数学建模零件参数的优化设计说明.docx
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数学建模零件参数的优化设计说明
零件参数的优化设计
摘要
本文建立了一个非线性多变量优化模型。
已知粒子分离器的参数y由零件参数兀（,=1,2…7）决定，参数儿的容差等级决定了产品的成本。
总费用就包括y偏离y。
造成的损失和零件成本。
问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。
我们将问题的解决分成了两个步骤：
1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。
2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。
在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。
但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。
经过对模型以及matlab代码的综合优化»最终程序运行时间仅为3.995秒。
最终计算出的各个零件的标定值为：
^=（0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625},
等级为:
d=B,B,B,C,C,B,B
一台粒子分离器的总费用为：
421.7878元
与原结果相比鮫，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。
为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。
最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。
关键字：
零件参数非线性规划期望方差
一、问题重述
一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
零件参数包括标定值和容差两部分。
进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许围。
若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。
这时要考虑两方面因素：
一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。
粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作XI,X2,.・・，xj决定，经验公式为：
y=174.42x
y的目标值（记作yo）为1.50。
当y偏离yo+0.1时、产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离yo+0・3时，产品为废品，损失为9,000元。
零件参数的标定值有一定的容许国；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，A等为+1%，B等为+5%，C等为+10%。
7个零件参数标定值的容许围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号/表示无此等级零件）：
标定值容许围
C等
B等
A等
X1
[0.075,0.125]
/
25
/
X2
[0.225,0.375]
20
50
/
X3
[0.075,0.125]
20
50
200
X4
[0.075,0.125]
50
100
500
X》
[1.125,1.875]
50
/
/
XH
[12,20]
10
25
100
X?
[0.5625,0.935]
/
25
100
现进行成批生产，每批产#1,000个。
在原设计中，7个零件参数的标定值为：
Xi=0.1,X2=0.3,xs=0.1,xi=0.1,X5=l.5,Xe=16,X7=0.75;容差均取最便宜的等级°
请你综合考虑y偏离yo造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括
标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？
二、棋型假设
1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；
2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；
3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许围；
4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。
本题可认为1000各
零件都为A等、B等或C等；
5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；
6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。
三、符号说明
兀：
第i类零件参数的标定值（21,2……7）；
△兀：
第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=l,2……7）；
r,:
第i类零件参数的容差（i=l,2,……7）；
6：
第i类零件参数的方差（21,2,……7）；
©，亿：
标定值“的上、下限；
y：
离子分离器某参数的实际值；
儿：
离子分离器该参数的目标值；
y:
离子分离器某参数的均值；
△y：
离子分离器某参数的实际值y相对平均值亍的偏差；
6:
离子分离器某参数的方差；
片：
一批产品中正品的概率；
人：
一批产品中次品的概率；
4：
一批产品中废品的概率；
W:
—批产品的总费用（包括损失和成本费）；
5：
第i类零件对应容差等级为j的成本（j二A,B,C）单位：
元/个。
成本费
损失费
次品率废品率心服从正态分布容差等级
y服从正容差
态分布
泰勒公式将
其线性化
该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。
总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简单的线性代数式决定，而损失费涉及概率分布的非线性函数。
要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率、结合各类零件都服从Ngbj）、可假设y也服从正态分布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。
题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。
而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。
由容差等级和各类零件的标定值“便可知道给类零件的容差件。
最后，便将问题转化为呂、人关于总目标函数的最优解的问题上。
在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。
合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：
（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许围。
（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。
此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。
五、棋型建立
为了确定原设计中标定值（的期望值）及已给的容差对产
品性能参数影响而导致的总损失W，即确定偏离目标值所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：
7
VV=1000x（工q+10004+9000A）
