微分几何测试题集锦含答案.docx
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微分几何测试题集锦含答案
微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题
(一)
一.填空题:
(每小题2分,共20分)
⒈向量r(t)?
?
t,3t,a?
具有固定方向,则a=___t__。
?
?
?
⒉非零向量r(t)满足?
r,r,r?
?
0的充要条件是以该向量为切
方向的曲线为平面曲线
⒊设曲线在P点的切向量为?
,主法向量为?
,则过P由?
?
确定的平面
是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?
r(t)在点r(t0)的单位切向量是?
,则曲线在r(t0)点
的法平面方
程是__________________________。
⒌曲线r?
r(t)在t=1点处有?
?
2?
,则曲线在t=1对
应的点处其挠率
?
(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__一般螺线__⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角,则这曲线的曲
率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?
(z,x在)法线方程是
_____________________。
1
二.选择填空题:
(每小题3分,共30分)
11、若曲线的所有密切平面经过一定点,则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线
12、曲线r?
r(t)在P(t)点的曲率为k,挠率为?
,则下列式子___A___不正确。
A、k?
13r?
?
r?
?
r?
2B、k?
对于曲r?
?
r?
?
r?
3C、k?
rD、?
?
的第一基本?
r?
r?
?
r?
?
?
?
2?
r?
?
r?
?
?
形式、面
I?
Edu2?
2Fdudv?
Gdv2,EG?
F2__D___。
A、?
0B、?
0C、?
0D、?
0
三.计算与证明题:
(22题14分,其余各9分)
21、已知圆柱螺线r?
?
cost,sint,t?
,试求
?
?
0,1,⑴在点?
?
?
的切线和法平面。
?
2?
⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?
:
r?
?
?
cos?
?
sin?
u?
,试求
⑴?
的第一、第二基本形式;
2
⑵?
在任意点处沿任意方向的法曲率;
⑶?
在任意点的高斯曲率和平均曲率;
⑷试证?
的坐标曲线是曲率线。
《微分几何》测试题
(二)
一.单项选择题(2×10=20分)
1.若向量函数r?
r(t)的终点在通过原点的一条直线上,则
()
A.r?
(t)是定长的;B.r?
(t)是定向的;
C.r?
(t)?
1;D.r'(t)?
2.
2.对于向量函数r(t),若r(t)?
r?
(t),则()
A.r(t)是定长向量;B.r?
(t)定长向量;
C.r(t)是定向向量;D.r?
(t)是定向向量.
3.设a,b均为非零向量,且ab?
0,则()
A.a,b线性相关;B.a,b线性无关;C.a可以由b线性表示;D.b可以a由线性表示.
4.挠率?
?
0,曲率k?
2的曲线是()
A.半径为4的圆;B.半径为的圆;1
4
3
C.半径为2的圆;D.半径为的圆.
5.空间曲线的形状由()决定
A.由曲率和挠率;B.仅由曲率;
C.仅由挠率;D.由参数的选取.
6.曲率是常数的曲线()
A.一定是直线;B.一定是圆;
C.一定是球面上的曲线;.答案A,B,C都不
对.
7.设S是球面,则()
A.S上每一点是双曲点;B.S上每一点是抛物点;
C.S上的圆的?
指向球心;D.S上的测地线的?
指
向球心.
8.若曲面S在每一点的高斯曲率为,则它可以与半径为()的球面贴合
A.;B.2;C.;D.4.
9.圆柱螺线r?
{acost,asint,bt}在任一点的切线与z轴的夹角?
()12141214
A.为;90?
B.0?
;C.与t有关;D.与b
有关.
4
10.设非直线的曲线C是曲面S:
r?
r(u,v)上的测地线,则有
()
A.C在每一点?
∥n;B.C在每一点?
?
n;
C.C在每一点?
∥n;D.C在每一点?
?
?
n.
一.判断题(2×10=20分)
1.向量函数r?
r?
t?
满足?
?
r?
t?
dt,r?
t?
r?
?
t?
?
?
0,则必有一常向量a,
满足a⊥r?
t?
.
2.如果曲线C:
r?
r?
t?
的所有向径共面,则r?
?
t?
必与某一固
定向量垂直.
3.曲线的形状只由曲率和挠率决定.
()
4.直纹面上的直母线一定是曲率线.()
5.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r?
0?
r?
R?
的
圆C相切,则C是S上的测地线.
