公务员考试数量关系公式整理.docx

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公务员考试数量关系公式整理

代入排除法

范围：

1.典型题：

年龄、余数、不定方程、多位数。

2.看选项：

选项为一组数、可转化为一组数（选项信息充分）。

3.剩两项：

只剩两项时，代一项即得答案。

4.超复杂：

题干长、主体多、关系乱。

方法：

1.先排除：

尾数、奇偶、倍数。

2.在代入：

最值、好算。

数字特性

一、奇偶特性：

范围：

1.知和求差、知差求和：

和差同性。

2.不定方程：

一般先考虑奇偶性。

注意是“先”考虑。

3.A是B的2倍，将A平均分成两份：

A为偶数。

4.质数：

逢质必2.

方法：

1.加减法：

同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。

a+b和a-b的奇偶性相同。

2.乘法：

一偶则偶，全奇为奇。

4x、6x必为偶数，3x、5x不确定。

二、倍数特性

1.整除型（求总体）：

若A=B×C（B、C均为整数），则A能被B整除且A能被C整除。

试用范围：

用于求总体，如工作量=效率×时间，S=VT，总价=数量×单价。

2.整除判定法则：

口诀法：

a）3/9看各位和，各位和能被3/9整除，这个数就能被3/9整除。

例：

12345，能被3整除不能被9整除。

b）4/8看末2/3位，末2/3位能被4/8整除，这个数就能被4/8整除。

例：

12124，能被4整除不能被8整除。

c）2/5看末位能否被2/5整除。

2看末位能否被2整除，即是不是偶数，5是看尾数是不是0或5。

拆分法：

要验证是否是m的倍数，只需拆分成m的若干被+-小数字n，若小数字n能被m整除，原数即能被m整除。

例：

217能否被7整除？

217=210+7，所以可以被7整除。

复杂倍数用因式分解：

判断一个数是否能被整除，这个数拆解后的数是否能被整除，拆分的数必须互质。

3.比例型：

a）某班男女生比例为3：

5，即可把男生看成3份，女生看成5份。

男生是3的倍数，女生是5的倍数，全班人数是5+3=8的倍数，男生女生差值是5-3=2的倍数

b）A/B=M/N（M、N互质）

A是M的倍数，B是N的倍数，A+B是M+N的倍数，A-B是M-N的倍数。

c）做题逻辑：

想：

看到比例要想到使用倍数特性。

看：

直接看问题，倍数特性是技巧性方法，无需分析题目，找出与问题相关的比例。

干：

找到做题方法，直接秒殺。

方程法

一、普通方程：

找等量，设未知数，列方程，解方程。

设未知数的技巧：

1.设小不设大（减少分数计算）。

2.设中间值（方便列式）。

3.问谁设谁（避免陷阱）

二、不定方程

1.未知数必须是整数的不定方程：

a）不定方程ax+by=m

方法：

分析奇偶、尾数、倍数等数字特性，尝试带入排除。

奇偶：

a、b恰好一奇一偶。

尾数：

a或b的尾数是5或0。

倍数：

a或b与m有公因子。

b）不定方程组a1x+b1y+c1z=ma2x+b2y+c2z=n

方法：

先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。

2.未知数可以不是整数的不定方程：

a）未知数可以不是整数（时间、金钱）的方程。

属于非限方程，只能考查方程组求总体，一般的方法是凑和赋0。

b）赋0法：

未知数个数多于方程个数，且未知数可以不是整数。

答案是一个算式的值，而非单一未知数的值，即必须是N×（x+y+z）的形式。

操作：

赋其中的一个未知数为0，从而快速计算出其它未知数。

赋0法只限用于求总体的情况，如果求单一值则不适用。

工程问题

一、工程量=效率×时间，效率=工程量÷时间，时间=工程量÷效率。

注意：

工程问题在于找对切入点。

二、工程问题切入点：

1.给定时间型（完工时间）：

赋值工作量为完工时间的最小公倍数。

2.给效率型：

具体值→列方程，效率比→赋值销量为对应的比值。

行程问题

一、行程问题的三量关系：

路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

二、火车过桥问题。

总路程=火车车身长度+桥长=火车速度×过桥时间。

三、等距离平均速度：

1.公式：

V=2V1×V2/（V1+V2），前一半路程的速度是V1，后一半路程的速度是V2，问全程的平均速度是多少。

推导：

V=S/t，设前一半路程为S，后一半路程为S，则V=2S/（S/V1+S/V2）=2V1×V2/（V1+V2）。

2.适用于：

往返（一来一回为等距离）、上下坡（上下坡为等距离）。

四、相遇与追击：

1.直线相遇：

总路程S=（V1+V2）×t

2.直线追击：

追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）t

3.环形相遇：

a）出发点相同，方向不同。

b）公式：

S=（V1+V2）×t

c）相遇一次S=一圈，相遇N次，S=N圈

4.环形追击：

a）同点出发，同向而行。

b）追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）t

c）追上一次，S追=1圈，追上N次，S追=N圈

5.多次相遇

a）两端出发：

第n次相遇，两人共走（2n-1）×S，n是次数，S是全程，如果第7次相遇，共计走了13S，13个全程。

b）同端出发：

第n次相遇，两人共走2nS，2n个全程。

c）小结：

给相遇次数，问路程或时间：

根据相遇次数推路程，根据路程算时间。

给相遇时间，问相遇次数：

根据时间算路程，根据路程算次数。

6.流水行船

a）概念：