当然、为了确定总损失W，必须知道片、巴、§（即正品、次品及废品的
概率）。
为此，将经验公式用泰勒公式在X=兀（=12・・7）处展开并略去二次以
上高次项后来研究y的概率分布，设f（x）=y/则f（x）=y=f（xi）+£鲁》
将标定值兀（/=12・7）带入经验公式即得
y=/U）
所以由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即
Ar,-N（0,打）
且相互独立，由正态分布性质可知
△y~N（O,bJ）
y〜N（y,bJ）
由误差传递公式得
由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则
6_0.010.050,1
3，3，3
y的分布密度函数为
y偏离儿±0」的概率j即次品的概率为
p2=J：
：
0（y）〃（y）+]*：
》（刃〃（y）
（2）
y偏离儿±0.3的概率，即废品的概率为
P、=+『：
0（刃〃（y）（3）
由于y偏离儿越远、损失越大*所以在o\固定时、调整y使之等于目标值儿可
降彳氐扌员失0取=y_y0即y=y0，贝U
0（/）为标准正态分布函数o
综合考虑y偏离屮）造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下：
目标函数
7
minW=1000x（^q+1000P.+9000/>）
S.t.fbt・=/（"）（心1,2…7）
六、模型求解
初略分析
对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（见附录），计算结果如下：
正品率
次品率
废品率
成本费
损失费
总费用
0.1260
0.6239
0.2501
200
2874.8
3074.8
由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。
进一步分析发现»参数均值y=1.7256偏离目标值儿习.5太远，致使损失过大°尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。
所以我们应综合考虑成本费和损失费。
模型的实现过程：
本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：
在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。
最初，我们设定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许围，以及各零件标定值带入产品参数表达式应为儿，即1.5。
然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。
显然这是不合理的。
因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢1是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数*在fuiincon的多次迭代中，耗费大量时间。
所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利用int函数对y的概率密度函数进行积分吩别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要
求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。
程序流程图
等级未计算结束
程序见附录，求解结果如下：
零件
1
2
3
4
5
6
7
种
类
零
件
0.0750
0.3750
0.1250
0.1200
1.2919
15.9904
0.5625
参
数
容
差
B
B
B
C
C
B
B
等
级
正品率
次品率
废品率
成本费
损失费
总费用
0.8533
0.1476
0.0000
275
146.7878
421.7878
运行总时间:
3.995s
离子分离器参数均值y=1.5
离子分离器参数方差o-v=0.0689
模型检验
对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布
随机数发生器在每种零件参数允许围产生1000个随机数参与真实值兀的计算随机模拟N次后结果如下：
正品率
次品率
废品率
成本费
损失费
总费用
0.8570
0.1430
0.0000
275
143
418
根据最优解的y=1.5»crv=0.0689画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概率分布图（见图6.1），由图可知：
两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。
「对照图
6IIillII
/\注:
蓝线为对X随机取样求得的y分布5_/U红线为根据模型计算出的y分布'
图6.1概率分布图对比图
通过以上数据，与原设计方案所得结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。
七、误差分析
1、在建模过程中，通过泰勒公式将y=f（X）展开并略去二次及以上项使线性化，不可避免地产生了截斷误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。
但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。
在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。
2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允围，即氐-3巧,兀+30；］o现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。
3、该模型对于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。
八、棋型的评价及推广
1.优点
（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立及求解得到大大简化。
（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。
通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅达到86.28%，结果还是令人十分满意的。
（3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机求偏导和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由几个小时缩短为3.0995s。
2.缺点
（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受围的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。
（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。
在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。
3推广
此模型有较强的应用价值。
工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。
所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。
本模型具有广泛的适用性，很容易加以推广。
模型中的设计变量
可以推广到个的情形，即设计变量，其中设计空间是一个维空间。
本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。
参考文献
【1】之俊，平中，《概率与统计》，国防工业，1985
【2】宝林，《最优化理论与算法》，清华大学,1989
