用割补法求面积.docx
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用割补法求面积
在组合图形中,除了多边形外,还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中,为了计算面积,有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积:
分析与解:
(1)如左下图所示,将左下角的阴影部分分为两部分,然后按照右下图所示,将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出,原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形,其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
(2)在题图虚线分割的两个正方形中,右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆,在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示,将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出,原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积,为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图),求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解:
阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
(1)割补法
从顶点作底边上的高,得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角
(2)拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图)。
积和平行四边行面积同时除以2,商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面
(3)等分法
将原图等分成9个小三角形(见右上图),阴影部分占3个小三角形,
注意,后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说,将例题中的等腰三角形换成任意三角形,其它条件不变,结论仍然成立。
例3如左下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
分析与解:
因为不知道梯形的高,所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形(上页右下图),图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差,也是所求梯形面积的4倍。
所以所求梯形面积是(9×9-5×5)÷4=14(厘米2)。
例4在左下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。
分析与解:
题中给出了两个似乎毫无关联的数据,无法沟通与矩形的联系。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形(见右上图)。
因为A与A′,B与B′面积分别相等,所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24,所以甲的面积,即所求矩形的面积也是24。
例5下图中,甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米,甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
分析与解:
如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙,所剩的A,B,C三部分之和就是40厘米2(见左下图)。
把C割下,拼补到乙正方形的上面(见右上图),这样A,B,C三块就合并成一个长20厘米的矩形,面积是40厘米2,宽是40÷20=2(厘米)。
这个宽恰好是两个正方形的边长之差,由此可求出乙正方形的边长为(20-2)÷2=9(厘米),从而乙正方形的面积为9×9=81(厘米2)。
练习22
1.求下列各图中阴影部分的面积:
(1)
(2)
2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧(见下图),直角边长4厘米,求图中阴影部分的面积。
3.在左下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。
已知梯形的面积为36厘米2,上底为3厘米,求下底和高。
4.在右上图中,长方形AEFD的面积是18厘米2,BE长3厘米,求CD的长。
5.下图是甲、乙两个正方形,甲的边长比乙的边长长3厘米,甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
6.求下图(单位:
厘米)中四边形ABCD的面积。
五年级奥数专题二十一:
用等量代换求面积
一个量可以用它的等量来代替;被减数和减数都增加(或减少)同一个数,它们的差不变。
前者是等量公理,后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用,它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积,或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差,从而使隐蔽的关系明朗化,找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积。
分析与解:
阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形,然而它的上底与下底都不知道,因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同,都减去三角形DOC后,根据差不变性质,差应相等,即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等,所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7(厘米),面积为(7+10)×2÷2=17(厘米2)。
所以,阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中,平行四边形ABCD的边BC长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2,求平行四边形ABCD的面积。
分析与解:
因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2,都加上梯形FGCB后,根据差不变性质,所得的两个新图形的面积差不变,即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2,所以平行四边形ABCD的面积等于
10×8÷2+10=50(厘米2)。
例3在右图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解:
求ED的长,需求出EC的长;求EC的长,需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2,这两个三角形都加上四边形FDCB后,其差不变,所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说,只要求出梯形ABCD的面积,就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长,从而求出ED的长。
梯形ABCD面积=(8+4)×6÷2=36(厘米2),
三角形ECB面积=36-18=18(厘米2),
EC=18÷6×2=6(厘米),
ED=6-4=2(厘米)。
例4下页上图中,ABCD是7×4的长方形,DEFG是10×2的长方形,求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
分析:
直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差,不太容易做到。
如果利用差不变性质,将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差,而这两个图形的面积之差容易求出,那么问题就解决了。
解法一:
连结B,E(见左下图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO,则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法二:
连结C,F(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO,则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。
所求为4×(10-7)÷2-2×(10-7)÷2=3。
解法三:
延长BC交GF于H(见下页左上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH,则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。
所求为(4+2)×(10-7)÷2-2×(10-7)=3。
解法四:
延长AB,FE交于H(见右上图)。
三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO,则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。
所求为4×(10-7)-(10-7)×(4+2)÷2=3。
[
例5左下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积。
分析与解:
这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件,实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。
连结AD(见右上图),可以看出,三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长,高都等于大正方形的边长,所以面积相等。
因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分,所以去掉这个公共部分,根据差不变性质,剩下的两个部分,即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。
根据等量代换,求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积,等于4×4÷2=8(厘米2)。
练习21
1.左下图中,等腰直角三角形ABC的腰为10厘米,以C为圆心、CF为半径画弧线EF,组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等,那么扇形所在的圆的面积是多少?
2.右上图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
3.左下图中,扇形ABD的半径是4厘米,甲比乙的面积大3.44厘米2。
求直角梯形ABCD的面积。
(π=3.14)
4.在右上图的三角形中,D,E分别是所在边的中点,求四边形ADFE的面积。
5.下页左上图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2,求ED的长。
6.右上图中,CA=AB=4厘米,三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2,求CD的长。
影部分的面积和。