6.如果两个曲面S1与S2之间的一个对应关系,使得它们在
对应点有相同的高斯曲率,则S1与S2等距等价.
7.设曲面S:
r=r?
u,v?
如果L:
E?
M:
F,则v—线是曲率线.
5
()
8.设曲面S:
r=r?
u,v?
,如果L:
M:
N?
E:
F:
G,则曲面上的
所有曲线都是曲率线.
9.曲面上任意两点的连线中,测地线段最短.
()
10.球面上的曲率线是大圆.
()
二.计算题(10×4=40分)
1.求曲线C:
r=?
at,bt2,ct3?
}上在t?
0处的密切面方程.
2.已知曲线C:
r=r?
s?
(s是弧长参数)的曲率和挠率分别是?
和?
且?
是不为零的常数,求曲线C:
r=?
(s)?
?
?
(s)ds的?
1
曲率和挠率.
3.求曲面z?
xy2上的渐近线.
4.求圆环面S:
r={(b+acos?
)cos?
(b+acos?
)sin?
a
sin?
}
?
0?
?
?
2?
0?
?
?
2?
?
上的椭圆点,双曲点和抛物点.
6
三.证明题(10×2=20分)
1.证明:
如果曲线的所有?
都经过一个固定点,则曲线是以
固定点为圆心的圆.
2.设C是半径为R的球面上半径为r?
0?
r?
R?
的圆,?
g是曲
率.证明:
κg?
211?
.r2R2
B
一.单项选择题(2×10=20分)
1.设a?
{1,0?
3},b?
{?
2,x,6},若a∥b则()
A.x?
?
;B.x?
?
2;C.x?
0;D.x为任意实数.
2.设曲线C:
满足r?
(t)?
1则()
A.C是单位球面上的曲线;B.t是C的弧长参数;
C.变向量r(t)具有固定方向;D.变向量r(t)具有固定长度.
3.若向量函数r?
r(t)对于任意t都有r(t)?
1.则
()
A.r(t)是定向的向量;B.r(t)是定长的向712
量;
C.r?
t?
?
r?
?
t?
?
0;D.r?
?
t?
?
r?
?
?
t?
?
0.
4.可展曲面上每一点都是()
A.椭圆点;B.抛物点;
C.圆点;D.平点.
5.若曲线C的曲率k?
2,?
?
0则()
A.C是半径为2的圆;B.C是半径为的圆;
C.C是半径为2的圆;D.C是半径为
圆.
6.曲面上与u线正交的曲线满足()
A.Ldu?
Mdv?
0;B.Edu?
Fdv?
0;
C.Ldu?
Ndv?
0;D.Edu?
Gdv?
0.
7.设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线,则
()
A.C在每一点,?
∥n;B.C在每一点,?
?
?
n;
C.C在每一点,?
∥n;D.C在每一点,?
?
n.
8.在曲面S:
r?
r(u,v)上,u线的微分方程是()
A.dudv?
0;B.du?
0;
C.dv?
0;D.du?
dv.
81212的
9.若两个曲面等距等价,则()
A.它们有相同的第一基本形式;
B.它们有相同的第二基本形式;
C.它们有相同的第三基本形式;
D.把其中一个经过连续的弯曲变形,就能和另一个贴合.
10.若曲面S:
r?
r(u,v)上任一点,都有F?
M?
0,则()
A.参数曲线网是渐近线网;B.参数曲线网是曲率线网;
C.参数曲线网是测地线网;D.答案A,B,C都不对.
二.判断题(2×10=20分)
1.向量函数r?
r?
t?
满足?
r?
t?
r?
?
t?
r?
?
?
t?
?
?
0,则必有一常向量a,满足a⊥r?
t?
.()
2.如果曲线C:
r?
r?
t?
的所有向径共面,则C就在通过原点的一个平面上.()
3.曲线C:
r=r?
s?
与曲线C:
r=?
?
s?
在s?
s0处有相同的
曲
率
.
9
(
)
4.曲率是常数2的曲线一定是半径为的圆.()
5.设S是平面,则S上每一点,都有?
1=?
2=0.
()
6.
()
7.可展曲面上没有双曲点球面上的圆的?
12指向球心..
()
8.高斯曲率K≡0的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.
()
9.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为
r?
0?
r?
R?
的圆C相切,则S在C上每一点,沿着C的方向,都有,?
n=r.()
10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.()
10
三.计算题(10×4=40分)
1.求曲线C:
r={
挠率.
