的面积为6平方厘米•则阴影部分的面积是平方厘米.

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：

平

方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：

平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是5平方厘米，CED的面积是10平方厘米•问：

四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

（2007年”迎春杯”高年级初赛）如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3

块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘

米.

（98迎春杯初赛）如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,

OB的长是9•那么四边形OECD的面积是.

燕尾定理应用

【例1】2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1,E是AC的

中点，点D在BC上，且BD:

DC=1:

2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于.

【巩固】如图，已知BD=DC,EC=2AE，三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积

A

BDC

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2,E在AC上，点D在BC上，且

AE:

EC-3:

5,BD:

DC=2:

3,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于

【巩固】如图，已知BD=3DC,EC=2AE,BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1,BD=2DC,CE=2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少？

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:

EC=2:

3,BD:

DC=1:

2，AD与

BE交于点F•四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积•

三角形ABC中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？

平行四边形BODC的面积为

ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G,则四边形AGCD的面积是平方厘米.

如图所示，在△ABC中，BE:

EC=3:

1,D是AE的中点，那么AF:

FC二

【巩固】在ABC中，BD:

DC=3:

2,AE:

EC=3:

1，求OB:

OE二？

【巩固】在ABC中，BD:

DC=2:

1,AE:

EC=1:

3，求OB:

OE=?

如右图，三角形ABC中，BD:

DC=4:

9,CE:

EA=4:

3，求AF:

FB.

如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于

M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

【巩固】（2007年四中分班考试题）如图，JABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC

的三等分点，若MBC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是•