[3]裘宗燕，《数学软件系统的应用及程序设计》，大学，1994
[4]许波，（Matlab工程数学应用》、清华大学/2001
附录-matlab代码：
functionf=result
%穷举108种容错等级组合求解仝局最优解
fval=inf;
tic
%Bmin=[2333332）;
%Xmin
B（l）=2;
B（5）=3;
fori=2:
3
B
（2）=i;
forj=l:
3
B（3）=j;
fort=l:
3
B（4）=t;
forg=l:
3
B（6）=g;
form=l:
2
B（7）=m;
[fv,x]=getcost（B）;
iffvXmin=x;
Bmin=B;
fval=fv;
end;
end;
end;
end;
end;
end;
f=fval,Xmin,Bmin,p=getP（Xmin,Bmin）
toe
simulation（Xmin,Bmin）;%用随机法和计算的结果进行模拟比较functionf=simulation（MU,B）
%用随机法和计算的结果进行模拟比校fori=l:
10000
y（i）=Yfun（getparaX（Ml\B））;
end;
[f,xi]=ksdensity（y）;plot（xi,f）;%画经验概率密度曲线
holdon;
yO=Yfun（MU）;
fc=getfcY（MU,B）;
%{
x=normrnd（yO,fc,1,10000）;
[fhxj]=ksdensity（x）;
plot（xj>fl,'f）;
%}
x0=min（y）:
0.01:
max（y）;
y=（（2*pi）^0.5*fc）X-l）*exp（-（xO-yO）.^2/2/fc*2）;
plot（x0,y,T）;
%{
x=min（y）:
0.01:
max（y）;
yg=gaussmf（x,[fc,yO]）;plot（x,yg,*r）;
%}
titleC对照图•）;
gtextC注:
蓝线为对x随机取样求得的y分布'）;gtextC红线为根据模型计算出的y分布'）;xlabelC于）;
ylabel（'y的漑率密度’）;
holdoff;
functionf,x]=getcost（B）
%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y的均值为yO的情况下，方差最小
MU=（0.10.30.10.11.5160.75];%给定初始的标定值
options=optimsetCLargeScale*,*off*,*Display*,*off*）;%,*Tolx*,1.0000e-032）;[x,fval]=fminconCgetfcY*,MU,[]>[],（]>[],[],[]>*mycon,options,B）;
x,B,f=cost（x,B）
function[c,ceq]=mycon（MU,B）
%求最优标定值时的约束条件
%c为不等式约束
%ceq为等式约束
c（l）=MU
（1）-0.125;
c
（2）=0.075-MK1）;
c（3）=MU
（2）-0.375;
c（4）=0.225-MU
（2）;
c（5）=Ml（3）-0.125;
c（6）=0.075-Ml（3）;
c（7）=MU（4）-0.125;
c（8）=0.075-MK4）;
c（9）=MU（5）-1.875;
c（10）=1.125-MU（5）;
c（ll）=MU（6）-20;
c（12）=12-Ml（6）;
c（13）=MU（7）-0.935;
c（14）=0.5625-MK7）;
ceq（l）=Yfun（MU）-1.5;
functionf=cost（MU,B）
%当标定值为肌「容差等级为B时，求费用f=25;
p=getP（Ml\B）;%求正晶>次品'废胳的概率
if（B
（2）==2）
f=f+50;else
f=f+20;end;
switch（B（3））
case1f=f+200;
case2f=f+50;
case3f=f+20;end;
switch（B（4））
case1f=f+500;
case2f=f+100;
case3
f=f+50;end;
f=f+50;
switch（B（6））
case1f=f+100;
case2f=f+25;
case3
f=f+10；
end;
if（B（7）==l）
f=f+100;
else
f=f+25;
end;
f=f+p
（2）*1000+p（3）*9000;
functionf=getfcY（MU,B）
%对于所给的标定值和容差求Y的方差f=0;
B=int32（B）;
fori=l:
7
ifB（i）==l
sigma（i）=Ml（i）*0.01/3;
end;
ifB（i）==2
sigma（i）=MU（i）*0.05/3;
end;
ifB（i）==3
sigma（i）=MU（i）*0.1/3;
end;
end;
xl=MU（l）;x2=MU
（2）;x3=MU（3）;x4=MU（4）;x5=MU（5）;x6=MU（6）;x7=MU（7）;
%求丫对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和
f=（pdl（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（l））*2;f=f+（pd2（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma
（2））2■
f=f+（pd3（xltx2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（3））A2;f=f+（pd4（xl>x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma⑷）
"2;
f=f+（pd5（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（5））"2;f=f+（pd6（xltx2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（6））
"2;
f=f+（pd7（xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7）*sigma（7））*2;
f=abs（f'O.5）;
functionf=pdl（xLx2,x3,x4,x5,x6,x7）
%Y%xl的偏导f=8721/50/x5*（x3/（x2-xl））X17/20）*（（l-131/50*（l-9/25/...
（x4/x2）・（14/25））“（3/2）*（x4/x2）“（29/25））/x6/x7）"l/2）+・•.
148257/1000*xl/x5/（x3/（x2-xl））73/20）*（（l-131/50*（l-9/25/（x4/x2）...
“（14/25））“（3/2）*（x4/x2）・（29/25））/x6/x7）“（l/2）*x3/（x2-xl）"2;
functionf=pd2（xhx2,x3,x4,x5,x6,x7）
%Y%x2的偏导
f=-148257/1000*xl/x5/（x3/（x2-xl））\..
（3/20）*（（l-131/50*（l-9/25/（x4/x2）"14/25）T（•…
3/2）*（x4/x2）“（29/25））/x6/x7）“（l/2）*x3/（x2-xl）•….
2+8721/100*xl/x5*（x3/（x2-xl））'（17/20）/（仃-131/50*（1-9/25/.・•
（x4/x2）・（14/25））,3/2）*（x4/x2）,29/25））/x6/x7）“（l/2）*（24759/31250*….
（l-9/25/（x4/x2）"14/25））“（l/2）/（x4/x2）“（2/5）*x4/x2"2+3799/1250*（l-9/25/・・・
（x4/x2T（14/25））“（3/2）*（x4/x2）“（4/25）*x4/x2“2）/x6/x7;
functionf=pd3（xhx2,x3,x4,x5,x6,x7）
%Y%x3的偏导
f=148257/1
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