2.设曲线C:
r=?
acost,asint,?
f?
t?
dt?
是平面曲线,求f(x).
3.求圆柱面r=?
Rcosu,Rsinu,v?
在?
u0,v0?
处的切平面方程,
并说明,沿任意一条直母线,只有一个切平面.
4.求曲面S:
r=?
a?
u?
v?
b?
u-v?
uv?
?
a?
0,b?
0?
的高斯曲率.
四.证明题(10×2=20分)
1.证明:
如果一条曲线C:
r=r(s)(s是弧长参数)的所
有从切面都经过一个固定点,则C的挠率和曲率之比是s的一次函数.
2.?
1?
证明:
可展曲面上的直母线是曲率线.5812cost,?
sint,cost}的曲率和131313
?
2?
证明:
如果可展曲面S上有两族直母线,则S是平
面.
《微分几何》测试题(三)
一.填空题:
(每小题2分,共20分)
⒈r(t)具有固定方向的充要条件是______________________。
⒉挠率______________________的曲线其副法向量是常矢。
⒊曲线r?
r(t)在P(t0)点的主法向量是?
,则曲线在P点的从切面方程是11
。
⒋如果一曲线的主法线与一固定方向垂直,则这曲线的副法线与这固定方向。
⒌曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是________________。
6.曲面上一曲线,如果它每一点的切方向都是主方向,则称该曲线为____________。
7.半径为R的球面的高斯曲率K=.
8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的______________恒等于零。
9.曲面上坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。
10.在可展曲面上,测地三角形的三内角之和?
。
二.选择填空题:
(每小题3分,共30分)
1、圆柱螺线x?
cost,y?
sint,z?
t在点?
1,0,0?
的切线为______。
x?
1yz?
?
B、y?
z?
0011
x?
1yz?
?
D、y?
z?
0C、100A、
2、曲面的三个基本形式之间的关系为______。
A、Ⅲ+2HⅡ+KⅠ=0B、Ⅲ-2HⅡ+KⅠ=0
C、Ⅲ-2KⅡ+HⅠ=0D、Ⅲ-2HⅡ-KⅠ=0
3、在直纹面r?
a(u)?
vb(u)(b(u)为单位向量)中,导线a(u)是腰曲线的充要条件是_____。
A、a?
?
b?
?
0B、a?
//b?
C、a?
b?
0D、a//b
4、曲面的坐标网是正交网的充要条件是_____。
A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=0
5、下列曲面中_____不是可展曲面。
A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面
6、曲面上,不是曲面的内蕴量。
A、两曲线的夹角B、曲线的弧长
C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率
7、曲面r?
r(s,t),n是其单位法向量,是不正确的。
A、N=rtt?
nB、N=?
rt?
ntC、N=rt?
ntD、N=n?
rtt
9、球面r?
(Rcos?
cos?
Rcos?
sin?
Rsin?
)的坐标曲线构不成。
12
A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网
10、曲线r?
r(s)在P点的基本向量是?
?
?
曲率为k(s),挠率为?
(s),则?
(s)。
A、?
?
B、?
?
C、?
?
D、?
?
?
三.计算题:
(1、2题各10分,3题8分,共26分)
1、求螺线x?
cost,y?
sint,z?
t上点?
1,0,0?
的曲率和挠率。
2、确定螺旋面x?
ucosv,y?
usinv,z?
cv上的曲率线和在任一点的高斯曲率。
四.证明题:
(每小题8分,共24分)
1.证明:
如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线,那么它是平面曲线。
《微分几何》测试题(四)
一、填空题(每小题2分,共20分)
1、变矢(t)满足?
'?
的充要条件是______________________。
2、曲线(C)上P点处的三个基本向量为、、?
,则过P点由和?
确定的平面叫曲线(C)在P点的________________________。
3、若曲线在各点的曲率_________________,则曲线是直线。
4、曲线穿过__________和密切平面,但从不穿过_______________。
5、一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角,而它的主法线与这个固定方向________________。
6、两个曲面间的变换是_________________的充要条件是适当选择参数后,它们有相同的第一基本形式。
7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的________________________。
9、曲面的高斯曲率为K,测地曲率为可kg,G是单连通曲面域,G的边界?
G是一条光滑闭曲线,则?
?
Kd?
?
__________
G?
2?