V顺、V逆、V水、V船。

b）公式：

顺水航行：

V顺=V船+V水

逆水航行：

V逆=V船-V水

V船=（V顺+V逆）/2

静水速度=船速，漂流=水速

7.比例行程：

S=VT

a）S一定，V与T成反比；V一定，S与T成正比；T一定，S与V成正比。

b）方法：

确定不变量，再去找比例。

经济利润问题

一、经济利润问题涉及的公式

1.利润=售价-成本。

2.数量关系中，利润率=利润/成本。

资料分析中，利润率=利润/收入。

3.售价=成本×（1+利润率）。

4.折扣=售价/原价。

5.总价=单价×数量，总利润=单个利润×数量。

二、经济利润问题涉及的方法：

1.求具体价格：

列式计算、方程。

如：

成本，售价，利润。

2.求比例：

赋值法。

如：

利润率，打折。

3.赋值技巧：

常设成本为1、10、100，好算的数，如果成本当中涉及数量，也可以对数量赋值。

分段计价

1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等。

2.计算方法：

按标准，分开。

计算后，汇总。

排列组合与概率

一、分类与分布

1.分类（要么…要么…）：

相加。

2.分布（先…后…）：

相乘。

二、排列与组合

1.排列：

与顺序有关。

2.组合：

与顺序无关。

3.判断标准：

从已选的主体中任意挑选出两个，调换顺序。

有差别，与顺序有关（A）；无差别，与顺序无关（C）。

4.相邻捆绑法

有必须相邻的，先把相邻的捆绑起来，考虑内部顺序，捆绑后在与其它排列。

5.不相邻插空法

先将可以相邻的进行排列，排列后行程若干个空位。

再将不相邻的插入到行程的空位中去。

谁不相邻，拿谁插空。

6.枚举法

按照面额或数值的大小，从大到小列举枚举，不漏不重。

注意每种数值的个数不得超过条件给的上限。

概率

1.给情况求概率

公式：

概率=满足需求的情况数/全部的情况数。

注：

正难则反，满足概率=1-不满足概率

2.给概率求概率

方法：

分类：

P（A）=P1+P2+…….Pn

分布：

P（A）=P1×P2×…….Pn

容斥原理

1.在计数时，先不考虑重复的部分，先把符合条件的加在一起，最后再把重复的剔除、遗漏的补上，做到“不重不漏”。

2.题型：

两集合、三集合。

3.方法：

公式法、画图法。

4.容斥问题在于找对题型和方法。

5.两集合。

a）A+B-A∩B=总数-都不满足。

b）推导：

大框为总数，圈A和圈B，中间为A∩B，圆圈外的为都不满足的，可以发现总数-都不满足的=圆覆盖的面积=A+B-A∩B。

c）AUB：

合集，两个集合共同覆盖的面积。

A∩B：

交集，两个集合共有的面积。

6.三集合：

标准型。

a）标准型公式（给了两两之间的交集）：

全部-都不=A+B+C-（A∩B+B∩C+A∩C）+A∩B∩C。

b）推导：

全部为大框，都不为圈外的部分，三个圆分别为A、B、C，求AUBUC。

先把符合的A、B、C加在一起，即A+B+C。

刨除重复的部分：

A∩B、B∩C、A∩C都加了2次，但是只要1次，因此需要减去1次。

A∩B∩C：

在A+B+C中加了3次，只要1次；但是在减A∩B、B∩C、A∩C，把A∩B∩C减了3次，需要再加上一个A∩B∩C。

7.三集合：

非标准型。

a）非标准型公式（给的为两者满足、三者满足）：

全部-都不=A+B+C-两者满足-2×三者满足。

b）推导：

先把A、B、C加在一起，即A+B+C。

满足两种的每部分加了2次，要1次，因此把两者满足的部分减去1次。

满足三中的加了3次，要1次，因此减去2次。

8.容斥问题解体方法：

a）公式法：

题目当中，所给所求都是公式的一部分。

b）画图法：

公式法解决不了的，问“只”满足。

画图，标数字（从里往外标、每部分一层），列算式（尾数法）

最值问题

1.识别：

题目问法为“至少……才能保证……”。

2.方法：

保证数=最不利数+1。

若要最不利就是要考虑最倒霉的情况，考虑最不利要有思维的过度。

3.引例：

袋子中装有5个红球，8个白球，10个黄球。

a）至少取出（）个，才能保证有红球：

8+10+1=19。

b）至少取出（）个，才能保证至少有2个同色的球：

3+1=4。

c）至少取出（）个，才能保证至少有8个同色的球：

5+7+7+1=20。

注意：

如果拿10个球完成了8个同色，这只是一种可能出现的状况，但是不能保证一定完成，而如果拿20个球一定能保证完成8个同色球。

d）最不利数（求保证数的关键点）：

不够，全给你。

够，少给一个气死你。

构造数列（和定最值）

1.识别：

和一定，求某个量的最多或最少。

注：

题干是否有各不相同，如果没有，默认相同。

2.方法（三步走）：

a）定位：

求最大还是最小。

b）反向构造（要有最值思想）：

和一定是此消彼长的关系。

即若求最多，其他尽量少；若求最少，其它尽量多。

c）加和求解。

若结果不为整，问最多往小取，问最少往大取。

3.都……至少：

“都”表示交集，如三者都喜欢，三项都参加过，问的是交集的最小值，是命题趋势。

例：

有100人，其中高的80人，富的70人，帅的60人，问“高富帅”至少有多少人。

高富帅是三者都满足的“都。

。

。

至少”即交集最小，带入公式：

80+7+60-2×100=10。

结论：

Sn-（n-1）M，Sn为高富帅的和，n代表项数，M是总体。

原理：

a）两集合公式：

A+B-A∩B=全-都不，要求A∩B最小，移项得：

A∩B=A+B-全+都不，“A、B、全”是固定值，要让A∩B最小，则“都不”=0，此时：

A∩B=A+B-全。

b）三集合：

A∩B∩C=A∩B+C-全=A+B-全+C-全=A+B+C-2全

四集合：

A+B+C+D-3全