数学建模 生产计划问题.docx

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数学建模生产计划问题

第一题：

生产计划安排

某工厂生产ABC三种产品，所需劳动力、材料等有关数据见下表

产品

可用量

（单位）

资源

A

B

C

劳动力

6

3

5

45

材料

3

4

5

30

产品利润（元/件）

3

1

4

1）确定获利最大的生产方案

2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变

3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜？

4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产？

答：

max3x1+x2+4x3!

利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量

st!

限制条件

6x1+3x2+5x3<45!

劳动力的限制条件

3x1+4x2+5x3<30!

材料的限制条件

End！

结束限制条件

得到以下结果

1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元

2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变

3.max3x1+x2+4x3

st

6x1+3x2+5x3<45

end

可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位

4.max3x1+x2+4x3+3x4

st

6x1+3x2+5x3+8x4<45

3x1+4x2+5x3+2x4<30

end

ginx1

ginx2

ginx3

ginx4

利润没有增加，不值得生产

第二题：

工程进度问题

某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。

第一年

第二年

第三年

第四年

第五年

总费用

（千万元）

年收入（万元）

工程1

开始

结束

50

工程2

开始

结束

70

工程3

开始

结束

150

工程4

开始

结束

20

预算

（千万元）

工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。

然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。

每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。

例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：

万元）。

试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。

答：

假设某年某工程的完成量为Xij,i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。

另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，

工程1利润：

50*X11+50*（X11+X12）+50*（X11+X12+X13）+50*（X11+X12+X13）

工程2利润：

70*X22+70*（X22+X23）+70*（X22+X23+X24）

工程3利润：

20*X31+150*（X31+X32）+150*（X31+X32+X33）+150*（X31+X32+X33+X34）

工程4利润：

20*X43+20*（X43+X44）

max（50*X11+50*（x11+x12）+50*（X11+X12+X13）+50*（X11+X12+X13））+（70*X22+70*（X22+X23））+70*（X22+X23+X24）+（150*X31+150*（X31+X32）+150*（X31+X32+X33）+150*（X31+X32+X33+X34））+（20*X43+20*（X43+X44））

st5000*X11+15000*X31=3000

5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000

5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000

8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000

8000*X25+15000*X35=7000

X11+X12+X13=1

X22+X23+X24+X25≥

X22+X23+X24+X25≤1

X31+X32+X33+X34+X35≥

X31+X32+X33+X34+X35≤1

X43+X44=1

全为大于零的数

Lingo语句：

Model:

max=50*（4*X11+3*X12+2*X13）+70*（3X22+2*X23+1*X24）+150*（4*X31+3*X32+2*X33+1*X34）+20*（2*X43+1*X44）

!

约束条件

5000*X11+15000*X31<=3000;5000*X12+8000*X22+15000*X32<=6000;5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43<=7000;8000*X24+15000*X34+1200*X44<=7000;8000*X25+15000*X35<=7000;X11+X12+X13=1;X22+X23+X24+X25<=1;X22+X23+X24+X25>=;X31+X32+X33+X34+X35<=1;X31+X32+X33+X34+X35>=;X43+X44=1;

End

输出结果：

Objectivevalue:

Totalsolveriterations:

9

VariableValueReducedCost

X11

X12

X13

X22

X23

X24

X31

X32

X33

X34

X43

X44

X25

X35

RowSlackorSurplusDualPrice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

结果分析：

要获得最大利润，需在第一年投资3000万的资金在工程3上，第二年投资6000万资金在工程3上，第三年投资5000万在工程1上，1200万在工程4上，800万投资在工程3上，第四年投资1800万在工程2上，5200万在工程3上，第五年投资200万在工程2上，剩余6800万，获得的最大利润万元。

3.投资问题

假设投资者有如下四个投资机会，A在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息元，每年取息后可重新将本息投入生息，B在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息元。

两年后取息，可重新将本息投入生息，这种投资最多不得超过20万元。

C，在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息元，这种投资最多不得超过15万元。

D在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获得利息元，这种投资不得超过10万元，假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益。