。
二、选择题(每小题3分,共30分)
11、若曲面S上曲线(C)是平面曲线,则一定有_____恒等于零。
13
A、法曲率knB、挠率τ
C、测地曲率kgD、曲率k
12、在圆柱面上,圆柱螺线是_____。
A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线
13在椭圆抛物面上,高斯曲率K_____。
A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定
14、设、、?
是曲线(C)在一点的三个基本向量,则?
?
=_____(k,τ分别表示曲线在该点的曲率和挠率)。
A、kB、τ?
C、-τD、τ
15、曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_____。
A、F=0B、M=0C、F=M=0D、L=N=0
16、曲面上的直线不一定是_____。
A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线
19、下列直纹曲面中,_____是可展曲面。
A、锥面B、单叶双曲面C、双曲抛物面D、挠曲线的主法线曲面
三、解答与证明题(22题、24题各9分,其余各8分)
21、求曲线r(t)={t,t,e}在t=0点的密切平面和主法线。
22、求曲线r(t)={a(1-sint),a(1-cost),bt}的曲率和挠率。
23、证明:
如果一条曲线的所有法平面包含常向量,那么这条曲线是直线或平面曲线。
2224、求抛物面z=a(x+y)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明挠曲线(C)的主法线曲面不是可展曲面。
2t
《微分几何》试题(五)
一.填空题:
(每小题2分,共20分)
⒈变矢r(t)具有固定方向的充要条件是__________________。
⒉设曲线(C)的参数表示是r?
r(s),s是弧长,则?
?
r___________。
14r叫作曲线(C)的
⒊如果曲线在各点的曲率____________,则曲线是直线。
⒋曲线r?
r(t)在P点有挠率?
=3,则曲线r?
r(t)在P点附近的形状是__________。
⒌一般螺线的切线和一固定方向成固定角,而它的副法线与这个固定方向__________。
⒍两个曲面之间的变换是_________的充要条件是适当选择参数后,它们有相同的第Ⅰ基本形式。
⒎曲面的第一类基本量是E、F、G,第二类基本量是L、M、N。
则曲面上曲率线的微分方程是。
⒏在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外,曲线的________重合于曲面的法线。
⒐曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的__________。
⒑曲面上连接两点P、Q的________是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。
二.选择填空题:
(每小题3分,共30分)
11、若曲面S上曲线(C)恒有法曲率?
n=0,则曲线一定是曲面上的_______。
A、渐近曲线B、平面曲线C、曲率线D、测地线
12、在圆柱面上,圆柱螺线是______。
A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线
13、在曲面上的双曲点,LN?
M_____。
A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定
14、设?
?
?
是曲线(C)在一点的三个基本向量,则?
=_____。
(k,?
分别表示曲线在该点的曲率和挠率)
A、k?
B、?
?
C、?
?
?
D、?
?
15、正螺面r?
{ucosv,usinv,bv}的第二基本形式是_____。
A
、?
222B
222?
022C、du?
(u?
b)dvD、(u?
b)du?
dv
16、曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_______。
152
A、M=0B、F=M=0C、F=0D、L=N=0
17、若曲面在其上某点处的两个主曲率分别为2,1,则这点是曲面的_____。
2
A、椭圆点B、双曲点C、抛物点D、脐点
18、曲面在一点的单位法向量是n,则在同一点的方向dr是主方向的充要条件是______。
A、dn?
dr?
0B、存在方向?
r使dn?
?
r?
0
C、存在方向?
r使?
n?
dr?
0D、drdn‖dr
19、在下列直纹曲面中,_____是可展曲面。
A、双曲抛物面B、挠曲线的副法线曲面
C、挠曲面的切线曲面D、单叶双曲面
20、一条有拐点的曲线绕一直线旋转所得旋转曲面上的点是______。
A、椭圆点B、抛物点C、双曲点D、A或B或C
三.解答与证明题(21、22各9分,23-26各8分)
21、求圆柱螺线x?
acost,y?
asint,z?
t在点(a,0,0)处的密切平面和主法线。
22、求曲线r(t)?
?
a(1?
sint),a(1?
cost),bt?
的曲率和挠率。
23、证明:
如果曲线的所有切线都经过一个定点,则此曲线是直线。
24、求抛物面z?
a(x?
y)在(0,0)点的高斯曲率和平均曲率。
25、证明曲线(C)的副法线曲面是可展曲面的充要条件是曲线(C)为平面曲线。
26、求证旋转曲面r?
?
?
(u)cos?
?
(u)sin?
?
(u)?
的径线是测地线。
(其中?
(u)?
0)。
22
16