锐角三角函数综合题型.docx
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锐角三角函数综合题型
锐角三角函数综合题型
一、单选题（共8题；共16分）
1.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=
BD，连接AC，若tanB=
，则tan∠CAD的值（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A. x﹣y2=3 B. 2x﹣y2=9 C. 3x﹣y2=15 D. 4x﹣y2=21
3.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为（ ）
A.
B. 2
C. 3
D. 4
4.（2017•广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=
；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
5.（2017•佳木斯）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（ ）
①△ABG∽△FDG②HD平分∠EHG③AG⊥BE④S△HDG：
S△HBG=tan∠DAG⑤线段DH的最小值是2
﹣2．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cos∠ADF的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧
的中点，点D是优弧
上一点，且∠D=30°，下列四个结论：
①OA⊥BC；②BC=6
；③sin∠AOB=
；④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③
B. ①②③④
C. ②③④
D. ①③④
8.如图，正方形ABCD中，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分
别在边AD、AB、BC、CD上，则tan∠DEH=（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共3题；共3分）
9.（2016•上海）如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．
10.（2017•绵阳）如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=
AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是
，则
的值是________．
11.（2017•宁波）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上．则cos∠EFG的值为________．
三、综合题（共9题；共107分）
12.（2017•温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D
（1）求证：
四边形CDEF是平行四边形；
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．
13.（2017•包头）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：
AE•EB=CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，
=
，求tan∠OBC的值及DP的长．
14.（2017•绥化）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F．
（1）求证：
CD与⊙O相切；
（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．
15.如图，AB是
的直径，点D在
上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作
的切线DE交BC于点E。
（1）求证：
BE=CE；
（2）若DE平行AB，求
的值。
16.如图：
在
中，BC=2,AB=AC，点D为AC上的动点，且
.
（1）求AB的长度；
（2）求AD·AE的值；
（3）过A点作AH⊥BD，求证：
BH=CD+DH.
17.（2017•莱芜）已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AC=6，求BD的长；
（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=
，tan∠BAD=
，求⊙O的半径．
18.（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：
ED•EA=EC•EB；
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=
，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=
，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）
19.（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=
，则
S△ABC=
BC×AD=
×BC×ACsin∠C=
absin∠C，
即S△ABC=
absin∠C
同理S△ABC=
bcsin∠A
S△ABC=
acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．
解：
S△DEF=
EF×DFsin∠F=________；
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=________．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：
S1+S2=S3+S4．
20.在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：
△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=
，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=
，
，直接写出tan∠CEB的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
二、填空题
9.【答案】
10.【答案】8﹣
11.【答案】
三、综合题
12.【答案】
（1）解：
连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∴∠COE=2∠B=90º,
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO=90º,
∴EF∥OC,
∵DE∥CF,
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：
过G作GN⊥BC于M，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，
∴∠CGM=∠ACD，
∴∠CGM=∠DEF，
∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=
=2，
∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3，
∴GM=1，
∴BG=
GM=
．
13.【答案】
（1）证明：
连接AD，
∵∠A=∠BCD，∠AED=∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴
=
，
∴AE•EB=CE•ED；
（2）解：
∵⊙O的半径为3，∴OA=OB=OC=3，
∵OE=2BE，
∴OE=2，BE=1，AE=5，
∵
=
，
∴设CE=9x，DE=5x，
∵AE•EB=CE•ED，
∴5×1=9x•5x，
解得：
x1=
，x2=﹣
（不合题意舍去）
∴CE=9x=3，DE=5x=
，
过点C作CF⊥AB于F，
∵OC=CE=3，
∴OF=EF=
OE=1，
∴BF=2，
在Rt△OCF中，
∵∠CFO=90°，
∴CF2+OF2=OC2，
∴CF=2
，
在Rt△CFB中，
∵∠CFB=90°
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