答：

用xiA,xiB,xiC,xiD,i=1,2,3,表示第i年初给项目A,B,C,D的投资金额，则

max＋＋

s．t．x1A+x1B=30

=x2A+x2C

x3B＋x3A+x3D=+

x1B≤20

x2C≤15

x3D≤10

程序如下：

model:

1]max=*X3a+*X2c+*X3d;

2]X1a+X1b=30;

3]X2a+*X1a=0;

4]X3b+X3a+**X1b=0;

5]@bnd（0,X1b,20）;

6]@bnd（0,X2c,15）;

7]@bnd（0,X3d,10）;

End

运行结果如下：

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:

4

Objectivevalue:

VariableValueReducedCost

X3A

X2C

X3D

X1A

X1B

X2A

X3B

RowSlackorSurplusDualPrice

1

2

3

4

因此，第一年在机会A上投资万元，在机会B上投资万元，第二年在机会C上投资15万元，第三年在机会A上投资万元，在机会D上投资10万元，可获得最大收益万元。

4.生产计划与库存问题

某产品的制造过程由前后两道工序一和二组成。

下表提供了在未来的6-8月份的相关数据。

生产一件的产品在工序一上花小时，在工序二上另外花小时，在任何一个月过剩的产品，可以是半成品工序一，也可以是成品工序二，允许在后面的月中使用，相应的储存成本是每间每月1元和2元，生产成本随工序和随月份变化。

对于工序一，单位生产成本在六七八月份分别为50元，60元，和55元。

对于工序二，相应的单位生产费用分别为75元，90元和80元。

确定这两道工序在未来的三个月内最优的生产进度安排。

月份

六月

七月

八月

成品的需求（件）

500

450

600

工序一的能力（小时）

800

700

550

工序二的能力（小时）

1000

850

700

答：

生产计划与库存

6月

7月

8月

工序1

X11

X12

X13

工序2

X21

X22

X23

model:

min=50*x11+75*x21+（x11-500）+（x21-500）*2

+60*x12+90*x22+（x11+x12-950）+（x21+x22-950）*2

+55*x13+80*x23+（x11+x12+x13-1550）+（x21+x22+x23-1550）*2;

*x11<=800;

*x21<=1000;

x11>=500;

x21>=500;

x11>=x21;

x11+x12-950>=0;

x21+x22-950>=0;

*x12<=700;

*x22<=850;

x11+x12>=x21+x22;

x11+x12+x13-1550>=0;

x21+x22+x23-1550>=0;

*x13<=550;

*x23<=700;

x11+x12+x13>=x21+x22+x23;

end

gin7

5.志愿者排班问题

1）一家医院雇佣志愿者作为接待处的工作人员，接待时间是从早上八点到晚上十点，每名志愿者连续工作三小时，只有在晚上八点开始工作的人员除外，他们只工作两小时，对于志愿者的最小需求可以近似成2小时间隔的阶梯函数，其函数在早上八点开始，相应的需求人数分别是4、6、8、6、4、6、8.因为大多数志愿者是退休人员，他们愿意在一天的任何时间（早上八点到晚上十点）提供他们的服务，然而，由于大多数慈善团体竞争他们的服务，所需的数目必须保持尽可能的低。

为志愿者的开始时间确定最优的时间表。

2）在问题一中，考虑到午饭和晚饭，假定没有志愿者愿意在中午十二点和晚上六点开始工作，确定最优的时间表。

答：

时间段

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

人数

8

X1

4

9

X1

X2

10

X1

X2

X3

6

11

X2

X3

X4

12

X3

X4

X5

8

13

X4

X5

X6

14

X5

X6

X7

6

15

X6

X7

X8

16

X7

X8

X9

4

17

X8

X9

X10

18

X9

X10

X11

6

19

X10

X11

X12

20

X11

X12

X13

8

21

X12

X13

X14

1）假设每个小时段的Xi,i=1,2,3,-14

Lingo程序：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+X14;

x1>=4;

x1+x2>=4;

x1+x2+x3>=6;

x2+x3+x4>=6;

x3+x4+x5>=8;

x4+x5+x6>=8;

x5+x6+x7>=6;

x6+x7+x8>=6;

x7+x8+x9>=4;

x8+x9+x10>=4;

x9+x10+x11>=6;

x10+x11+x12>=6;

x11+x12+x13>=8;

x12+x13+X14>=8;

end

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Totalsolveriterations:

11

VariableValueReducedCost

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

RowSlackorSurplusDualPrice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

结果显示，最少需要32名志愿者参加志愿工作。

工作安排如下：

时段

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

人数

4

0

4

2

2

4

0

2

2

4

0

2

6

0

2），lingo程序

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+X14;

x1>=4;

x1+x2>=4;

x1+x2+x3>=6;

x2+x3+x4>=6;

x3+x4>=8;

x4+x6>=8;

x6+x7>=6;

x6+x7+x8>=6;

x7+x8+x9>=4;

x8+x9+x10>=4;

x9+x10>=6;

x10+x12>=6;

x12+x13>=8;

x12+x13+X14>=8;

end

运行结果

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Totalsolveriterations:

9

VariableValueReducedCost

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

X11

X12

X13

X14

RowSlackorSurplusDualPrice

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

工作安排如下：

时段

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

总数

人数

4

0

6

2

0

6

0

0

4

2

0

4

4

0

32

6、下料问题

已知工厂有一批（数量充分多）长为180厘米的钢管，现需要70厘米长的不少于100根，52厘米长的不少于150根和35厘米长的不少于100根。

问怎么截法

1）使得所用的原料最少？

2）使得所剩余的边料最少？

试分析两种问题的答案是否相同。

答：

70

52

35

Left

Model1

2

0

1

5

Model2

1

2

0

6

Model3

1

0

3

5

Model4

0

2

2

6

Model5

0

0

5

5

（1）总余量最小

model:

min=5*x1+6*x2+5*x3+6*x4+5*x5;

2*x1+1*x2+1*x3>=100;

2*x2++2*x4>=150;

1*x1+3*x3+2*x4+5*x5>=100;

end

gin7

（2）总根数最小

model:

min=x1+x2+x3+x4+x5;

2*x1+1*x2+1*x3>=100;

2*x2++2*x4>=150;

1*x1+3*x3+2*x4+5*x5>=100;

end

gin7

两种答案是不相同的。

7、最小覆盖问题

ABC是一个小型的货物配送公司，需要每天给五个客户发送货物，表给出了每一条线路上的客户，由于卡车运送能力的约束，所以每一条线路都是事先制定的，例如，在线路1上，卡车的运送容量可以且只能满足客户的需求，表给出了ABC总部和客户之间的距离。

目标就是找一个路程最短的日常配送方案，一满足五个客户的需求，得出的解中可能有客户会在多条选中的线路上，在配送执行中只选择其中一条线路来服务他，根据这个问题，建立整数线性模型，并求出最优解。

答：

根据要求应求出最佳的路径。

由已知共有6条路线供选择，从给出的各客户离ABC总部的距离我们可以知道各路线距离：

x1=80；x2=50；x3=70；x4=52；x5=60；x6=44（将彼此之间的距离相加即可得到）。

建立数学模型，编写如下程序：

min=80*x1+50*x2+70*x3+52*x4+60*x5+44*x6;

x1+x2+x5>=1;

x1+x2+x4+x6>=1;

x1+x3+x5+x6>=1;

x1+x3+x4+x5>=1;

x2+x3+x4+x6>=1;

@bin（x1）;

@bin（x2）;

@bin（x3）;

@bin（x4）;

@bin（x5）;

@bin（x6）;

输入以上程序，运行结果如下：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

X1

X2

X3

X4

X5

X6

RowSlackorSurplusDualPrice

1

2

3

4

5

6

从上面的结果可以看出，应选择线路5和线路6，这样最短的路程为104英里。